(共65张PPT)
第4讲 统计与成对数据的分析
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A必二9.2.2节例题改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量,结果如下:107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是( )
A.138,160.5 B.138,146
C.138,175 D.135,160.5
A
解析 把这10个数按从小到大排列,可得107,135,138,140,146,175,179,182,191,195,而10×25%=2.5,为第3项138;中位数为 =160.5.
2.(多选题)(人A必二9.2节习题改编)在去年的足球联赛上,一队每场比赛平均失球个数是1.5,全年比赛失球个数的标准差是1.1;二队每场比赛平均失球个数是2.1,全年比赛失球个数的标准差是0.4.则下列说法正确的有( )
A.平均说来一队比二队防守技术好
B.二队很少失球
C.一队在防守中有时表现较差,有时表现又非常好
D.二队比一队技术水平更不稳定
ACD
解析 因为一队每场比赛平均失球数是1.5,二队每场比赛平均失球数是2.1,所以平均说来一队比二队防守技术好,A正确;因为二队每场比赛平均失球数是2.1,全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以二队经常失球,B错误;因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1,二队全年比赛失球个数的标准差为0.4,所以一队有时表现很差,有时表现又非常好,二队比一队技术水平更稳定,C,D正确.故选ACD.
3.(人A选必三8.3.2节例题改编)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构从不同地区抽查了100名育龄妇女,结果如下表所示.
二孩生育意愿 城市级别 合计
非一线 一线 愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
合计 58 42 100
参照下表:
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以得到的结论是
.
生育意愿与城市级别有关
4.(人B选必二例题改编)咽拭子检测是一种医学检测方法,用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测,可以了解患者口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况,具体数据如表所示:
第t天 1 2 3 4 5
y/袋 15 24 36 44 56
根据以上数据发现y与t呈线性相关,其回归方程为 ,则估计第8天使用的棉签袋数为 .
86
真题体验
1.(多选题)(2023·新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
BD
2.(2024·全国甲,理17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
产品等级 优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
产品等级 优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解 (1)
产品等级 优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
因为3.841<χ2<6.635,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
以题梳点 核心突破
考点一 用样本估计总体
例1(1)(多选题)(2024·河北“五个一”名校联盟模拟)已知五个数据5,5,10,10,a的第80百分位数为15,则这组数据( )
A.平均数为9 B.众数为10
C.中位数为10 D.方差为30
CD
(2)(多选题)(2024·广东茂名一模)某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛,随机抽取了100人的成绩,整理后得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为75
B.样本的第71百分位数为75
C.样本的平均数为68.5
D.该校学生中得分低于60分的约占20%
AC
解析 由(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)×10=1,得a=0.010,因为最高小矩形的中点横坐标为75,所以样本的众数是75,A正确;设样本的第71百分位数为x,因为10×(0.010+0.015+0.025)=0.5<0.71,10×(0.010+0.015+0.025+0.035)=0.85>0.71,所以第71百分位数在[70,80)内取得,所以0.5+(x-70)×0.035=0.71,解得x=76,B错误;样本的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5,C正确;样本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%,即该校学生中得分低于60分的约占25%,D错误.故选AC.
例2对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:
887 939 643 996 715 838 1 082 923 901
1 182 1 035 863 772 943 1 035 1 022 855
1 118 768 809
将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率;
(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下每亩地可产出的年利润(单位:千元)如下表所示.你认为这三种农作物中,哪一种最适合在该地区推广种植 请说明理由.
年降水量 偏少 适中 偏多
甲 8 12 8
乙 12 10 7
丙 7 10 12
(2)设种植甲、乙、丙三种农作物每亩地产出的年利润(单位:千元)分别是随机变量X,Y,Z,则X的分布列为
X 8 12
P 0.5 0.5
E(X)=8×0.5+12×0.5=10(千元),
Y的分布列为
Y 12 10 7
P 0.2 0.5 0.3
E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5(千元),
Z的分布列为
Z 7 10 12
P 0.2 0.5 0.3
E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10(千元),
所以E(Y)
又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2 +0.3×(12-10)2=3因此,农作物丙最适合在该地区推广种植.
