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专题15一次函数反比例函数二次函数相结合的图像
选择题【针对9题】(较难)
1.(滨河实验中学林翠凤供题)已知一次函数y=a+c与反比例函数y=bc在同一平面直角
坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax+bx+c的图象可能是()
y
2.(翠园初级中学刘宙供题)如图,已知OA=6,OB=8,BC=2,⊙P与OB、AB均相切,
点P是线段AC与抛物线y=ax的交点,则a的值为()
A.4
B.9
c号
D.5
y
0
A
3.(翠园文锦中学陈冰荣供题)函数y=ax+br+C的图象如图所示,则函数y=a心+C
b
与函数x在同一坐标系内的图象可能是()
-430
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共米十
4.
(大望学校周婷婷供题)二次函数y=ax+bxr+c的图象如图,则一次函数y=ax+b-4ac
与反比例函数=±.在同一坐标系内的图象大致为()
品之之
5.(罗湖中学廖广元供题)二次函数=2+
+的图象如图所示,下列结论中正确的
是()
①
<0
②2-4
<0
③2>④+)2<2
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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6.(罗外实验陈颖贤供题)如图,函数y=ax2+brx+c的图象过点(-1,0)和(m,0),请思考下
列判断:
①abc<0:
②4a+c<2b:③2-1-1:④am2+(2a+b)m+a+b+c<0:⑤
am+a =b2 -4ac
正确的是(
A.①③⑤
B.①③④
C.①②③④⑤
D.①②③⑤
7.(布心中学卢德云供题)如图,抛物线L:y=ax+bxtc(a≠0)与x轴只有一个公共点A
(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度
得抛物线L2,则图中两个阴影部分的面积和为()
A.1
B.2
C.3
D.4
8.(桂园中学陈维扬供题)如图,二次函数y=a2+bx+c图象经过点A(-6,0),其对称轴
为直线x=-2,有下列结论:①abc<0:②4a+2b+c<0:③9a+4c<0;④4ac-b2>0:
⑤若P(-8,y),Q(m,y2)是抛物线上两点,且y>y2,则实数m的取值范围是-8中正确结论的个数是()
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=-2
A.1
B.2
C.3
D.4
9.(红柱中学薛子文供题)如图,直线y=x+2与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B
2
1
若抛物线y=(c-)+k的顶点在直线y=-2x上移动,且与线段B、B0都有公共点,则
h的取值范围是(
)
B
A.-1.5≤h≤0.5
B.-2≤h≤0.5
C.-1.5≤h≤1.5
D.-2≤h≤1.5
10.(罗湖实验李亚超供题)如右图,矩形ABCD的边BC在x轴的负半轴上,顶点D(a,b)
在反比例函数y=上的图像上,直线AC交y轴点B,且S△BCE=4,则k的值为0
0
A.-16
B.-8
C.-4
D.-2
11.(东湖中学赖联君供题)在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一
次函数y=ax+b的图象可能是()深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队 联合编辑
专题 15 一次函数反比例函数二次函数相结合的图像
选择题
【针对 9 题】(较难)
1.(滨河实验中学林翠凤供题)已知一次函数 y=ax+c 与反比例函数 y= 在同一平面直角
坐标系中的图象如图所示,则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解:观察函数图象可知:a>0,b<0,c<0,
∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,对称轴 x=﹣ >0,与 y 轴的交点在 y 轴负
半轴.
故选:B.
2.(翠园初级中学刘宙供题)如图,已知 OA=6,OB=8,BC=2,⊙P与 OB、AB 均相切,点
P是线段 AC y ax2与抛物线 = 的交点,则 a的值为( )
A.4 B. C. D.5
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【答案】D
【解析】
在 Rt△AOB 中,OA 6,OB 8,
∴ BC OA2 OB2 62 82 10;
∵OB 8, BC 2,
∴OC=6,
∴C(0,6);
∵OA 6,
∴A(6,0);
设直线 AC 的解析式为 y kx b,
6k b 0
∴ ,
b 6
k 1
解得 ,
b 6
∴直线 AC 的解析式为 y x 6;
设 P的半径为 m,
∵ P与OB相切,
∴点 P的横坐标为 m,
∵点 P在直线直线 AC 上,
∴P(m,-m+6);
连接 PB、PO、PA,
∵ P与OB、 AB均相切,
∴△OBP 边 OB 上的高为 m,△AOB 边 AB 上的高为 m,
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∵P(m,-m+6);
∴△AOP 边 OA 上的高为-m+6,
∵ S AOB S AOP S APB S BOP ,
1 6 8 1 6 m 6 1 1∴ 10m 8m,
2 2 2 2
解得 m=1,
∴P(1,5);
∵抛物线 y ax2过点 P,
∴ a 5.
