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九年级 数学试题卷
（本卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为 ．
1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案,其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延
伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界
著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
3．二次函数的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为
A． B． C． D．
5．下列事件中，是不确定事件的是
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目
C．同位角相等，两条直线平行
D．对顶角相等
6．若是关于的方程的一个根，则的值是
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解
为
A．， B．， C．， D．，
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分
别平行于坐标轴，点在函数的图象上，点的坐标为，则
的值为
A． B． C．4 D．
9．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率
是
A． B． C． D．
10.在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式a+b+1中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”,不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：
①；
②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；
③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；
④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．
其中正确个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的
实验，实验数据如下：
在正方形内投掷的点数 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数 9 15 27 34 50 66 76 83
落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083
试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到．
12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分阴影的量角器圆弧,对应的中心角∠AOB为120 ，AO的长为6cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
14．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制
作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米与飞行时间（秒
满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为 米．
15．如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，
把△绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 ．
16．“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的400
元降到289元，设平均每次降价的百分率为，则x的值为 ．
17．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方
程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ．
18.若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等，满足，那么称这个
四位数为“雪花数”．如：四位数8420，，8420是“雪花数”；又如：
四位数7324，，7324不是“雪花数”．9450 “雪花数”(填
“是”或“不是”)．若一个“雪花数”满足与的差能被7整除，且
的结果是一个正整数的平方，则这个“雪花数”是______．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.解下列一元二次方程：
（1）x2﹣7x＝0； （2）x2﹣4x+3＝0．
20．如图，，，其中，以点为中心，将线段绕点C顺
时针旋转，得到线段，连接．
（1）尺规作图：求作线段；
（2）探究与的位置关系，并说明理由；
（3）若∠ABC=3∠ADC，求∠ADC的度数．
21．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示．
（1）将水从加热到需要 ；
（2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
（3）加热一次，水温不低于的时间有多长？
22．某校为了解学生对“：古诗词，：国画，：川剧，：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：
（1）这次调查中，一共调查了 名学生，并把条形统计图补充完整．
（2）如果该校共有3200名学生，请估计该校最喜爱项目的学生有多少人？
（3）项目中有2男2女特别优秀，准备在项目中选2名选手参加区级古诗词比
赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选中2名男生的概率．
23．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点，
（1）求的度数；
（2）求的长；
（3）求，的长．
24．某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长39米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计）
（1）设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形的面积
为 平方米；（用含的代数式表示）
（2）当时，所围成的展览区总面积为126平方米，求的长；
（3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由．
25．如图1，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，
与y轴交于C．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，过P作PE⊥x轴，交BC过
E，过E作EF⊥y轴于F，求PE+EF的最大值及此时点P的坐标：
（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、
M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理
由．
26.（1）探究：如图1，在△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上．
①求∠EDC+∠DEC的度数；
②求证：AC＝CD+CE；
（2）应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四边形ABCD
内一点，且∠APC＝120°，求证：PA+PC+PD≥BD；我们把四边形ABCP数学模
型称为“等补四边形”模型;
（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-7，0），点B是y轴上
一个动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABC，求OC的最小值．
A O C
B
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九年级数学试题卷 第1页（共6页） 九年级数学试题卷 第2页（共8页）!异常的公式结尾 1*2-1 !异常的公式结尾 1*2-1 !异常的公式结尾 1*2-1 !异常的公式结尾中小学教育资源及组卷应用平台
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九年级数学参考答案与评分意见
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A B A D D C D
10.解：由数轴可知，，
∴，
∴，故说法①正确；
∵，
∴，故说法②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误；
可能的“新运算操作”有，
，
，
，
，
，
，
∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，说法④错误．
故选：D．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11.0.08; 12.k≥0且k≠1; 13.（）; 14.21;
15.; 16.0.15; 17.-3; 18.不是；4250．.
