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专题14类比拓展探究题（中等）
1.(罗湖教科院附属学校肖馨蕊供题)将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α≤
90°)，得到矩形ABCD,连结BD.
D
D
图1
图2
图3
[探究1]如图1，当a=90°时，点C恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长
[探究2]如图2，连结AC,过点D作D'MI/AC交BD于点M.线段DM与DM相等
吗？请说明理由
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD,AC于点P,N(如图3)，发现线段
DWMW,PW存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.
2.(滨河实验中学林翠凤供题)【基础巩固】
(1)如图①，∠ABC=∠ACD=∠CED=a,求证：△ABC∽△CED.
【尝试应用】
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别为边AD,AB上两点，将菱形ABCD
沿F翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若Pm=2PB,求E的值，
n
【拓展提高】
(3)如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB,PC,若PA=2,PD=4,
∠BPC=120°，求AB的长.
E
①
②
③
-392-
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3.(翠园初级中学戚纪供题)(1)观察猜想：
如图1，在△ABC中，tanB=1,AB=AC=3,AD是∠BAC的平分线，以CD为一边作正
方形CDEF,点E与点A重合，则BE
=
AF
(2)类比探究：
在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF,(1)中的结论是
否成立？请按图2加以证明.
(3)问题解决：
当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长，
A
A(E
D
D
图1
图2
备用图
4.(翠园文锦中学陈冰荣供题)抛物线
y=mx2-2mx-3（m>0)与x轴交于A,B两点（点
A在点B的右侧)，与y轴交于点C且OA3OB.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若MN是第四象限的抛物线上不同的两点，且△ACGW的面积恒小于△ACM的面积，求点M
的坐标.
(3)若点D为抛物线的顶点，P为第三象限的抛物线上的一点，连接AP,PD,分别交y轴与
点E,F,若EF=一OC,求点P的坐标.
.393-
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5.(大望学校周婷婷供题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，
根据以上定义，解决下列问题：
(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此
时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
(2)如图2，己知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=1,AD>AB,点B到
直线AD的距离为E
①求E的长：
②若MN分别是AB、AD边上的动点，求△C周长的最小值，
FA
D
图1
图2
备用图
6.(东湖中学赖联君供题)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB,记旋转角为a.连
接BB,过点D作DE垂直于直线BB,垂足为点E,连接DB,CE.
B
图1
图2
(1)如图1，当a=60°时，△DEB的形状为
连接肌，可求出B的值
CE
为一
(2)当0°
①(1)中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明：若不成立，请说明理由：
②当以点B,E,GD为顶点的四边形是平行四边形时，求出B距_的值】
B'E
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专题14类比拓展探究题（中等）
1.(罗湖教科院附属学校肖馨蕊供题)将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°90°)，得到矩形ABCD,连结BD.
D
D
B
图1
图2
图3
[探究1]如图1，当a=90°时，点C恰好在DB延长线上.若AB=1,求BC的长.
[探究2]如图2，连结AC,过点D'作D'MII AC交BD于点M.线段DM与DM相等
吗？请说明理由.
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD,AC于点P,W(如图3)，发现线段
NW,PW存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.
【解答】[探究1]如图1，设BC=x,
0
⊙
图1
,矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'CD',点A,B,D'在同一直线上，
..AD'=AD=BC=x,D'C'=AB'=AB=1,
.'.D'B=AD'-AB=x-1,
.∠BAD=∠D'=90,D'C‘∥DA,
又点C在DB延长线上，
.△D'CB∽△ADB,
二=二，即=
解得x5,X5(不合题意，舍去)：“BC-5
2
2
2
[探究2]D'M=DM,理由如下：
.920-
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证明：如图2，连结DD,
图2
D'M∥AC',.∠AD'M=∠D'AC,
∴.AD'=AD,∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C=AB,
∴.△AC'D'≌△DBA(SAS),
.∠D'AC'=∠ADB,∴.∠ADB=∠AD'M,
,AD'=AD,.∠ADD'=∠AD'D,.∠ADD'-∠ADB=∠AD'D-∠AD'M,
∴.∠MDD'=∠MD'D,.D'M=DM;
[探究3]关系式为：MN=PN·DN,理由如下：
证明：如图3，连结AM,
D
N
B
B
A
图3
.'D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,
.△AD'M≌△ADM(SSS),
∴.∠MAD'=∠MAD,由旋转得∠NDA=∠NAP
.∠AMN=∠MAD+∠NDA,∠NAM=∠MAD'+∠NAP,
.∠AMN=∠NAM,
.'.MN=AN,
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA,∠NAP=∠NDA,
.△NAP∽△NDA,
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∴一=一∴.AN2=PN·DN,∴，MN2=PN·DN
2.(滨河实验中学林翠凤供题)【基础巩固】
(1)如图①，∠ABC=∠ACD=∠CED=a,求证：△ABC∽△CED.
【尝试应用】
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别为边AD,AB上两点，将菱形ABCD
沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若Pm=2PB,求E的值。
AF
【拓展提高】
(3)如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB,PC,若PA=2,PD=4,
∠BPC=120°，求AB的长.
D
B
①
②
③
【解答】解：(1)，∠ABC=∠ACD=a,∠ACE=∠什∠ABC,
,.∠DC卧a=∠A什a,即∠A=∠ECD,
,∠ABC=∠CED=a,
.△ABC∽△CED
(2),四边形ABCD为菱形，
.AB=AD,
.∠A=60°，
∴，△ABD为等边三角形，
∴.∠EPF=∠A=∠ADB=∠ABD=60°，
由(1)得：△DPE∽△BFP,
.ED PD PE
PB BF PF
设BP=a,则DP=2a,AE=PE=x,AF=PF=,
则DE=3a-x,BF=3a-y,
.922