深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题13二次函数综合运用（较难）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图①，二次函数y=ax2-a(b-1)x-ab(其中b<
-1)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C(0,1),过点C的直线交x轴于点D
(2,0),交抛物线于另一点E.
(1)用b的代数式表示a,则a=二
(2)过点A作直线CD的垂线AH,垂足为点H.若点H恰好在抛物线的对称轴上，求
该二次函数的表达式：
(3)如图②，在(2)的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，OP=m.在点P左
侧的x轴上取点F,使PF=1.过点P作PQ⊥x轴，交线段CE于点QO,延长线段PQ
到点G,连接EG、DG.若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP,试判断是否存在m的值，
使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由.
H
C
D
D
图①
图②
【解答】解：(1)，二次函数y=a2-a(b-1)x-ab(其中b<-1),C(0,1),
.-ab=1,
故答案为：
(2)作HM⊥AD于M,如图1所示：
对称轴x=-b=-二a(b-1)=b-1
2a
2a
2
设直线CD解析式为：y=r+n,
C(0,1),D(2,0),
.1-kx0m
0=k×2+n
-832
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n=1
解得
直线CD解析式为：y=-
1
H在对称轴上，将x=b1代入y=-
2*1,
2×1=5电
、2
4
Hb-1,5-b)
2’4
由ar2-a(b-1)x-ab=0,则(ar+a)(x-b)=0,
x1=-1,x2=b,
b<-1,
A(b,0),
HM=5-b
4
AM=xM-x=b-1-b=-b+l
2
2
DM=xD-xM=2-b-1-5-b
22
由射影定理得：HMP=AM~DM,
即(5-b)2=-b+1.5-b
4
22
解得：b=-3,
=
号-31=号1
33
(3)存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等：理由如下：
过点E作EN⊥GQ于点Q,如图2所示：
少导1与y=合x1相胶于点
2号1
1
y=2x+1
-833-
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解得：x=-
1,
或x=0(不合题意舍去)，y=
15
4
,P0=m,
g=m,代入y=+1得：e-mt1,
:'tan∠GDp=
G-P04QG-段，S,am∠r0p-Etam∠QDP-
Q
PDPD
PDPD
PO
:'tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP,
P9P℉Pg
PDPD POPD
”贤
.PD=m+2,PO=
m+1,PF=1,
1
.QG
'm+2
1
+1
解得：QG=2,
“△FPQ的面积=二PF~PO,△EGQ的面积=QG~EN,△FP0的面积和△EG0的面
2
积相等，EN=11-m,
2
1×2×(11-m),
2
解得：m=4:
∴.存在m的值，使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等，m=4.
G
>x
图2
.834-罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题13二次函数综合运用（较难）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图①，二次函数y=ax2-a(b-1)x-ab(其中b<
-1)的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C(0,1),过点C的直线交x轴于点D
(2,0),交抛物线于另一点E.
(1)用b的代数式表示a,则a=；
(2)过点A作直线CD的垂线AH,垂足为点H.若点H恰好在抛物线的对称轴上，求
该二次函数的表达式：
(3)如图②，在(2)的条件下，点P是x轴负半轴上的一个动点，OP=m.在点P左
侧的x轴上取点F,使PF=1.过点P作PQ⊥x轴，交线段CE于点Q,延长线段PQ
到点G,连接EG、DG.若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP,试判断是否存在m的值，
使△FPQ的面积和△EGQ的面积相等？若存在求出m的值，若不存在则说明理由.
C
D
D
图①
图②
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2.(滨河实验中学林翠凤供题)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax
-3a(a≠0)交x轴的负半轴于点A,交x轴的正半轴于点B,交y轴的正半轴于点C,
且OB=20C.
个y
C
、0
B
E
G
图1
图2
(1)求点B的坐标和a的值：
(2)如图1，点D,P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t,连接BP,
交y,轴于点E,连接CD,DE,设△CDE的面积为，若s=子t,求点D的坐标：
(3)如图2，在(2)的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,射线
AE与射线FB交于点G,连接AP,若∠AGB=2∠APB,求点P的坐标.
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3.(翠园初级中学戚纪供题)如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(8,0)与点B(10,-5),
点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交
于另一点E,与直线OB交于点C.再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，
两条平行线交于点D.点F的横坐标为m,且0(1)求出抛物线与直线OB的函数关系表达式：
(2)当四边形FCDE是正方形时，求出点F的坐标：
(3)在满足(2)的条件下，在直线OB上取一点P,连接PF.将线段PF以点P为中
心，顺时针方向旋转90°，点F的对应点为Q.当点Q正好落在抛物线上时，直接写出
这时点P的坐标，
y
D
B
备用图
-361-
