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专题13二次函数综合运用（中等）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图，已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A
位于点B的左侧)，C为顶点，直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长：
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C',若新抛物线经过点D,
并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的
函数表达式.
2.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(ac≠0)
与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若线段OA、OB、OC
的长满足OC2=OA·OB,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线y=a2+bx+2
(a≠0)为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A,B(其中B在A的右侧)，与y轴交于
点C,且OA=4OB,
(1)求抛物线的解析式：
(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC,垂足为D.
①求PD的最大值：
②连接PC,当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标.
2
B
备用图
-350
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3.(翠园初级中学戚纪供题)如图1，已知抛物线y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A(-3,
0),B两点，与y轴交于点C.
(1)求a的值
(2)如图2，P是抛物线上一动点（不与点A,C重合），若点P在直线AC上方，OP
与AC相交于点G,求S的最大值，
OG
(3)若D为抛物线上一点，E为抛物线对称轴上一点，请直接写出以A,C,E,D为顶
点的四边形是平行四边形时D点的坐标。
2
B
0
0
1
图2
4.(翠园文锦中学王新建供题)如图①，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-4,0),
点B(2,0)和点C(0,-4),它的对称轴为直线1，顶点为D.
(1)求该抛物线的表达式：
(2)如图②，点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点，连接AP、CP、AC,当△
APC的面积取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图③，点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥直线I于F,
连接DE,当以D、E、F为顶点的三角形与△BOC相似时，求点E的坐标.
B
D
D
图①
图②
图
-351-深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题13二次函数综合运用（中等）
1.(罗湖教科院附属学校张萍供题)如图，已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A
位于点B的左侧)，C为顶点，直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长：
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'·若新抛物线经过点D,
并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的
函数表达式.
【解答】解：(1)由x2-4=0得，x1=-2,x2=2,
点A位于点B的左侧，
.A（-2,0),
,直线y=x+m经过点A,
.-2+m=0,
解得，m=2,
.点D的坐标为(0,2)，
4D=√0A2+0D2=2W2:
(2)设新抛物线对应的函数表达式为：y=x2+bx+2,
=24bx+2=(+9)22-b2
4
则点C'的坐标为(-2，
4
CC平行于直线AD,且经过C(0,-4),
∴，直线CC'的解析式为：y=x-4,
22
-4,
42
解得，b1=-4,b2=6,
∴.新抛物线对应的函数表达式为：y=x2-4x+2或y=x2+6r+2.
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2.(滨河实验中学林翠凤供题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx+c(ac≠0)
与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若线段OA、OB、OC
的长满足OC2=OAOB,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线y=ar2+b+2
(a≠0)为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A,B(其中B在A的右侧)，与y轴交于
点C,且OA=4OB.
(1)求抛物线的解析式：
(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC,垂足为D.
①求PD的最大值：
②连接PC,当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标.
D
7
备用阁、
【解答】解：(1)由题意得，
OC=2,0A=40B,
.0A.OB=0C2,
.40B2=4,
.OB=1,OA=4,
.A(-4,0),B(1,0),
:a地+2=0
16a-4b+2=0
1
a22
3'
b-
y2号42
(2)①如图1，
图1
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作PF⊥AB于F交AC于E,
,OA=4,OC=2,∠AOC=90°，
∴4C=VA02+0C2=2W5,
可得AC的关系式是：y=
2x+2,
设点P(m,-1m2.3
2m9
+2),E(m,
2m+2),
PE=(-1n2.3
2m2+2)(号
+2）=-5之-22—、
(m+2)24+2,
2
∴.当m=-2时，PE最大=2，
∠PDE=∠AFE=90°，∠PED=∠AEF,
∴.∠DPE=∠EAF,
,∠PDE=∠AOC,
△PDE∽△AOC,
..PD_PE
OA AC
.PD-OA-PE-4-PE-2V5-PE.
AC 2V5 5
∴PD最大=
②如图2，
D
y
图20
B
当△PCD∽△CAO时，∠PCD=∠CAB,
PC∥AB,
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
P(-3,2),
如图3，
.799-
