深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
专题7圆的一证一算（较难)
1.(滨河实验中学杨霞供题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接
OD并延长交⊙O于点E,作∠EBP=∠EBC,BP交OE的延长线于点P.
(1)求证：PB是⊙0的切线：
(2)若AC=2,PD=6,求⊙0的半径.
【答案】解：(1)证明：，AB为直径，
∴.∠ACB=90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD之C,D/AC
∴.∠ODB=∠ACB=90°·
.0B=0E,
.∠OEB=∠OBE,
又，∠OEB=∠PA4∠EBP,∠OBE=∠OBD+∠EBC,
∴.∠PA∠EBP=∠OBDH∠EBC,
又∠EBP=∠EBC,
∴.∠P=∠OBD.
,∠BOD∠OBD=90°，
∴.∠BO0t∠P=90°，
.∠0BP=90°.
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线.
(2),AC=2,
由(D得002AC=1
又PD=6,
-286-
深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
∴.P0=PD400=6+1=7.
,∠P=∠P,∠BDP=∠OBP=90°，
∴.△BDP∽△OBP
..BP DP
OP BP
即BP=0PDP=7X6=42,
BP=√42
∴0B=√0P2-BP2=V49-42=√7.
故⊙0的半径为√7.
4
0
2.(翠园初级中学杨馥羽供题)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙0外一
点，且PA=PC=V2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F
(1)若tan∠ABC=2V2,证明：PA是⊙0的切线：
(2)在(1)条件下，连接PB交⊙O于点E,连接DE,若BC=2,求DE的长.
B
D
【答案】
(1)证明：设BC=a,
AB是直径，
∴.∠ACB=90°，
.tan∠ABC=-=2√2，
AC=2W2a,A=V√2+2=
2+(2V2)2=3a,
00c=0M=0s2,CD=A=V2a,
-287-
深圳市洪飞市名师工作室团队&罗湖区初中数学中考研究团队联合编辑
PA=PC=V2AB,
∴.PA=PC=3V2a,
.∠PDC=90°，
.P0=V2-2=V182-22=4a,
.DC=DA,A0=0B,
∴0咖=80=，
∴A=PDOD,
一=一，
.∠ADP=∠AD0=90°，
∴.△ADP△ODA,
∴.∠PAD=∠DOA,
.∠D04H∠DA0=90°，
∴.∠PADH∠DAO=90°，
.∠PA0=90°，
∴.OA⊥PA,
∴PA是⊙O的切线.
(2)解：如图，过点E作EJLPF于J,BK⊥PF于K.
.BC=2,
由(1)可知，PA=6V2,AB=6,
,∠PAB=90°，
∴.PV2+2=V72+36=6V3,
.PA=PE PB,
∴PB=胎=43，
.∠CDK=∠BKD=∠BCD=90°，
四边形CDB是矩形，
.CD=BK=2V2,BC=DK=2,
PD=8,
∴.PK=10,
.EJ//BK,
-288罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
专题7圆的一证一算（较难)
1.(滨河实验中学杨霞供题)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接
OD并延长交⊙O于点E,作∠EBP=∠EBC,BP交OE的延长线于点P.
(1)求证：PB是⊙0的切线：
(2)若AC=2,PD=6,求⊙0的半径.
0
D
E
2.(翠园初级中学杨馥羽供题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一
点，且PA=PCV2AB,连接PO交AC于点D,延长PO交⊙O于点F
(1)若tan∠ABC=2v2,证明：PA是⊙O的切线：
(2)在(1)条件下，连接PB交⊙O于点E连接DE,若BC=2,求DE的长
C
D
0
A
-155-
罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
3.(翠园文锦中学李晶供题)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点F是半径A0
上一动点（不与O,A重合），过点F作射线1⊥AB,分别交弦AC,AC于出，D两点，在射
线1上取点E,过点E作⊙O的切线EC
D
H
B
(1)求证：EC=EH.
(2)当点D是AC的中点时，若∠ABC=60°，判断以OA,D,C为顶点的四边形是什么特
殊四边形，并说明理由，
4.(大望学校王宇供题)已知：在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,AD上的点，过点F作
EF的垂线交DC于点以，以EF为直径作半圆O.
F
D
D
图1
图2
(1)填空：点A(填“在”或“不在"”)半圆O上；当=时，tan∠AEF的值是：
(2)如图1，在△EFH中，当FE=FH时，求证：AD=AE+D州
(3)如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，请直接写出队AE、DM三条线段的数量关
系
-156-
罗湖区初中数学中考研究团队&深圳市洪飞市名师工作室团队联合编辑
5.(东湖中学何少华供题)如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H,连接BC,过
弧AD上一点E作EF∥BC,交BA的延长线于点F,连接CE,其中CE交AB于点G,且FE
=FG.
(1)求证：EF是⊙0的切线：
(2)如图2，连接E,求证：E=BGBF:
(3)如图3，若GD的延长线与FE的延长线交于点h,tanf=-3,BC=5√，求DM的值，
4
G
B
D
D
D
图1
图2
图3
6.(罗湖中学吴苗苗供题)如图，
是
的外接圆，
是直径，是中点，直线
与
相交于，两点，是
外一点，在直线
上，连接，，，且满足∠=
∠
(1)求证：
的
的切线：
(2)证明：
2=4
(3)若
=8,tan∠
=子求
的长
E
D
D
O
B
A
备用图
-157-
