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专题12非圆的几何综合（易1）
1.(罗湖实验聂霞供题)己知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,点
P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s:同时，点Q从点A出发，沿AB向
点B匀速运动，速度为2cm/s:当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ,设
运动时间为t(s)(0(1)①BQ=，BP=_:(用含t的代数式表示)
②设△PBQ的面积为y(cm),试确定y与t的函数关系式：
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如
果存在，求出t的值：不存在，请说明理由；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t
的值：不存在，请说明理由.
A
0
B
2.(罗湖区翠园东晓张烈银供题)如图，己知平行四边形ABCD,连接对角线AC，BD交
于点E,过点E作PO⊥MN,分别与AB,BC,CD,DA交于点P,M,Q,N,
(1)求证：△DEQ兰△BEP.
(2)若依次连接P,M,Q,N,四边形PMQN是什么特殊四边形？说明理由.
A
W
D
E
B
M
-295-
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3.( 供题)在△ABC中，AB=2V5,CDLAB于点D,CD=√2
(1)如图1，当点D是线段AB中点时，
①AC的长为
②延长AC至点E,使得CE=AC,此时CE与CB的数量关系为，∠BCE与∠A的数量关
系为一·
(2)如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE(点E与点D在直线BC的异侧)，使
∠BCE=2∠A,CE=CB,连接AE.
①按要求补全图形：
②求AE的长.
D
图1
图2
4.(布心中学张晓敏供题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,M为BC的中点，点D
在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段AE连接BE,DE.
(1)比较∠BAE与∠CAD的大小：用等式表示线段BE,BM,D之间的数量关系，并证明：
(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段E与D的数量关系，并证明.
E
B
M
-296-
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5.((松泉中学李金生供题)在等边△ABC中，点P从点A开始沿边AB匀速运动，点Q从点
C开始沿射线BC匀速运动，且P,Q的速度相等，连接PQ交AC于点E,过点P作PD⊥AC
于D
(1)求证：DE号
(2)当AB=10,AP=2时求△PDE的面积
E
E
6.(罗湖外国语实验学校王少萍供题)问题呈现：已知等边三角形ABC边BC的中点为点D,
∠EDF=I20°，∠EDF的两边分别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与
等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系.
E
G
B
图1
图2
图3
M
(1)特例研究：如图1，当点E,F分别在线段AB,AC上，且DE⊥AB,DF⊥AC时，
请直接写出线段BE,CF与BC的数量关系：
(2)问题解决：如图2，当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，(1)中的结论是
否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的
数量关系：
(3)拓展应用：如图3，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若CD=√2，
∠CDF=45°m∠CFPD=6:2,请直接写出BE的长和此时ADEF的面积.
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专题12非圆的几何综合（易1）
1.(罗湖实验聂霞供题)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,点
P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s:同时，点Q从点A出发，沿AB向
点B匀速运动，速度为2cm/s:当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ,设
运动时间为t(s)(0(1)①BQ=，BP=_:(用含t的代数式表示)
②设△PBQ的面积为y(cm),试确定y与t的函数关系式：
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如
果存在，求出t的值；不存在，请说明理由：
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△PQ为等腰三角形？如果存在，求出t
的值：不存在，请说明理由.
A
P
B
【解答】解：(1)①在Rt△ABC中，AC=3cm,BC=4cm,
根据勾股定理得，AB=5cm,
由运动知，P=t,AQ=2t,
∴.BQ=AB-AQ=5-2t,
故答案为：5-2t,t:
②如图1，过点Q作QD⊥BC于D,
∴.∠BDQ=∠C=90°，
,∠B=∠B,
∴.△BDn△BCA,
:D9B0
AC AB
:05-2t
35
.D0=2(5-2t)
,608-
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∴y=S网
⊥BPDQ
xtx3
(5-2t)=-
3+3
2
2
(2)不存在，理由：，AC=3,BC=4,
∴Sam=1×3×4=6,
由(1)知，Saw=-三+36
52
,△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，
-3r+3=3,
52
∴.2t-5t+10=0,
.△=25-4×2×10<0，
∴此方程无解，
即：不存在某一时刻t,使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一；
(3)由(1)知，AQ=2t,BQ=5-2t,BP=t,
,△BPQ是等腰三角形，
∴.①当BP=BQ时，
.t=5-2t,
号
②当BP=PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E,
=专胶号
2
5-2t)
,∠BEP=90°=∠C,∠B=∠B,
∴.△BEP∽△BCA,
..BE BP
BCAB
·≥兰《5-2七
t
4
5
t=25
18
③当BQ=PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F
2
2
.∠BFQ=90°=∠C,∠B=∠B,
.△BFC∽△BCA,
.609-