[对点训练1](1)(2024·陕西咸阳模拟)某学校开展防电信诈骗知识竞赛活动,高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛,每个小组各有10名选手.若小组的每名选手失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”.已知选手失分(均为非负整数)数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是( )
A.甲组:中位数为3,极差为5
B.乙组:平均数为2,众数为2
C.丙组:平均数为2,方差为3
D.丁组:平均数为2,第85百分位数为7
C
解析 假设甲组有选手失8分,由极差为5,可得最低失分为3分,此时中位数可以为3,假设可以成立,故A错误;假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8,满足平均数为2,众数为2,但不是“优秀小组”,故B错误;设丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2,…,x10,丙组的平均数为2,方差为3,即
故x10≤7,所以丙组的每名选手失分都不超过7分,该组一定为“优秀小组”,故C正确;因为85%×10=8.5,故从小到大排列后,选取第9个数作为第85百分位数,即从小到大第9个数为7,假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8,满足平均数为2,第85百分位数为7,但不是“优秀小组”,故D错误.故选C.
(2)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
①求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
②水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X 40120
发电量最多可运行台数 1 2 3
若某台发电机运行,则该发电机年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该发电机年亏损800万元,要使水电站年总利润的均值达到最大,应安装多少台发电机
解 ①依题意可得,
②记水电站年总利润为Y(单位:万元),安装1台发电机:由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,且E(Y)=5 000×1=5 000.安装2台发电机:当40所以Y的分布列为
Y 4 200 10 000
P 0.2 0.8
E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840.
安装3台发电机:当40120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,P(Y=15 000)=P(X>120)=P3=0.1.
所以Y的分布列为
Y 3 400 9 200 15 000
P 0.2 0.7 0.1
E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.
因为8 840>8 620>5 000,所以要使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.
考点二 一元线性回归模型及其应用
例3(2024·湖北武汉模拟)随着科技日新月异的发展,人工智能融入了各个行业.某公司自2023年8月开始使用人工智能生成的虚拟角色直播带货,使用虚拟角色直播带货的销售金额情况统计如下表所示.
年月 2023年 8月 2023年 9月 2023年 10月 2023年 11月 2023年 12月 2024年
1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示,回答如下问题:
(1)试求变量y与x的样本相关系数r;(结果精确到0.01)
(2)试求y关于x的经验回归方程,并据此预测2024年2月份该公司使用虚拟角色直播带货的销售金额.(结果精确到0.1)
[对点训练2](2024·江苏南京二模)某地5家超市春节期间的广告支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如下:
超市 A B C D E
广告支出x 2 4 5 6 8
销售额y 30 40 60 60 70
(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市个数为X,求随机变量X的分布列及期望E(X);
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程,并预测广告支出为10万元时的销售额.
解 (1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市有C,D,E这3家超市,则随机变量X服从超几何分布,其中
考点三 非线性回归模型
例4(2024·山东齐鲁名校联盟模拟节选)某市为繁荣地方经济,大力实行人才引进政策,为了解政策的效果,统计了2018~2023年人才引进的数量y(单位:万人),并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码,年份代码1~6分别代表2018~2023年).
(1)根据散点图判断y=bln x+a与y=ec+dx(a,b,c,d均为常数)哪一个适合作为y关于x的回归方程类型;(给出结论即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程,并预测该市2025年引进人才的数量.(结果精确到0.01)
解 (1)根据散点图可知,选择y=ec+dx更合适.
[对点训练3](2024·陕西安康模拟)随着移动互联网和直播带货技术的发展,直播带货已经成为一种热门的销售方式,商家通过直播展示产品,使顾客对商品有更全面的了解.某商家统计了从6月份开启直播带货后到10月份每个月的销售量yi(单位:万件)(i=1,2,3,4,5)的数据,
得到如图所示的散点图.其中6月份至10月份相应的代码为xi(i=1,2,3,4,5),如x1=1表示6月份.
(1)根据散点图判断,模型①:y=a+bx与模型②:y=c+dx2,哪一个更适合作为月销售量y关于月份代码x的回归方程 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果,建立y关于x的回归方程,并预测12月份的销售量大约是多少万件.(计算结果精确到0.01)
解 (1)结合散点图判断,模型②:y=c+dx2更适合作为月销售量y关于月份代码x的回归方程.
考点四 独立性检验
例5(2024·上海,19)为了解某地初中学生日均体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
时长 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5)
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29 000名初中学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少
(2)估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长(精确到0.1).
(3)是否有95%的把握认为该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关
(3)
时长 [1,2) 其他 总数
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
①提出原假设:该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.
②确定显著性水平α=0.05,P(χ2≥3.841)≈0.05.
④否定原假设,即该地区初中学生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不少于1小时但少于2小时有关.
[对点训练4](2023·全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5
27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8
36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0
18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9
25.1 28.2 32.3 36.5
(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
体重的增加量 对照组
试验组
(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
解 (1)由题意知,X服从超几何分布,且
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)m=23.4.
