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专题13二次函数综合运用（易1）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ar+3a与
y轴交于点A.
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）：
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)已知点P(a,0),Q(0,a-2),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函
数图象，求a的取值范围
【解答】解：(1)抛物线y=ax2-4ar+3a与y轴交于点A,
A的坐标为(0,3a):
(2)当y=0时.即ax2-4ax+3a=0,
解得：x1=1,x2=3,
抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)：
(3)当a<0时，点A(0,3a)在点Q(0,a-2)上方时，抛物线与线段PQ恰有一个
公共点，a=-1,
0
可知3a>a-2,
解得：a≥-1，
a的取值范围为-1≤a<0:
当a>0时，点P(a,0)在抛物线过与x轴的交点(1,0)，(3,0)之间时，抛物线与
线段PQ恰有一个公共点，
a的取值范围为1≤a<3,
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o
此时，Q(0,-1),抛物线与线段PQ有一个公共点：
综上所述，当-1≤a<0或1≤a<3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
2.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B
(-3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值：
(3)若M,N为抛物线上两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为
D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面
积：如果不存在，请说明理由
B
备用 图
【解答】解：(1)由题意可设抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x+3),
将C(0,3)代入得：3=a(0+1)(0+3),
解得a=1.
∴.抛物线的函数表达式为y=(x+1)(x+3),即y=x2+4x+3.
(2)如图1，连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.
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=2
C
P
图1
A(-1,0),B(-3,0),C(0,3).
∴BC=√32+32=3W2,4C=√32+12=V10
,点A、B关于对称轴x=-2对称，
∴.PA=PB
∴PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.
∴.点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC,
∴.△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3W2+√10：
(3)存在点M,N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F,过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH
都为等腰直角三角形，
设M(x1,y1),N(x2,2),设直线MW解析式为y=x+b,
H
图2
y=x+b
联立得：
y=x2+4x+3
-730-罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题13二次函数综合运用（易1）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ar+3a与
y轴交于点A.
(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）：
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)已知点P(a,0),Q(0,a-2),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函
数图象，求a的取值范围.
2.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，己知抛物线y=ax2+b+c与x轴交于A(-1,0)、B
(-3,0)两点，与y轴交于C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值：
(3)若M,N为抛物线上两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为
D,E,是否存在点M,N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面
积：如果不存在，请说明理由。
天A0
备用剡
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3.(翠园初级中学戚纪供题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx+c与x轴
交于A(5,0),B(-1,0)两点，与y轴交于点C(0,
2
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P在该抛物线的对称轴上，求使△PBC的周长最小的点P的坐标，并写出△PBC
周长的最小值
(3)在抛物线上是否存在点M,使得△ACM是以点A为直角顶点的直角三角形？若存
在，求出符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由.
y
A
图①
图②
4.(翠园文锦中学王新建供题)如图，抛物线y=a2+bx+c经过点A(-3,0),B(1,0),
C(0,-3)
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M使得ADM是直角
三角形？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由。
个y
E
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5.(大望学校祝汉夫供题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+b+c经过点A(-
1,0)和点C(0,4),交x轴正半轴于点B,连接AC,点E是线段OB上一动点（不与
点O,B重合)，以OE为边在x轴上方作正方形OEFG,连接FB,将线段FB绕点F逆
时针旋转90°，得到线段FP,过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H,设点E(a,0).
(1)求抛物线的解析式。
(2)若△AOC与△FEB相似，求a的值
(3)当PH=2时，求点P的坐标.
AO E
B
6.（东湖中学赖联君供题)已知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)的顶点为(2，-1)，与y轴交
于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐
标：
(3)若点Q为线段0C上的一动点，问：A0+2QC是否存在最小值？若存在，求出
2
这个最小值：若不存在，请说明理由，
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