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专题13二次函数综合运用（易2）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(
3,0)两点，与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标
(2)试判断△BCD的形状，并说明理由.
(3)若点E在x轴上，点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一
边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由
【解答】解：(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，
:ah+3=0
9a-3b+3=0
解得a=-1,b=-2
.抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4
顶点D的坐标为(-1,4)：
(2)△BCD是直角三角形.
理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3,OC=3,
.BC2=0B2+0C2=18
在Rt△CDF中，DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴.CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中，DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴.BD2=DE2+BE2=20
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.'.BC2+CD2=BD2
△BCD为直角三角形.
(3)①当Q点的纵坐标为3时，
∴.把y=3代入y=-x2-2x+3求得x=0或-2，
.Q1(-2,3):
②当Q点的纵坐标为-3时，
把y=-3代入y=-x2-2+3求得x=√7-1或-√7-1，
∴02（√7-1，-3），03(-√7-1，-3)，
综上，Q点的坐标为(-2,3)或（√7-1，-3）或(-√7-1，-3).
(4)由(2)知BC=3V2,CD=V2,BD=2V5,
①：CD=2=是，A-是，故当P是原点O时，△4CPn△DBC:
BC3√23'0C3
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是(0，a),则PC=3-a,
AC
CD
=PC,即0=3=2，解得：4=-9，则P的坐标是(0，-9)，三角形ACP不是直
BD√22W5
角三角形，则△ACP∽△CBD不成立：
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是(0，b),则PC=3-b,
则C=PE即10=3b解待：h=故P是0，时，则△ACPn△
BC BD 3V2 2V5
CBD一定成立：
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(d,0)
则AP=1-d,当AC与CD是对应边时，C=恕，即D=1-是，解得：d=1-3W10,
CDBC√23W2
此时，两个三角形不相似：
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是(e,0)
则AP=1-e,当AC与DC是对应边时，C=P,即0=1-是，解得：e=9,
CDBD√22√5
符合条件，
总之，符合条件的点P的坐标为：(0,0)或(0，-二)或(-9,0).
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专题13二次函数综合运用（易2）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图，抛物线y=ar2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(-
3,0)两点，与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标
(2)试判断△BCD的形状，并说明理由.
(3)若点E在x轴上，点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一
边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由
个J
D
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2.(滨河实验中学林翠凤供题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+br+3(a≠0)与x轴
交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E,交x轴
于点D,求3V1DPE2BE的最大值以及此时点P的坐标：
5
(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移√10个单位长度得到新抛物线
y1,新抛物线y1和原抛物线相交于点F.新抛物线y1的顶点为点G,点M是直线FG上
的一动点，点N为平面内一点.若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接
写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程.
y
C
B
A
OD
B
图1
条用图
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3.(翠园初级中学戚纪供题)如图1，抛物线y=ax2+br+
5的图象与x轴交于A（-1,0),
B两点，过点C(1,2).动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运
动，设运动的时间为t秒
(1)求抛物线y=am2+hr+5的表达式：
3
(2)过D作DE⊥AB交AC于点E,连接BE.当1=3时，求△BCE的面积：
2
(3)如图2，点F(2,1)在抛物线上，连接AF,CF
①判断△ACF的形状并说明理由：
②当1=5时，连接CD,在抛物线上存在点P,使得∠ACP=∠DCF,求此时直线CP
与x轴的交点Q的坐标.
y本
y
D
D
图1
图2
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4.(翠园文锦中学王新建供题)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交于A
(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3m)(m>0),顶点为D
(1)求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）：
(2)如图1，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相
交于点Q,求的最大值：
00
(3)如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似.
A
0
B
图1
图2
5.(大望学校祝汉夫供题)如图1，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(-2,0),B(6,
0),与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线的解析式，
(2)如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标.
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件
的点M的坐标.
VD
C
图1
图2
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