18.解：∵95-40=55,
∴9450不是“雪花数”,
∵，即，
化简得，，d为10的倍数，
∴当时，，即，
，
∵=16a-c-,
∵，
∵与的差能被7整除，
∴能被7整除，或14，
∵的结果是一个正整数的平方，
∴，
解得，，，
则这个“雪花数”是4250，
故答案为：是；4250．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
19.解：（1）由题意得x（x﹣7）＝0，-----------------------------------------------------------2分
∴x＝0或x﹣7＝0，
∴x1＝0，x2＝7；---------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）由题意得（x﹣3）（x﹣1）＝0，----------------------------------------------------------6分
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．---------------------------------------------------------------------------------------8分
20．解：（1）如图，线段即为所作；-----------------------------------------------------------3分
（2）结论：，理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．------------------------------------------------------------------------------------------------7分
（3）由（2）知，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∵，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=3∠ADC，
∴∠ADC=×180°=45°. ----------------------------------------------------------------------------10分
21．解：（1）开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
故答案为：3.2；--------------------------------------------------------------------------------------------2分
（2）设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，--------------------------------------------------------------------------------------------5分
水温下降过程中，与的函数关系式是；----------------------------------------6分
（3）在加热过程中，水温为时，，
解得：，------------------------------------------------------------------------------------------------8分
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．--------------------------------------10分
22．解：（1）在这次调查中，一共调查的总人数（人；------------1分
项目人数为（人，
补全图形如下：
；
故答案为：200；--------------------------------------------------------------------------------------------3分
（2）（人，
该校最喜爱项目的学生约有800人；---------------------------------------------------------6分
（3）若用A1，A2表示2名男生，用B1,B2表示2名女生，列表得：
由列表可见，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中2名男生的结果有2种，-------------------------------------------------------------------8分
（恰好选中2名男生．--------------------------------------------------------------10分
23．解：（1）是的直径，
，；
∵CD平分，
∴=45°；-------------------------------------------------------------------------------------------3分
（2），，
；------------------------------------------------------------------------6分
（3）是的平分线，
，
，
在△中，，，，
，
，
．----------------------------------------------------------------------------------8分
过A作AH⊥CD于H，
在Rt△ACH中，AC=12cm,=45°,
∴AH=CH=6cm, ------------------------------------------------------------------------------------------9分
在Rt△ADH中，AD=10cm,AH=6cm,
∴DH=8cm,
∴CD=14cm. -------------------------------------------------------------------------------------------10分
24．解：（1）根据题意得，
即，
矩形的面积为．
故答案为：，．--------------------------------------------------------------------2分
（2）若，能围成展览区总面积126平方米，
根据题意得，--------------------------------------------------------------------------4分
∴x2-13x+42=0,
解得或，----------------------------------------------------------------------------------------5分
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
的长为．----------------------------------------------------------------------------------------6分
（3）不能，理由如下：
根据题意得：，-----------------------------------------------------------------------8分
整理得：，
△，-----------------------------------------------------------------------9分
方程无实数解，
不能围成总面积为的展览区．------------------------------------------------------------10分
25．解：由题意得，，解得，
∴抛物线的函数表达式为；-------------------------------------------------------2分
(2)设点M的坐标为(，)，
设直线的解析式为，过点B（－3，0），C（0，3）两点，
∴ ，解得，
∴直线解析式为，-------------------------------------------------------------------3分
∴点的坐标为(，)，
∴，
EF=|x|=-x,
∴PE+EF=(-x2-3x)-x=-x2-4x=-(x+2)2+4, ----------------------------------------------------------5分
∴当，PE+EF的最大值为4,P(-2,3)；----------------------------------------------------6分
(3)∵抛物线的函数表达式为，
∴抛物线的对称轴直线为，
设点M的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，
(1)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
或当点M在N下方时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
，解得，此时M(0,3),不成立；
(2)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示，
由对角线互相平分可得， ，解得 ，
∴此时点N的坐标为(，)；
综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为(，)或(，)．----------------------------------------------------------------------------------------------10分
26.解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，
∴∠EDC+∠DEC=60°；------------------------------------------------------------------------------------2分
②由①得：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∵AC＝BC＝BD+CD，
∴AC＝CD+CE；-----------------------------------------------------------------------------------------------4分
（2）如图2，把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、PQ，
∴AP＝AQ，△APQ为正三角形，
∴∠QAP＝60°，QP＝AP，
又∵∠APC＝120°，
∴∠APC+∠APQ＝180°，则C，P，Q在同一条直线上．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC+∠PAC＝∠QAP+∠PAC，
即∠QAC＝∠PAB，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴PB＝QC＝PA+PC，
在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD；
方法2：(证明PA+PC=PB）
延长PA至Q，使AQ=PC，
证△BPC≌△BAQ，
再证△BPQ是等边三角形；------------------------------------------------8分
（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．
在△AEC与△ADB中，，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴∠OFE＝30°
∴OF＝OA＝7，
∴点C在直线EF上运动，
当OC⊥EF时，OC最小，
∴OC＝OF＝，
则OC的最小值为．-----------------------------------------------------------------------------------10分
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九年级数学 答题卡
贴条形码区域
姓名：
考号：
学校：
缺考标记（考生禁填）
缺考考生，由监考员贴
条形码，并用2B铅笔
填涂右面的缺考标记
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．客观题必须使用2B铅笔填涂；主观题必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．答题必须字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题的答题区内作答，超出答题区域的答案无效，在草稿纸上、试卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱，禁用涂改液，涂改胶条。
一、选择题（每小题4分，共40分。）
1 5 9
2 6 10
3 7
4 8
二、填空题（每小题4分，共32分。）
11． 12．
13． 14.
15． 16.
17． 18. ，
三、解答题（共8个小题，19题8分，其它每小题10分，共78分。）
19．（8分）
（1） （2）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20．（10分）
（1）
（2）
（3）
21．（10分）
（1）需要
(2)
(3)
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
22．（10分）
（1）一共调查了 名学生
（2）
（3）
23．（10分）
（1）
（2）
（3）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
24．（10分）
（1）则边的长为 米，展览区
（矩形的面积为
平方米；
（2）
（3）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
25．（10分）
（1）
（2）
（3）
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
26．（10分）
（1）
（2）
(3)
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
