(共54张PPT)
第1讲 直线与圆
2025
新高考核心考点 2021年 2022年 2023年 2024年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.直线与圆 第11题 第11题 第14题 第15题 第6题 第15题
2.圆锥曲线的定义与方程 第5题 第14题 第3题 第13题 第16题 第5题 第16题 第12题 第5题
3.直线与圆锥曲线的位置关系 第21题 第11题 第21题 第10题 第16题 第22题 第5题 第10题 第16题 第10题
4.圆锥曲线的综合问题 第20题 第21题 第21题 第11题 第19题
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A选必一2.5.1节习题改编)直线2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为 .
2.(人B选必一2.2节习题改编)已知直线l1:(m+2)x-(m-2)y+2=0,直线l2:3x+my-5=0,且l1⊥l2,则实数m的值为 .
6或-1
解析 因为l1⊥l2,
所以3(m+2)-m(m-2)=0,
即m2-5m-6=0,
解得m=6或m=-1.
3.(人A选必一2.5.1节例题改编)过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 .
y-1=0或4x-3y-5=0
4.(人B选必一2.3.4节探索与研究改编)圆C1:x2+y2=2与圆C2:(x-2)2+y2=8的公切线方程为 .
x-y+2=0和x+y+2=0
解析 设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,
解得k=1,b=2或k=-1,b=-2,
故公切线方程为x-y+2=0和x+y+2=0.
5.(人B选必一第二章习题改编)过点P(6,3)作圆x2+y2-8x+6y=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB的方程为 .
2x+6y-15=0
解析 记圆x2+y2-8x+6y=0的圆心为C(4,-3),
因此以PC为直径的圆的圆心坐标为(5,0),半径为
所以该圆的方程为(x-5)2+y2=10,
将两圆方程相减得直线AB的方程为2x+6y-15=0.
真题体验
1.(2024·北京,3)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为( )
C
2.(2023·新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
B
解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),
半径R= .过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个
切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,
3.(2023·新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值
.
2(答案不唯一,可以是± ,±2中的任意一个)
4.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
x=-1(答案不唯一)
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
以题梳点 核心突破
考点一 直线与圆的位置关系
考向1直线与圆的位置关系及其应用
例1(1)(2024·浙江余姚模拟)已知圆C:x2+2x+y2-1=0,直线l:x+n(y-1)=0与圆C( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
D
解析 根据题意,直线l:x+n(y-1)=0恒过定点P(0,1).圆C:x2+2x+y2-1=0,即(x+1)2+y2=2,其圆心为C(-1,0),半径r= .由|PC|2=12+12=2=r2,得点P在圆C上,则直线l与圆C相交或相切.故选D.
(2)(2024·全国甲,理12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.2
C
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A
[对点训练1](多选题)(2024·山东济南模拟)已知直线l:x+my-m+2=0,
圆C:(x-1)2+(y-2)2=5,则下列说法正确的有( )
A.直线l恒过定点(-2,1)
B.直线l与圆C相交
C.当直线l平分圆C时,m=-3
D.当圆心C到直线l的距离最大时,m=
ACD
考向2圆的切线相关问题
例2(多选题)(2024·辽宁大连模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,M是直线l:y=-x-1上的动点,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则下列说法正确的有
( )
ABD
(7)线段AB称为切点弦,它是圆C与经过P,A,C,B四点的圆的公共弦,因此可以将这两个圆的方程相减得切点弦AB所在直线的方程.特别地,若圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,P(x0,y0),则切点弦AB所在直线的方程为(x-a)(x0-a)+
(y-b)(y0-b)=r2.
(8)切点弦AB所在直线所过定点坐标的求法.在直线l上设点P坐标为(m,n),然后用m,n表示出切点弦AB所在直线的方程,借助m,n的关系即可确定切点弦AB所在直线所过定点的坐标.
[对点训练2](2024·山东潍坊模拟)已知圆O:x2+y2=4,P为直线l:y=x+4上一点,过点P作圆O的两条切线,切点分别为A和B.若四边形PAOB的面积为12,则直线AB的方程为 .
3x+y+2=0或x+3y-2=0
解得m=-6或m=2.当m=-6时,P(-6,-2),此时直线AB的方程为-6x-2y=4,化简得3x+y+2=0;当m=2时,P(2,6),此时直线AB的方程为2x+6y=4,化简得x+3y-2 =0.所以直线AB的方程为3x+y+2=0或x+3y-2=0.
