北京市石景山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市石景山区2024-2025学年高一上学期期末考试
数 学
本试卷共6页，满分为100分，考试时间为120分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，那么
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知命题，那么命题为
（A） （B）
（C） （D）
（3）某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）函数的图象可能是
（A） （B） （C） （D）
（6）已知，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（7）某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是
（A） （B）
（C） （D）
（8）函数的零点所在的区间是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知函数，则的值是
（A） （B）
（C） （D）
（10）阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势. 下列各数中与最接近的是
（参考数据：）
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）已知幂函数图象过点，则该幂函数的解析式是___________．
（12）某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：
甲
乙
记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，，则_______．
（填“”，“”或“”）．
（13）若，则的最小值是__________.
（14）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______．
（15）函数满足给出下列三个结论：
①；
②；
③．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题7分）
已知集合，或.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
（17）（本小题7分）
将一颗骰子先后抛掷两次，观察朝上的面的点数．
（Ⅰ）求两次点数之和是的概率；
（Ⅱ）求两次点数中至少有一个奇数的概率．
（18）（本小题9分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性；
（Ⅲ）求证：在是减函数．
（19）（本小题9分）
成绩分组 频数
[75，80) 2
[80，85) 6
[85，90) 16
[90，95) 14
[95，100] 2
某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图）和高二年级成绩的频数分布表（如表1）．
图 表1
（Ⅰ）若成绩不低于分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取名学生，代表学校外出参加比赛，求这名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，试估计的大小关系．（只需写出结论，不要求证明）
（20）（本小题8分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）记的最小值为，求的解析式．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）A （3）B （4）A （5）D
（6）C （7）A （8）C （9）B （10）B
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11） （12） （13） （14） （15）②③
注：15题选对一个给2分
三、解答题（共6小题，共40分）
（16）(本小题7分)
解：（Ⅰ）由集合，或.
因为，
所以， [ 2分]
解得.
所以的取值范围是； [ 3分]

（Ⅱ）因为，所以， [ 4分]
所以或， [ 6分]
即或. [ 7分]
所以的取值范围是.
（17）(本小题7分)
解：用数对表示掷两次骰子朝上面的点数，则样本空间包括：
[ 1分]
共个样本点．
（Ⅰ）记“两次点数之和是”为事件， [ 2分]
则事件中含有个样本点，分别为， [ 3分]
所以.
所以，两次点数之和是的概率是. [ 4分]
（Ⅱ）记“两次点数中至少有一个奇数”为事件， [ 5分]
事件与“两次点数均为偶数”为对立事件，而事件“两次点数均为偶数”含
有个样本点． [ 6分]
所以.
所以两次点数中至少有一个奇数的概率是. [ 7分]
（18）(本小题9分)
解：（Ⅰ）由题意知:，解得，
所以的定义域为. [ 2分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的定义域为，
. [ 3分]
所以是偶函数. [ 5分]
（Ⅲ）对于，
[ 7分]
因为，所以，
所以，即， [ 8分]
所以，即，，
所以函数在单调递减. [ 9分]
（19）(本小题9分)
解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
. [ 2分]
（Ⅱ）高一年级成绩为的有名，
记为，，，， [ 3分]
高二年级成绩为的有名，记为，. [ 4分]
选取名学生的所有可能为：
，，，，，，，，，
，，，，，，共15种； [ 5分]
其中名学生来自于同一年级的有，，，，，
，，共种； [ 6分]
设名学生来自于同一年级为事件，
所以. [ 7分]
（Ⅲ）． [ 9分]
（20）(本小题8分)
解：（Ⅰ）设，因为，则， [ 1分]
则，， [ 2分]
当时，，， [ 3分]
所以时，，即当时，. [ 4分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
其图象的对称轴为． [5分]
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上， [ 8分]
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
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