浙江省宁波市江北区2024-2025学年第一学期九年级数学期末试卷（含答案）

2024 学年第一学期九年级学业质量检测 (数学试题)
考生须知:
1. 全卷分试题卷 I 、试题卷 II 和答题卷. 试题卷共 6 页, 有三个大题, 24 个小题. 满分为 120 分, 考试时长为 120 分钟.
2. 请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上.
3. 答题时,请将试题卷 I 的答案在答题卷 I 上对应的选项位置用 铅笔涂黑、涂满. 将试题卷 II 的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写,答案必须按照题号顺序在答题卷 II 各题目规定区域内作答, 做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效.
4. 不允许使用计算器, 没有近似计算要求的试题, 结果都不能用近似数表示.
试 题 卷 I
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)
1. 已知 的半径为 2, ,则点 在 ( )
A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定
2. 如图,在 Rt 中, ,则 的值为 ( ▲ ) A. B. C. D.
(第 5 题图) (第 2 题图) 主视方向(第 3 题图)
3. 如图, 一种凹槽模具水平放置, 其呈现的几何体的主视图是 ( ▲ )
B. C. D.
4. 抛物线 与 轴的交点个数为 ( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
5. 如图,四边形 内接于 ,若 ,则 的度数为 ( ▲ )
A. B. C. D.
6.从一个装有 6 个红球、 4 个蓝球、 2 个白球和 1 个黑球的袋子中, 随机摸出一个球 (除颜色外其余均同), 下列事件中发生可能性最小的是 ( ▲ )
A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球
7. 如图, 与 是位似图形,点 是位似中心,若 的面积为 4,且 , 则 的面积为 ( ▲ )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
8. 如图,弓形的弓高 为 1,弦长 为 ,则此弓形 (阴影部分) 的面积为( )
A. B. C. D.
(第 7 题图) (第 8 题图) (第 9 题图)
9. 如图,点 为 边 上一点 (可与点 重合),已知 . 以点 为圆心, 适当长为半径作弧,分别交 于点 ; 再以点 为圆心, 长为半径作弧, 交 于点 (点 在点 下方); 最后以点 为圆心, 长为半径作弧,两弧交于点 , 连结 并延长且交 于点 . 以下 4 个结论: ① ; ② ; ③ 的最大值为 ; ④若 为 中点,则 . 其中正确的结论有 ( ▲ )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10. 已知抛物线 ( 且 都是常数) 经过点(3,1),且对于符合 , 的任意实数 ,其对应的函数值 始终满足 ,则抛物线顶点的纵坐标为 ( ▲ )
A. B. C. D.
试 题 卷 II
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11. 已知实数 满足 ,则 的值为_____.
12. 已知正多边形的一个外角为 ,则这个正多边形的边数是_____▲_____.
13. 已知圆锥的母线长为 4,底面圆的半径为 3,则此圆锥的侧面积是_____▲_____。
14. 某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验:在不透明的盒中装入除颜色外均相同的红色、蓝色小球共 60 个,摇匀后摸出一个球,记下颜色后放回,继续摇匀摸球,经过大量重复试验后,绘制“摸出球为红色”的频率折线统计图(如图). 请估计盒中装入红色小球的个数约为_____▲_____个.
15.,二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示:
... -1 0 1 2 ...
... ...
下列说法正确的是_____▲_____ . (填写序号)
①抛物线的对称轴为直线 ； ②函数图象开口向上；
③ 当 时, 随 的增大而增大; ④当 时, 的取值范围是 .
16. 如图, 经过 Rt 的直角顶点 ,交 于点 ,交 于点 ,交 于点 ,且满足 ,则 的半径为_____▲_____.
(第 14 题图) (第 16 题图)
三、解答题 (本大题有 8 小题, 共 72 分)
17. (本题 6 分) 计算: .
18.(本题 8 分)中华文化之瑰宝——“四大名著”,即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》 和《红楼梦》,在中国文学史上有着极其重要的地位.
(1)若从这四大名著中随机抽取一套,恰好抽到《西游记》的概率是_____▲_____.
(2)若从这四大名著中随机抽取两套(先随机抽取一套,不放回,再随机抽取另一套), 请用画树状图或列表的方法,求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率。
19. (本题 8 分) 图 1, 图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格, 每个正六边形的顶点称为格点, 的顶点均在格点上,称为格点三角形. 请用无刻度直尺按要求画出图形.
(1)在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 (保留作图痕迹并请标注字母).
(2)在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形,要求与 相似但不全等(请涂填阴影).
20. (本题 8 分) 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究.
已知笔记本电脑屏幕宽 . 笔记本电脑厚度忽略不计.
(参考数据: )
(1)如图 1,小明将笔记本电脑放在水平桌面上,将电脑屏幕打开使 ,求此时电脑屏幕上点 与桌面的距离.
(2)为改善坐姿守护健康,小明购买了如图 2 所示的电脑支架,该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度. 若小明在使用电脑支架时, 电脑屏幕始终垂直于桌面, 求电脑屏幕打开使 分别为 与 时,点 距离桌面的高度差.
21. (本题 8 分) 某大型游乐园里有一个热门游乐项目, 每场可供 200 人同时游玩, 当游玩票价为 50 元时, 该项目每场均为满员状态. 市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间(含 50 元和 80 元) 浮动时, 每提高 2 元, 每场人数会减少 4 人.
(1)设票价为 元,请写出每场人数 关于票价 的函数关系式.
(2)已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元,根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系, 求此时的票价.
(3)当票价为多少时,此场营业收入最大？最大值为多少？
22. (本题 10 分) 如图 1,在 Rt 中, 平分 ,点 在斜边 边上, 以 为直径的 经过点 .