考点二 圆与圆的位置关系及其应用
例3(2024·山东菏泽模拟)已知圆C1:x2+(y-3)2=8与圆C2:(x-a)2+y2=8相交于A,B两点,直线AB交x轴于点P,则 的最小值为( )
B
[对点训练3](多选题)(2024·安徽合肥模拟)已知圆O:x2+y2=1,
圆C:(x-a)2+(y-1)2=4(a∈R),则下列说法正确的有( )
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2
AD
考点三 “隐圆”及其应用
例4(1)(2024·福建泉州模拟)已知A(0,-1),B(0,2),若直线l:y=ax+2上有且只有一点P满足|PB|=2|PA|,则a的值为( )
D
B
解析 因为直线l1:mx-y-5m+1=0,l2:x+my-5m-1=0,所以l1⊥l2.又l1的方程可化为m(x-5)-y+1=0,所以l1过定点M(5,1),l2的方程可化为m(y-5)+x-1=0,所以l2过定点N(1,5),因此点P的轨迹是以MN为直径的圆(除去点(5,5)),其方程为(x-3)2+(y-3)2=8,x≠5,其圆心为E(3,3),半径r=2 .由于|AB|=2 ,
[对点训练4](1)(2024·山东青岛模拟)已知圆O1:x2+(y-m)2=4上动弦AB的长为2 ,若圆O2:x2+y2=9上存在点P恰为线段AB的中点,则实数m的取值范围是( )
A.[2,4]
B.[1,3]
C.[-4,-2]∪[2,4]
D.[-3,-1]∪[1,3]
C
解析 由圆O1:x2+(y-m)2=4上动弦AB的长为2 ,可知弦AB的中点P到圆心
O1的距离为|O1P|= =1,所以动点P的轨迹为以O1为圆心,1为半径的圆,其轨迹方程为x2+(y-m)2=1.又圆O2:x2+y2=9上存在点P,则圆O2与圆x2+(y-m)2=1有公共点,圆O2:x2+y2=9的圆心为O2(0,0),半径为3,则3-1 ≤ |O2O1|≤3+1,即2≤|m|≤4,解得-4≤m≤-2或2≤m≤4,即m∈[-4,-2]∪[2,4].故选C.
(2)(2024·河北石家庄模拟)若△ABC满足条件AB=4,AC= BC,则△ABC面积的最大值为 .
本 课 结 束(共47张PPT)
第2讲 圆锥曲线中的基本问题
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A选必一3.1.1节习题)如果椭圆 上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是 .
14
解析 依题意椭圆中a2=100,所以a=10,因此|PF1|+|PF2|=2a=20,由于|PF1|=6,所以|PF2|=14.
3.(人A选必一3.3.1节习题改编)若抛物线y=4x2上的一点M与焦点间的距离是1,则点M的纵坐标是 .
4.(人B选必一2.6.2节习题改编)已知双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线的离心率等于 .
5.(人B选必一2.5节习题改编)已知点A是椭圆x2+2y2=4的长轴的左端点,以点A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形ABC,则斜边BC的长为 .
真题体验
1.(2022·全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
B
解析 设点A(xA,yA),由题意知点F(1,0),则|BF|=2.由抛物线的定义知|AF|=xA+1,又|AF|=|BF|,所以xA+1=2,即xA=1,
2.(2024·全国甲,理5)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )
A.4 B.3 C.2 D.
C
A
以题梳点 核心突破
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
考向1圆锥曲线的定义及其应用
B
B
解析 由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点.
考向2圆锥曲线的标准方程
C
(2)(2024·福建泉州二模)已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,若抛物线C恰过(-2,1),(1, ),(-2,-2)三点中的两点,则抛物线C的标准方程为 .
x2=4y
[对点训练2](2024·山东泰安三模)已知F(c,0)为双曲线C:
(a>0,b>0)的右焦点,直线x=c与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB是面积为4的直角三角形,则双曲线C的标准方程为( )
B
考点二 圆锥曲线的几何性质
D
(2)(2024·河南郑州模拟)已知双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若双曲线右支上存在点P,使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q,且|PF1|=4|F1Q|,则双曲线的渐近线方程为( )
B
规律方法 求双曲线渐近线方程的几种常用方法
A
考点三 圆锥曲线的离心率问题
考向1求离心率的值
例4(1)(2024·新高考Ⅰ,12)设双曲线C: (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交曲线C于A,B两点,若|F1A|=13, |AB|=10,则双曲线C的离心率为 .
