深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题21
规律探究解析（难)
1.(滨河实验中学周玉华供题)育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直
角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、向
右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点A,
第2次移动到点A,…第n次移动到点A,则△0A,A的面积是一·
A1
Ag10
413
43
A7
A11
412
【解答】解：由题意可得：OA4n=2n,
.2021÷4=505…1,
0A2020=2×505=1010,
.A2A2021=1010-1=1009,
则△0A420m1的面积为号×1×1009=1009
2
故答案为：
1009
2
2.(翠园初级中学陈静供题)如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆
01,02,03,·,组成一条平滑的曲线，点P从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速
度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是
第4题图
【解析】，圆的半径都为1，∴半圆的周长=π，以时间为点P的下标.观察发现规律：
P0(0,0),P1(1,1),P2(2,0),P3(3,-1),P4(4,0),P5(5,1),,∴.P4n(4n,0),
P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,-1)..2019÷4=504..3,.
第2019秒时，点P的坐标为(2019，一1).
3.(翠园文锦辜靖晶供题)相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立
了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，
小金盘压着较大的金盘.如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移
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动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外，
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h(n)是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数.
[问题探究]
探究一：当n=1时，显然h(1)=1.
探究二：当n=2时，如图①
探究三：当n=3时，如图②.
h
中
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
中
小金盘+2柱
1柱2柱3柱
大金盘+3柱
小金盘从2柱+3柱
需移动1次)
(需移动1次)
【需移动1次）完成
图①
中
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
先用(2)的方法把小、
再将大金盘+3柱
最后再用(2)的方
中两金盘移动到2柱
(需移动1次)
法把小、中两金盘
(需移动3次)
从2柱→3柱（需移
动3次)完成
图@
(1)探究四：当n=4时，先用h(3)的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金
盘移动到3柱，最后再用h(3)的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即
h(4)=
(直接写出结果).
(2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次：将(x+1)
个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动
次（用含a的代数式表示）.
(3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，
至少需要多少次？（写出必要的计算过程.）
(4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动
到3柱，至少需要移动
次
(⑤)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子
移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），
则移动完64个金盘至少需要移动
次
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专题21
规律探究解析（难)
1.(滨河实验中学周玉华供题)育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面
直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向上、向右、向下、
向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点
A,第2次移动到点A…第n次移动到点A,则△OAA1的面积是
A1
A5
A9410
413
43
A7
411
412
2.(翠园初级中学陈静供题)如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半
圆01,02,03，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点0出发，沿这条曲线向右运动，
速度为每秒2个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是
第4题图
3.(翠园文锦辜靖晶供题)相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立
了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，
小金盘压着较大的金盘.如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移
动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外
[问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？
设h(n)是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数
[问题探究]
探究一：当n=1时，显然h(1)=1.
探究二：当n=2时，如图①.
探究三：当n=3时，如图②.
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中
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
中
小金盘+2柱
大金盘+3柱
1柱2柱3柱
小金盘从2柱+3柱
需移动1次)
(需移动1次)
(需移动1次)完成
图①
中
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
1柱2柱3柱
先用(2)的方法把小、
再将大金盘+3柱
最后再用(2)的方
中两金盘移动到2柱
(需移动1次)
法把小、中两金盘
(需移动3次)
从2柱+3柱（需移
动3次)完成
图②
(1)探究四：当n=4时，先用h(3)的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金
盘移动到3柱，最后再用h(3)的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即
h(4)=
(直接写出结果).
(2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将(x+1)
个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动次（用含a的代数式表示）.
(3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，
至少需要多少次？（写出必要的计算过程.）
(4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动
到3柱，至少需要移动
次.
(⑤)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子
移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），
则移动完64个金盘至少需要移动
次.
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