(共47张PPT)
第3讲 三角函数的图象与性质
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
A
2.(人A必一5.6节习题改编)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则ωφ=( )
B
(3,+∞)
真题体验
A
2.(2024·新高考 Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin( )的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
以题梳点 核心突破
考点一 三角函数的图象与解析式
C
[对点训练1]
C
B
考点二 三角函数的图象变换
A
D
[对点训练2](1)(2024·山东潍坊二模)将函数f(x)=cos x的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象上的所有点,纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,则g(x)=( )
B
AD
考点三 三角函数的性质
D
ACD
本 课 结 束(共38张PPT)
第4讲 解三角形
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A必二6.4.3节例题改编)在△ABC中,c=1,a=2,C=30°,则A=( )
A.60° B.90° C.45° D.120°
B
2.(人A必二6.4.3节习题改编)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC= ,则△ABC的面积等于( )
B
3.(人A必二6.4.3节例题改编)如图,某市区域地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在江的南岸,距离为20 km,基站A,B在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为( )
D
4.(人A必二6.4.3节习题改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c= .
真题体验
1.(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且C= ,则B=( )
C
解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
即sin(A-B)=sin C.
又因为A,B,C是△ABC的内角,
2.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+b)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=( )
B
C
4.(2021·全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
以题梳点 核心突破
考点一 正弦定理、余弦定理的直接应用
B
(2)(2024·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A=( )
A
[对点训练1](1)(2024·福建三明三模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=3,b= ,c=7,则A+C的值为( )
C
(2)(2024·山东青岛一模)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A
考点二 三角形中的最值与范围问题
例2(2024·湖北武汉二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(2a-c)cos B-bcos C=0.
(1)求B;
解 (1)∵(2a-c)cos B-bcos C=0,
由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B-sin Bcos C=0,2cos Bsin A-cos Bsin C-sin Bcos C=0,
即2cos Bsin A=sin Bcos C+cos Bsin C,
∴2cos Bsin A=sin(B+C)=sin A.
∵A∈(0,π),∴sin A≠0,即cos B= .
∵B∈(0,π),∴B= .
[对点训练2](2024·广东茂名一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin(B+C)=asin
(1)求B的大小;
(2)若D是边AC的中点,且BD=2,求△ABC面积的最大值.
考点三 解三角形的实际应用
例3(1)(2024·山东临沂一模)在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B则向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标,接着A改为向西偏北 方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为( )
A.7千米 B.8千米
C.9千米 D.10千米
D
(2)(2024·江苏扬州模拟)小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B,测得AB=20 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°, 60°,在点B处测得点D的仰角为30°,则塔CD高为 m.
20
解析 在△ACD中,延长DC与BA的延长线交于点E,如图所示.
由题意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°,
∠DBA=30°,所以A,B,E三点在同一条直线上,
所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,∠ADC=30°,
∠BDA=30°,所以△ACD,△BAD为等腰三角形,
即|CD|=|CA|,|AD|=|AB|.设|CD|=x,即|CA|=x,
在△ACD中,由余弦定理得,|AD|2=|CD|2+|CA|2-2|CD||CA|cos∠DCA,
规律方法
1.实际测量中的有关几个术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角 与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°
术语名称 术语意义 图形表示
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
例:(1)北偏东α:
(2)南偏西α:
坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即 =tan θ
2.解三角形实际应用题的步骤
[对点训练3](1)(2024·陕西西安模拟)在100 m高的楼顶A处,测得正西方向地面上B,C两点(B,C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°,则B,C两点之间的距离为( )
D
(2)(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度,小张选取了大厦的一个最高点A,点A在大厦底部的射影为点O,两个测量基点B,C与O在同一水平面上,他测得BC=102 米,∠BOC=120°,在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ=2),在点C处测得点A的仰角为45°,则该大厦的高度OA= 米.
204
本 课 结 束(共52张PPT)
第1讲 平面向量
2025
新高考核心考点 2021年 2022年 2023年 2024年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.三角恒等变换 第6题 第6题 第8题 第7题 第4题 第13题
2.三角函数的性质与图象 第4题 第6题 第9题 第15题 第16题 第7题 第9题
3.正弦定理、余弦定理,解三角形 第19题 第18题 第18题 第18题 第17题 第17题 第15题 第15题
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A必二6.2节习题改编)已知向量a,b的夹角为45°,|a|=1,|b|= ,
则|2b-a|=( )
A
2.(人A必二6.3.4节例7改编)若向量a=(3,-4),b=(-1,m),且a∥b,则m=( )
D
120°
因为0°≤θ≤180°,
所以θ=120°,
即a与b的夹角为120°.