解析 由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,
(2)(2024·湖南郴州高三模拟)双曲线C: =1(a,b>0)的左、右顶点分别为A,B,过原点的直线l与双曲线C交于M,N两点,若AM,AN的斜率满足kAM·kAN=2,则双曲线C的离心率为 .
C
考向2求离心率的取值范围
例5(1)(2024·吉林长春二模)已知双曲线 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是( )
B
(2)(2024·河北唐山高三模拟)已知椭圆C: (a>b>0),A,B是长轴的两个端点,若椭圆上存在点P,使得∠APB=120°,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A
[对点训练5](2024·宁夏银川二模)已知双曲线C =1(a>0,b>0),点B的坐标为(0,b),若双曲线C上存在点P使得|PB|D
本 课 结 束(共57张PPT)
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
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基础回扣 考教衔接
1.(人B选必一2.8节习题改编)如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点,则实数k的取值范围是( )
B
2.(人A选必一3.2节习题改编)过点P(2,1)的直线l与双曲线 相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程为 .
6x-y-11=0
3.(人B选必一2.8节习题改编)已知抛物线y2=4x与过其焦点的斜率为1的直线交于A,B两点,O为坐标原点,则 = .
-3
4.(人B选必一第二章习题改编)已知直线y=x+m与椭圆 +y2=1相交于A,B两点,则当m变化时,|AB|的最大值为 .
5.(人B选必一2.8节习题改编)过抛物线y2=8x的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A,B两点,已知A(8,8),则线段AB的中点到抛物线准线的距离
为 .
真题体验
C
2.(2024·北京,13)已知双曲线 1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 .
以题梳点 核心突破
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
A.0 B.1 C.2 D.3
B
A
[对点训练1](2024·辽宁大连模拟)命题p:直线y=kx+b与抛物线x2=2py有且仅有一个公共点,命题q:直线y=kx+b与抛物线x2=2py相切,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 抛物线x2=2py的对称轴为y轴,当一条直线与抛物线x2=2py有且仅有一个公共点时,该直线与抛物线相切或该直线与x轴垂直,由于直线y=kx+b存在斜率,与x轴不垂直,因此“直线y=kx+b与抛物线x2=2py有且仅有一个公共点”等价于“直线y=kx+b与抛物线x2=2py相切”,则命题p是命题q的充要条件.故选C.
考点二 弦长与面积问题
考向1弦长问题
D
±1
考向2面积问题
[对点训练3](2024·山东日照模拟)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C的准线与x轴的交点,且直线l过点P.
(1)若l与抛物线C有且仅有一个公共点,求l的方程;
(2)若l与抛物线C交于A,B两点,且 =-4,求△FAB的面积.
解 (1)由题设知P(-1,0),F(1,0).
若l与y轴垂直,此时l:y=0与抛物线C只有一个交点(0,0).
若l与y轴不垂直,可设l:x=my-1.
因为l与抛物线C有且仅有一个公共点,
所以Δ=16m2-16=0,故m=±1.
此时l的方程为x=y-1或x=-y-1.
综上,l的方程为y=0,x+y+1=0或x-y+1=0.
考点三 中点弦问题与点差法
B
又四边形OAPB为平行四边形,M为线段AB的中点,
所以M为线段OP的中点,于是P(-2,2y0).
又因为点P在椭圆C上,
规律方法
用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤
[对点训练4](2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线 上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4)
D
考点四 抛物线的焦点弦问题
例5(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=- (x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
AC
(3)有关位置关系的结论.
①以焦半径AF或BF为直径的圆与y轴相切;
②以焦点弦AB为直径的圆与准线相切;
③以MN为直径的圆与AB切于焦点F;
④MF⊥NF,即∠MFN=90°;
⑤A,O,N三点共线,B,O,M三点共线;
⑥过焦点弦的两端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(4)有关三角形面积的结论.
[对点训练5](多选题)(2024·湖南常德期末)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),其焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则下列结论正确的有( )
A.p=4
C.k1k2=-4
D.|AB|≥4
CD
本 课 结 束