(1)求证: 直线 为 的切线.
(2)如图 2,连结 . 若 ,求 的长.
23. (本题 12 分) 如图 1,过点 作 直线 于点 ,过点 作 轴交直线 于点 . 线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离.
【探索】
①如图 1,设点 的坐标为 ,则点 到直线 的竖直距离即为 的长度,则 _____. (用含 的代数式表示)
② 当直线 与 轴不平行时,点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的竖直距离 存在一定的数量关系,若此时直线 ,则 _____ .
【应用】
如图 2,公园有一斜坡草坪 (可看作线段 ),其倾斜角为 ,用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ,其最远处落在草坪的 处. 若在山上种一棵树 (垂直于水平面), 为了保证灌溉, 树的最高点不能超过喷水路线, 同时为了加固树, 沿斜坡垂直方向加一根支架 ,请求出支架 的最大值.
【拓展】
如图 3,原有斜坡倾斜角 不变,通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧,此时,圆弧与 轴相切于点 ,若 ,为了保证灌溉山上种植的这棵树 (垂直于水平面), 即树的最高点不能超过喷水路线,请问树高 的最大值是多少
24. (本题 12 分) 如图 1,四边形 为圆内接四边形,对角线 与 交于点 ,点 在 上, .
(1) 求证: .
(2)如图 2,若点 为 的中点,求证: .
(3)在(2)的条件下, 的面积为 2,求 的长.
2024 学年第一学期九年级学业质量检测(数学) 参考答案与评分参考
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A B D C B C B
9. 解析:①由尺规作图可得, ,①正确；
② ,
与答案不符, 故②错误;
③ 当 与 重合时, 最大,此时 ,由 ,得 ,
解得 ,故③正确;
④ 当 为 中点时, ,由尺规作图可得 ,
由 ,可得 ,故 ,故④正确;
综上所述, ①③④正确, 故选 C.
10. 解析:由题意,得:该抛物线经过点(3,1)和(0,1),
该抛物线的对称轴为直线 .
点(-1,0)关于该对称轴对称的点的坐标是(4,0).
由题意,得: 恒正, 恒负.
该抛物线经过点(-1,0)和(4,0).
不妨设该抛物线的函数表达式为 .
代入(0,1),得 ,解得 .
当 时, ,故选 B.
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
题号 11 12 13 14 15 16
答案 10 12π 20 ①②③
15. 解析: 或 时,函数值相等,
抛物线的对称轴为直线 ,①正确.
② 当 时的函数值大于当 时的函数值,
当 时的函数值是该函数的最小值,
函数图象开口向上,②正确.
③由①,②得:当 时, 随 的增大而增大,
③显然正确.
④当 时, 的取值范围为 或 ,
④不正确.
综上所述, 正确的是①②③.
16. 解析: 如图,过点 作 的垂线段 .
,
.
小 是 Rt 的内切圆,四边形 CPON 是正方形.
.
(第 16 题图)
.
设 .
.
,解得 .
.
的半径为 .
三、解答题 (本大题有 8 个小题, 共 72 分)
17. (6 分) 解: 原式
.6 分
18. (8 分) 解: (1) . .3 分
(2)从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下(记四本书籍依次为 A,
B, C, D): .6 分
A B C D
A - (A, B) (A, C) (A, D)
B (B, A) - (B, C) (B, D)
C (C, A) (C, B) - (C, D)
D (D, A) (D, B) (D, C) -
共有 12 种等可能结果,其中《水浒传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种,
抽到的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为
.8 分
19. (8 分)解:(1)如图所示. (作图痕迹不唯一,合理即可) .4 分
(2)如图所示. (答案不唯一,合理即可) .8 分
20. (8 分)解:(1)作 .
.
.
. .4 分
(2)延长 交 于点 .
由题意,知
.
当 时, .
.
当 时, .
. .8 分
(第 20 题图)
21. (8 分) 解: (1)
. .2 分
(2)x · y = x(300 – 2x) = 10800 .
解得 (舍). .5 分
(3)
.
当票价为 75 时, 当场营业收入最大为 11250 元. .8 分 22. (10 分)解:(1)连结 OD.
平分 ,
(第 22 题图 1)
.
,
.
.
.
,
. 为 的切线. .5 分
(2) 连结 OD.
(第 22 题图 2)
,
.
,
.
设 .
,
,
.
点 是 的中点.
,
. 10 分
23. (12 分)解:如图 1,过点 作 交 于点 ,过 作 平行于 轴交 于点 C. 称为点 到直线 的竖直距离 【探索】
图 1
图 2
① . .2 分
② . .4 分
【应用】
草坪倾斜角为 .
.
设 横坐标为 .
当 时, MN最大, MN=3 .
.
此时 最大, . .8 分
【拓展】
圆弧与 轴相切.
圆心在 轴上,记圆心为 .
过 作 交圆弧于 ,交 于 .
过 作 轴垂线交 于 ,
此时 NT 最大, 即 MN 最大.
. .12 分 24.(12 分)解:(1) 四边形 ABCD 为圆内接四边形, , , , , (AAS). .4 分 (2)解法一: , , , . , , 点 为 的中点,
,
, . .8 分
解法二:
点 为 的中点,
,
.
,
,
.
,
, . .8 分
(3)如图,连结 ,作 ,
,
,
,
,
又 ,
,
,
,
设 ,
,
在 Rt 中,
,
,
解得 (舍去), .10 分
,
设 ,
在 Rt 中,
.
,
,
解得 (舍去),
的长为 . .12 分