列联表如下:
体重的增加量 对照组 6 14
试验组 14 6
由于6.4>3.841,因此有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
本 课 结 束(共38张PPT)
第1讲 计数原理
2025
新高考核心考点 2021年 2022年 2023年 2024年 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
1.古典概型、排列组合 第5题 第5题 第3题 第13题 第14题
2.二项式定理 第13题
3.正态分布、相互独立 第8题 第6题 第13题 第12题 第9题
4.统计图表信息、样本数字特征 第9题 第9题 第19题 第9题 第19题
5.统计案例 第20题
6.概率分布列、期望、方差 第18题 第21题 第19题 第21题 第14题 第18题
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人A选必三6.3.1节习题)(x-1)10的展开式的第6项的系数是( )
D
2.(人A选必三第六章习题)在(1-2x)n的展开式中,各项系数的和是 .
(-1)n
解析 令x=1,得(1-2x)n=(1-2×1)n=(-1)n,即二项式(1-2x)n的展开式中各项系数的和是(-1)n.
3.(人A选必三6.2.4节例7改编)在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件,其中至少有1件是次品的抽法有 种.
9 604
解析 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即
4.(人A选必三6.2节习题)一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.
(1)如果必须有人去,去几个人自行决定,有多少种不同的去法
(2)如果其中甲和乙两名同学要么都去,要么都不去,有多少种去法
真题体验
1.(2024·北京,4) 的二项展开式中x3的系数为( )
A.15 B.6 C.-4 D.-13
B
2.(2023·新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( )
D
3.(2023·新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
64
以题梳点 核心突破
考点一 计数原理、排列、组合
例1(1)(2023·全国甲,理9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
B
(2)(多选题)(2024·山西晋中模拟)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛,比赛结束后,这5名同学排成一排合影留念,则下列说法正确的是( )
A.若要求2名女生相邻,则这5名同学共有48种不同的排法
B.若要求女生与男生相间排列,则这5名同学共有24种排法
C.若要求2名女生互不相邻,则这5名同学共有72种排法
D.若要求男生甲不在排头也不在排尾,则这5名同学共有72种排法
ACD
[对点训练1](1)(多选题)(2024·山东潍坊模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是( )
A.若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,则不同的排法有24种
B.若最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法有42种
C.甲、乙不相邻的排法有82种
D.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列,则不同的排法有20种
ABD
(2)(多选题)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是( )
A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有24种报名方法
B.4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目,则这三个项目的冠军共有64种不同结果
C.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,每项至少一人,共有24种报名方法
D.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每项报一人,每人至多报一项,共有24种报名方法
BD
解析 A选项,每名同学都有3种选择,共有34=81种报名方法,所以A错误;B选项,每个项目的冠军都有4种可能情况,则这三个项目的冠军共有43=64种,所以B正确;C选项,可以按1,1,2分组再分配,报名方法有 =36种,所以C错误;D选项,根据分步乘法计数原理,报名方法有4×3×2=24种,所以D正确.故选BD.
考点二 二项式定理
例2(1)(2023·北京,5) 的展开式中x的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
D
(2)(多选题)(2024·广东佛山模拟)
若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则( )
A.a0=1
B.a3=20
C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0
D.|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|
ACD
解析 将x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(0-1)6=a0,解得a0=1,A正确;由二项式定理可知(x-1)6展开式的通项为Tr+1= x6-r(-1)r,令6-r=3,得r=3,所以a3= ×(-1)3=-20,B错误;将x=2代入(x-1)6 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(2-1)6 =a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6,又a0=1,所以2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0,C正确;将x=1代入(x-1)6 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(1-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,
即a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,①
将x=-1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得
(-1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,
即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64,②
①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64,所以a0+a2+a4+a6=32,
①-②,得2(a1+a3+a5)=-64,所以a1+a3+a5=-32,所以|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|,D正确.故选ACD.
(3)(2022·新高考Ⅰ,13) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
-28
[对点训练2](1)(2024·山东菏泽模拟)(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为( )
A.0 B.3
C.-1 D.-2
D
(2)(2024·浙江金丽衢十二校一模)在(1+x-y)5的展开式中,含x2y的项的系数为( )
A.30 B.-30 C.10 D.-10
B
20
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第3讲 随机变量及其分布
2025
基础回扣 考教衔接
以题梳点 核心突破
目录索引
基础回扣 考教衔接
1.(人B选必二4.2.2节习题改编)下列表格可能是随机变量X的分布列的
是( )
C
解析 由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A错误;由-0.1<0,故B错误;由0.3+0.4+0.3=1,故C正确;由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D错误.
2.(人A选必三7.4.1节例题改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,恰好出现5次正面朝上的概率是 .