故选 D.
3. (翠园文锦中学陈冰荣供题)函数 y= ax2 +bx+c的图象如图所示,则函数 y=ax+c与
b
函数 y= 在同一坐标系内的图象可能是( )
x
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由二次函数的图象与性质,抛物线开口向上时,a>0,与 y轴交点在负半轴,c<0,对称轴在
b
y 轴左侧, - <0,a>0,则 - b<0,则 b>0.
2a
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由一次函数的图象与性质知,a>0 时,直线经过第一、第三象限,c<0 时,直线经过第三、
第四象限,综上所述,直线 y=ax+c经过第一、第三、第四象限;由反比例函数的图象与
性质知,b>0 时,双曲线经过第一、第三象限,故选 B.
4.(大望学校周婷婷供题)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,则一次函数 y=ax+b2﹣4ac
+
与反比例函数 y= .在同一坐标系内的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上,∴a>0.
∵ >0,∴b<0.
2
∵抛物线交 y 轴负半轴,∴c<0.
∴b+c<0,∴反比例函数过二四象限.
∵抛物线与 x 轴交于两点,∴b2﹣4ac>0.
∴一次函数 y=ax+b2﹣4ac 经过一二三象限.
故选:C.
5.(罗湖中学廖广元供题)二次函数 = 2 + + 的图象如
图所示,下列结论中正确的是( )
① < 0
② 2 4 < 0
③2 > ④( + )2 < 2
A. 1个
B. 2个
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C. 3个
D. 4个
【答案】A
【解答】由函数图象可知 < 0,对称轴在 0和 1之间,图象与 轴的交点 > 0,函数与
轴有两个不同的交点,∴ 1 < < 0
2
∴ 2 > 0, < 0;
∴△= 2 4 > 0;
> 0; > 2
当 = 1 时, < 0,即 + + < 0;
当 = 1时, > 0,即 + > 0;
∴ ( + + )( + ) < 0,即( + )2 < 2;
∴只有④是正确的;
故选: .
6.(罗外实验陈颖贤供题)如图,函数 y ax2 bx c的图象过点 1,0 和 m,0 ,请思考下
列判断:
①abc b 1 0;② 4a c 2b;③ 1 2;④ am 2a b m a b c 0;⑤
c m
am a b2 - 4ac.
正确的是( )
A.①③⑤ B.①③④ C.①②③④⑤ D.①②③⑤
【答案】C
【解析】
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∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线交 y 轴于正半轴,
∴c>0,
b
∵ >0,
2a
∴b>0,
∴abc<0,故①正确,
∵x= 2 时,y<0,
∴4a 2b+c<0,即 4a+c<2b,故②正确,
∵y=ax2+bx+c 的图象过点( 1,0)和(m,0),
c
∴ 1×m= ,am2+bm+c=0,
a
am b 1
∴ 0,
c c m
b 1
∴ 1 ,故③正确,
c m
b
∵ 1+m= ,
a
∴ a+am= b,
∴am=a b,
∵am2+(2a+b)m+a+b+c
=am2+bm+c+2am+a+b
=2a 2b+a+b
=3a b<0,故④正确,
b b2 4ac b b2 4ac
∵m+1= ,
2a 2a
b2 4ac
∴m+1= ,
a
∴|am+a|= b2 4ac,故⑤正确,
故选:C.
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7.(布心中学卢德云供题)如图,抛物线 L1:y=ax
2+bx+c(a≠0)与 x轴只有一个公共点 A
(1,0),与 y 轴交于点 B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度
得抛物线 L2,则图中两个阴影部分的面积和为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
解:如图所示,
过抛物线 L2的顶点 D 作 CD∥x 轴,与 y 轴交于点 C,
则四边形 OCDA 是矩形,
∵抛物线 L1:y=ax
2+bx+c(a≠0)与 x 轴只有一个公共点
A(1,0),与 y 轴交于点 B(0,2),
∴OB=2,OA=1,
将抛物线 L1向下平移两个单位长度得抛物线 L2,则 AD=OC=2,
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 OCDA 的面积,
∴S 阴影部分=S 矩形OCDA=OA AD=1×2=2.