真题体验
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
B
2.(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),
∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.
3.(2023·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
D
解析 (方法一)由题意得,a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
(方法二)由题意得,a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0. ∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
4.(2023·全国甲,文3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos
=( )
B
以题梳点 核心突破
考点一 平面向量的线性运算
B
(2)(2024·安徽马鞍山三模)已知平面向量e1,e2不共线,a=(2k-1)e1+2e2,
b=e1-e2,且a∥b,则k=( )
A
B
解析 点M是边AC上靠近点A的三等分点,点N是BC的中点,如图所示,
A.4 B.3 C.2 D.1
B
B
解析 如图所示,
考点二 平面向量的数量积及其运算
例2(1)(2024·浙江金华三模)已知|a|=4,|b|=3,|a+b|=|a-b|,则a·(a-b)=( )
A.-16 B.16 C.-9 D.9
B
解析 由|a+b|=|a-b|,两边平方可得a2+2b·a+b2=a2-2b·a+b2,所以b·a=0,所以a·(a-b)=a2-a·b=42-0=16.故选B.
(2)(2024·福建福州三模)已知线段AB是圆O的一条长为2的弦,则
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 取AB中点C,连接OC,
(3)(多选题)(2024·山东聊城二模)已知向量a=(-1,2),b=(1,λ),若b在a上的投影向量为a,则( )
A.λ=3 B.a∥b
C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45°
ACD
[对点训练2](1)(2024·山东潍坊模拟)在边长为2的正六边形ABCDEF中,
A.6 B.-6 C.3 D.-3
B
解析 在正六边形ABCDEF中,每个内角都是120°.连接EA,则∠FEA=∠FAE=30°,∠EAB=90°,故EA⊥AB.
(2)(2024·江苏南通三模)已知三个单位向量a,b,c满足a=b+c,则向量b,c的夹角为( )
C
(3)(2024·湖北武汉二模)已知x∈R,向量a=(x,2),b=(2,-1),且a⊥b,则a+b在a上的投影向量为( )
A. B.5 C.(1,2) D.(2,-1)
C
考点三 平面向量中的最值、范围问题
A
(2)(2024·湖南长沙期中)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,
[0,2]
解析 取线段BC中点为O,
A
考点四 平面向量的综合应用
[对点训练4](2024·四川成都模拟预测)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A].
(1)求B;
解 (1)因为(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(A+B)-sin A],
所以(a+b)(sin B-sin A)=c[sin(π-C)-sin A],
即(a+b)(sin B-sin A)=c(sin C-sin A).
由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(c-a),
所以b2-a2=c2-ac,即b2=c2+a2-ac,
即4b2=c2+2ac+4a2.又b2=c2+a2-ac,
所以4(c2+a2-ac)=c2+2ac+4a2,
所以3c2=6ac,显然c>0,所以 =2.
本 课 结 束(共51张PPT)
第2讲 三角函数的化简与求值
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
B
B
3.(人A必一第五章习题改编)若sin α-cos α= ,则tan α=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
真题体验
D
B
3.(2024·新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.
∵cos(α+β)=m,即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
4.(2024·新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β= +1,则sin(α+β)= .
以题梳点 核心突破
考点一 同角三角函数的基本关系、诱导公式
B
B
D
A
D
考点二 三角函数式的化简与求值
考向1给角求值
例2(1)(2024·四川成都期末)
计算:cos 20°·cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=( )
C
(2)(2024·广东二模)tan 7.5°-tan 82.5°+2tan 15°=( )
A.-2 B.-4
D
BCD
B
考向2给值求值
A
B
A
A
考向3给值求角
A
解析 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β =cos γ,
∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,即2-2sin αsin β-2cos αcos β =1,
A
B
(2)(2024·海南海口模拟)已知cos(α+2β)= ,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为 .
考点三 三角恒等变换的综合应用
求α+β的值.
(2)已知tan α=3,且sin(2α+β)=2sin β,求tan(α+β)的值.
(2)∵sin(2α+β)=2sin β,∴sin[α+(α+β)]=2sin[(α+β)-α],
∴sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α,
∴sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α.
∵tan α=3,
∴sin α≠0,cos α≠0,
∴sin(α+β)≠0,cos(α+β)≠0,
即tan(α+β)=3tan α.
又tan α=3,
∴tan(α+β)=9.
本 课 结 束