3.(人A选必三7.3.2节习题改编)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
则D(X)= .
0.84
解析 由题意知,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以
D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.
4.(人B选必二4.2.4节习题改编)已知随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p的值为 .
5.(人B选必二例题改编)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设选出的女教师人数为X,则P(X≤1)= .
真题体验
1.(多选题)(2024·新高考Ⅰ,9)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 =2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N( ,s2),则( )(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
BC
解析 由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).
∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7. ∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误; P(X>2)1.8)=0.5,∴B正确;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1) =P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC.
1
以题梳点 核心突破
考点一 分布列的性质及应用
例1(1)已知X的分布列为
D
(2)(多选题)(2024·江苏盐城模拟)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则( )
ACD
[对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;
(2)求随机变量η=|X-1|的分布列;
(3)求随机变量ξ=X2的分布列.
解 (1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
从而Y=2X+1的分布列为
Y 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)首先列表为
X 0 1 2 3 4
|X-1| 1 0 1 2 3
∴P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,
P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.
故η=|X-1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(3)首先列表为
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
从而ξ=X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
考点二 二项分布
例2(2024·广东韶关二模)小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中甲、乙、丙区域的概率分别是 ,甲、乙、丙区域间均没有重复的部分.这次射击比赛的获奖规则如下:若击中甲区域,则获得一等奖;若击中乙区域,则有一半的机会获得二等奖,一半的机会获得三等奖;若击中丙区域,则获得三等奖;击中上述三个区域以外的区域不获奖.获得一等奖和二等奖的选手获得“优秀射击手”称号.
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率;
(2)小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解 (1)记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A;“射击一次获得一等奖”为事件B;“射击一次获得二等奖”为事件C,则有A=B∪C,
[对点训练2](2024·山东泰安模拟)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动,其中有两个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:从平地开始,抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍数则连上三级台阶,否则上二级台阶,重复以上步骤,当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.结束时,学生位于第8级台阶,可获得一本课外读物;位于第9级台阶,可获得一套智力玩具;位于第10级台阶,则被认定为游戏失败,无奖品.
(1)某学生抛掷三次骰子后,按游戏规则位于第X级台阶,求X的分布列及数学期望E(X).
(2)①某学生参加游戏,求他不能获得奖品的概率;
②若甲、乙两名学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率.
(2)①由题意知,位于第10级台阶被认定为游戏失败,无法获得奖品,则该学生抛掷3次后位于第7级台阶,且第四次抛掷时出现3的倍数,连上三级台
考点三 超几何分布
例3(2024·重庆模拟)在一种新能源产品的客户调查活动中,公司发现某小区10人中有4人是该产品的潜在用户.现由小刘负责这10人的联系工作,他先随机选择其中的5人上午联系,剩余的5人下午联系.
(1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户,求ξ的分布列与期望;
(2)小刘逐一依次联系,直至确定所有的潜在用户为止,求小刘不超过6次即可确定所有潜在用户的概率.
[对点训练3](2024·山东聊城二模)随着互联网的普及和大数据的驱动,线上线下相结合的新零售时代已全面开启,在新零售背景下,即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求,优化自身服务,提高客户满意度,在A,B两个分公司的客户中各随机抽取10人进行满意度评分调查(满分100分),评分结果如下:
分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86,91,91
分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94,92,89
(1)求这20个满意度评分的第一四分位数;
(2)规定评分在75分以下的为不满意,从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议,设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X,求X的分布列和数学期望.
解 (1)将这20个满意度评分从小到大排列为:62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.由25%×20=5,可知这20个满意度评分的第一四分位数为第5项数据,为73.
(2)由题可知,分公司A中75分以下的有66分,72分;分公司B中75分以下的有62分,70分,73分.所以不满意的客户共有5人,其中分公司A的客户有2人,分公司B的客户有3人.
X表示5名不满意客户中来自分公司B的人数,则X服从超几何分布,且
所以X的分布列为
考点四 正态分布
例4(2024·河南洛平许济四市联考)某教学研究机构从参加考试的20 000名考生中随机抽取200人,对其数学成绩进行整理分析,得到如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,同一组数据用该组区间的中点值作代表,求得这200名考生数学成绩的平均数为=110.据此估计这20 000名考生数学成绩的标准差s;
(2)根据以往经验,可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y,若Y=5X-10,试估计这20 000名考生中总成绩Y∈[600,660]的人数.
附: ≈2.4;若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150.
故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150,标准差
(2)由题可知,X~N(110,122).