故选:B.
8.(桂园中学陈维扬供题)如图,二次函数 y ax2 bx c图象经过点 A( 6,0),其对称轴
为直线 x 2,有下列结论:① abc 0;② 4a 2b c 0;③ 9a 4c 0;④ 4ac b2 0;
⑤若 P( 8, y1),Q(m, y2 )是抛物线上两点,且 y1 y2,则实数m的取值范围是 8 m 4.其
中正确结论的个数是 ( )
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A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解答】解:①观察图象可知: a 0, b 0, c 0,
abc 0,故①正确;
② 二次函数 y ax2 bx c的图象经过点 A( 6,0),其对称轴为直线 x 2,
二次函数 y ax2 bx c的图象经过点 A( 6,0)关于直线 x 2的对称点 (2,0),
故当 x 2时, y 0,即 4a 2b c 0,故②错误;
b
③抛物线的对称轴为直线 x 2,即 2,
2a
b 4a,
4a 2b c 0,
12a c 0,即 c 12a,
9a 4c 39a 0,故③正确;
④因为抛物线与 x轴有两个交点,所以△ 0,即 b2 4ac 0,
4ac b2 0.故④错误;
⑤ ( 8, y1)关于直线 x 2的对称点的坐标是 (4, y1),
当 y1 y2时, 8 m 4.故⑤正确.
故选:C.
1 1
9.(红桂中学薛子文供题)如图,直线 y x 2与 y轴交于点 A,与直线 y x交于点 B,
2 2
若抛物线 y (x h)2
1
k 的顶点在直线 y x上移动,且与线段 AB、 BO都有公共点,则
2
h 的取值范围是( )
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A. 1.5 h 0.5 B. 2 h 0.5 C. 1.5 h 1.5 D. 2 h 1.5
【答案】B
y 1 x 2
y 1 x 1
【解析】解:∵将 2与 y x 2联立得: ,2 2 y 1 x
2
x 2
解得: .
y 1
∴点 B的坐标为( 2,1),
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h,k),
1 1 1
∵将 x=h,y=k,代入得 y= 2 x 得: 2 h=k,解得 k= 2 h,
∴抛物线的解析式为 y=(x 1h 2) 2 h,
如图 1所示:当抛物线经过点 C 时,
将 C(0,0)代入 y=(x 1 1 1h 2)2 2 h 得:h 2 h=0,解得:h1=0(舍去),h2= 2 ;
如图 2所示:当抛物线经过点 B 时,
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2 1 2 1 2将 B( 2,1)代入 y=(x h) 2 h 得:( 2 h) 2 h=1,整理得:2h +7h+6=0,解得:
3
h1= 2,h2= (舍去).2
1
综上所述,h 的范围是 2≤h≤ 2 .
故选:B.
10.(罗湖实验李亚超供题)如右图,矩形 ABCD 的边 BC 在 x轴的负半轴上,顶点 D(a,b)
k
在反比例函数 y= 的图像上,直线 AC 交 y 轴点 E,且 S△BCE=4,则 k 的值为
x
( )
A.-16 B.-8 C.-4 D.-2
【答案】B
【解析】
分析:根据因为 S△EAB-S△CAB=S△BCE,求出 ab 的值.
1
详解: b xE xB
1
b xC x2 2 B
1
= b xE xB xC+xB 2
1
= b xE xC 2
1
= ab .
2
1
因为 S△EAB-S△CAB=S△BCE,所以 ab=4,则 ab=-8.2
所以 k=ab=-8.
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故选 B.
11.(东湖中学赖联君供题)在同一平面直角坐标系内,二次函数 y=ax2+bx+b(a≠0)与一
次函数 y=ax+b 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解:A、二次函数图象开口向上,对称轴在 y 轴右侧,
∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点,
故 A 错误;
B、∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y轴左侧,
∴a<0,b<0,
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点,
故 B 错误;
C、二次函数图象开口向上,对称轴在 y 轴右侧,
∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点,
故 C 正确;
∵D、二次函数图象开口向上,对称轴在 y轴右侧,
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∴a>0,b<0,
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,且与二次函数交于 y 轴负半轴的同一点,
故 D 错误;
故选:C.
2
12.(松泉黄璨供题)在同一平面直角坐标系内,二次函数 y ax bx c a 0 与一次函
数 y ax b的图像可能是( )
【答案】C
【解析】
选项 A,由抛物线可知, a 0,b 0,所以一次函数图像经过第一、三、四象限,且与抛物
线交于 y 轴负半轴的同一点,故 A错误;选项 B,由抛物线可知,a 0,b 0,所以一次函
数图像经过第二、三、四象限,且与抛物线交于 y 轴负半轴的同一点,故 B错误;选项 C,
由抛物线可知, a 0,b 0,所以一次函数图像经过第一、三、四象限,且与抛物线交于
y轴负半轴的同一点,故 C正确;选项 D,由抛物线可知,a 0,b 0,所以一次函数图像
经过第一、三、四象限,且与抛物线交于 y轴负半轴的同一点,故 D 错误;
3
13.(罗湖教科院附属学校张旭供题)如图,直线 1 与反比例函数 = > 0 的图
象相交于 , 两点,线段 的中点为点 ,过点 作 轴的垂线,垂足为
点 .直线 2 过原点 和点 .若直线 2 上存在点 , ,满足 ∠ =
∠ ,则 + 的值为
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A. 3 5 3B. 3 或
2
C. 5 + 5 或 3 5 D. 3
【答案】C
【解析】如图,作 △ 的外接圆 ⊙ ,交直线 2 于 ,连接 , ,则 ∠ =
∠ 满足条件.
由题意 1,3 , 3,1 ,
∵ = ,
∴ 2,2 ,
∵ ⊥ 轴,
∴ 2,0 ,
∵ = 12 + 32 = 10, = 22 + 22 = 2 2, = 12 + 12 = 2,
∴ 2 = 2 + 2,
∴ ∠ 是直角三角形,
∴ 是 3的中点, , 3 ,
2 2
∵ 直线 的解析式为 = ,
∴ , ,
∵ = = 10 = 3 2, ,
2 2
∴ = 3 2 10,
2 2
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∴ = 3 5,
2 2
∴ = = 3 5,
2 2
∴ + = 3 5 3 5,此时 , 3 5 ,
2 2 2 2
5 5 5 5
根据对称性可知,点 关于点 的对称点 + , +
2 2 2 2
∴ + = 5 + 5,
综上所述, + 的值为 5 + 5 或 3 5,
故选:C.
14.(罗湖外语初中学校吴丹妮供题)已知二次函数 y ax 2 bx c图象的对称轴为 x 1,其
图象如图所示,现有下列结论:① abc 0;②b 2a 0;③a b c 0;④
a b n(an b),(n 1);⑤ 2c 3b.其中正确结论的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
b
解:根据题意由图像得:抛物线开口向下 a 0,抛物线对称轴 x 1, x 1,
2a
∴b 2a 0,抛物线与 y轴的交点,在 y 轴正半轴,c>0,
∴abc<0 ,故① 错误;
∴b 2a 2a 2a 4a 0,故②错误;
当 x 1时, a b c 0,故③错误;
当 x 1时,函数有最大值 a b c,
∴ a b c an2 bn c,(n 0),整理即可得a b n(an b),(n 1);故 ④ 正确;
b
∵当 x 1时, a b c 0, a ,
2
b
∴ b c<0,即 2c 3b.故⑤正确
2
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故应选 B.
k
15.(翠园东晓杨紫韵供题)函数 y 与 y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可
x
能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由 y=﹣kx2+k 得对称轴为 x=0.
k
A 选项中, y 的两支曲线在二、四象限,则 k<0。则 y=﹣kx2+k 开口向上,与 y 轴
x
的交点在 y 轴的负半轴,故 A 错误。
k
在 BCD 选项中, y 的两支曲线在一、三象限,则 k>0。则 y=﹣kx2+k 开口向下,与
x
y 轴的交点在 y 轴的正半轴。所以 B 正确,C、D 错误。
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