因为Y=5X-10,所以P(600≤Y≤660)=P(600≤5X-10≤660) =P(122≤X≤134)=P(110+12≤X≤110+2×12)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)
故这20 000名考生中成绩在[600,660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718.
[对点训练4](2024·广东深圳模拟)某单位准备通过考试招录300人,其中275个高薪岗位和25个普薪岗位,考试满分为400分,依据考生的考试成绩从高分到低分依次选岗.共有2 000人报名参加考试,记考生的成绩为X,已知X~N(μ,σ2),且所有考生的平均考试成绩μ=180,且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求σ的值;(结果保留整数)
(2)该单位的最低录取分数约是多少 (结果保留整数)
(3)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否选择高薪岗位 若不能被录取,请说明理由.
参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y= ,则Y~N(0,1);
②当Y~N(0,1),P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.900,P(Y≤1.09)≈0.862, P(Y≤1.04)≈0.85.
(3)因为考生甲的成绩为286分>266分,所以甲能被录取.
所以P(X≥286)=1-0.900=0.100,所以考试成绩为286分及其以上的人数约为总人数的0.100,约有2 000×0.100=200人,即考生甲大约排在第200名,在275名之前,所以甲能选择高薪岗位.
本 课 结 束(共42张PPT)
第2讲 概率模型
2025
基础回扣 考教衔接
1.(人A必二10.2节例题改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则至少有一人中靶的概率是( )
A.0.72 B.0.28 C.0.98 D.0.89
C
2.(人A选必三7.1.2节例题改编)某社区有智能餐厅A、人工餐厅B两家餐厅,居民甲第1天随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.7;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.居民甲第2天去A餐厅用餐的概率为( )
A.0.75 B.0.7 C.0.56 D.0.38
A
解析 设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥,根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.7,P(A2|B1)=0.8,
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75.
4.(人A选必三第七章习题改编)抛掷两枚质地均匀的骰子,两个点数都出现偶数的概率为 ;已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下,第二枚骰子的点数也是偶数的概率为 .
真题体验
1.(2024·全国甲,文4)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是( )
C
解析 设A表示事件“丙不是第一个出场,且甲最后出场”,B表示事件“丙不是第一个出场,且乙最后出场”.
四人由随机抽签的方式确定出场次序,基本事件共有24个,事件A包含的基
2.(2023·全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一名同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
A
解析 从该校的学生中任取一名学生,记A表示事件:“取到的学生爱好滑冰”,B表示事件:“取到的学生爱好滑雪”.
由题设知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7,
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),
得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.5-0.7=0.4,
3.(2024·上海,8)小王参加知识竞赛,题库中A组题有5 000道,B组题有4 000道,C组题有3 000道.已知小王做对这3组题的概率依次是0.92,0.86,0.72,则
随机从题库中抽取一道题,小王做对的概率是 .
以题梳点 核心突破
考点一 古典概型
例1二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念,科学揭示天文气象变化规律的小诗歌,它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀,体现着我国古代劳动人民的智慧.其中四句“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节,每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气,则这
2个节气恰好不在一个季节的概率为 .
[对点训练1](1)(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
(2)(2024·山东日照三模)从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次,每次抽取一张,则出现重复编号卡片的概率是( )
B
考点二 相互独立事件的概率
例2某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为 ,且各轮问题能否正确回答互不影响,则该选手被淘汰的概
率为 .
知识提炼
1.事件相互独立的性质
事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
性质
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法
[对点训练2]甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两支队比赛一场),比赛分三轮,每轮两场比赛,第一轮第一场甲、乙比赛,第二场丙、丁比赛;第二轮第一场甲、丙比赛,第二场乙、丁比赛;第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛,规定:比赛无平局,获胜的球队记3分,输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名,积分相同的队伍由抽签决定排名,排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比(如下表所示)为参考.
队伍 近10场胜场比 队伍
甲 7∶3 乙
甲 5∶5 丙
甲 4∶6 丁
乙 4∶6 丙
乙 5∶5 丁
丙 3∶7 丁
(1)三轮比赛结束后甲的积分记为X,求P(X=3);
(2)若前二轮比赛结束后,甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3,3,0,6,求甲队小组出线的概率.
(2)由题意知,甲队小组出线可分以下三种情况:
考点三 条件概率
例3从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸出红球”为A,“第二次摸出蓝球”为B,则P(B|A)= .
知识提炼
1.条件概率的定义与性质
2.解条件概率问题的三种方法
[对点训练3](2024·天津,13)有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为 ;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为 .
解析 (方法一 列举法)从五个活动中选三个有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,则甲选到A活动
考点四 全概率公式
C
B
本 课 结 束