山东省泰安市新泰市2016届九年级学科学习能力成果展示数学试卷（解析版）

2016年山东省泰安市新泰市九年级学科学习能力成果展示数学试卷
　
一、选择题（本大题共16小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）
1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
2．若x为实数，则代数式|x|﹣x的值一定是（　　）
A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数
3．你认为tan15°的值可能是（　　）
A． B．2 C．2 D．
4．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
5．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为（　　）
A．20% B．50% C．70% D．80%
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则当x=4时，y的值为（　　）
x ﹣1 0 1 2 3
y 5 1 ﹣1 ﹣1 1
A．5 B． C．3 D．不能确定
12．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）
A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1 k2 D．
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
14．如图在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
16．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
　
二、填空题
17．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现2个男婴、1个女婴的概率是　　　　　　．
18．在等腰直角△ABC中，AB=BC=5，P是△ABC内一点，且PA=，PC=5，则PB=　　　　　　．
19．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为　　　　　　．
20．二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=　　　　　　．
21．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t=　　　　　　．
22．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=（AB+AD），若∠D=115°，则∠B=　　　　　　．
23．如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为　　　　　　．
24．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是　　　　　　%（注：利润率=×100%）．
　
三、解答题（请写出必要的步骤）
25．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
27．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值．
28．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？
②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．
29．定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于　　　　　　；
②四边形ABCD为（　　）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
　
2016年山东省泰安市新泰市九年级学科学习能力成果展示数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共16小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）
1．若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】压轴题．
【分析】根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0），
∴2k﹣b=0，b=2k．
函数值y随x的增大而减小，则k＜0；
解关于k（x﹣3）﹣b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
　
2．若x为实数，则代数式|x|﹣x的值一定是（　　）
A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数
【考点】绝对值．
【分析】化简这个代数式，首先根据：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，首先去掉绝对值的符号，即可作出判断．
【解答】解：若x≥0，则|x|﹣x=x﹣x=0；
若x＜0，则|x|﹣x=﹣x﹣x=﹣2x＞0．
故选C．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
　
3．你认为tan15°的值可能是（　　）
A． B．2 C．2 D．
【考点】锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得tan30°，根据正切函数的增减性，可得答案．
【解答】解：由15°＜30°，
得tan15°＜tan30°=，
tan15°大约是2﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用锐角三角函数的增减性是解题关键．
　
4．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】常规题型．
【分析】根据题意讨论k和b的正负情况，然后可得出直线y=kx+b一定通过哪两个象限．
【解答】解：由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，
①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，
②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．
综上可得函数一定经过一、四象限．
故选D．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
　
5．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
【考点】二次函数的性质．
【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．
【解答】解：
∵y=2x2，y=x2开口向上，
∴A不正确，
∵y=﹣2x2，开口向下，
∴有最高点，
∴C不正确，
∵在对称轴两侧的增减性不同，
∴D不正确，
∵三个抛物线中都不含有一次项，
∴其对称轴为y轴，
∴B正确，
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．
　
6．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（　　）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
　
7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为（　　）
A．20% B．50% C．70% D．80%
【考点】概率公式．
【分析】等量关系为：甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解，根据题意，乙获胜的概率是1﹣30%﹣50%=20%，
所以乙不输的概率为50%+20%=70%．
故选C．
【点评】解答本题的关键是要判断出“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”．
　
8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
　
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的外角性质；锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2﹣x）2，
解得x=，
∴sin∠BED=sin∠CDF=．
故选A．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
　
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得△ADE∽△ACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解答】解：在△ADE与△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴S△ADE：S△ACB=（AE：AB）2=1：4，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
　
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则当x=4时，y的值为（　　）
x ﹣1 0 1 2 3
y 5 1 ﹣1 ﹣1 1
A．5 B． C．3 D．不能确定
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=4时的函数值与x=﹣1时的函数值相同．
【解答】解：由图表可知，x=4时的函数值与x=﹣1时的函数值相同．
所以当x=4时，y的值为5．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．
　
12．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）
A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1 k2 D．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．
【解答】解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，
由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．
故选B．
【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
　
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．
①b2＞4ac；
②4a﹣2b+c＜0；
③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．
上述4个判断中，正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．
【专题】数形结合．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；
根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；
如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；
先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．
【解答】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正确；
②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；
③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，
∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，
∵4＜5，
∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正确．
故选：B．
【点评】主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．
　
14．如图在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，分别以A、B为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据勾股定理求出AB，则得出圆的半径，分别求出三角形ACB和扇形AEF和扇形BEM的面积和，即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，
即两圆的半径是5，
∴阴影部分的面积是S=S△ACB﹣S扇形AEF﹣S扇形BEM
=×6×8﹣
=24﹣π．
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，扇形的面积的应用，注意：圆心角是n度，半径是r的扇形的面积S=．
　
15．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=OA=2．
故选C．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
16．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】三角形三边关系．
【专题】推理填空题．
【分析】由于其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，所以：
①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有四种情况．
①当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有六种情况．
【解答】解：∵一个三角形的三条边长均为正整数，
并且其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，
①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有3、4、5；4、4、5；3、3、5；4、2、5等四种情况．
②当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有2、5、6；3、5、7；3、5、6；4、5、6；4、5、7；4、5、8；共十种情况．
所以共有10个三角形．
故选D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，解题的关键是：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
　
二、填空题
17．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现2个男婴、1个女婴的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】图表型．
【分析】列举出所有情况，看出现2个男婴、1个女婴的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：可能出现的情况如下表
婴儿1 婴儿2 婴儿3
男 男 男
男 男 女
男 女 男
男 女 女
女 男 男
女 男 女
女 女 男
女 女 女
一共有8种情况，出现2个男婴、1个女婴的情况有3种，故答案为．
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
18．在等腰直角△ABC中，AB=BC=5，P是△ABC内一点，且PA=，PC=5，则PB=　　．
【考点】勾股定理．
【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等腰直角△ABC中，已知PA、PC，通过辅助线求出AD，DC及PD边的长，进而PB可求．
【解答】解：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE
在△APD中，PA2=PD2+AD2=5，
在△PCD中，PC2=PD2+CD2，且AD+CD=5，
解得AD=，CD=，PD=，
在Rt△ABC中，BE=AE=，
所以在Rt△BPF中，PB2=PF2+BF2==10，
所以PB=．
【点评】熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题．
　
19．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（﹣4，﹣2），C为双曲线y=（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为　（2，4）或（8，1）　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），然后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．
【解答】解：∵点B（﹣4，﹣2）在双曲线y=上，
∴=﹣2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
所以，A（4，2），
如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为（a，），
若S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE，
=×8+×（2+）（4﹣a）﹣×8，
=4+﹣4，
=，
∵△AOC的面积为6，
∴=6，
整理得，a2+6a﹣16=0，
解得a1=2，a2=﹣8（舍去），
∴==4，
∴点C的坐标为（2，4）．
若S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF=，
∴=6，
解得：a=8或a=﹣2（舍去）
∴点C的坐标为（8，1）．
故答案为：（2，4）或（8，1）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作辅助线并表示出△ABC的面积是解题的关键．
　
20．二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=　　．
【考点】二次函数综合题．
【分析】首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题．
【解答】解：如图，
由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．
设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，
由根与系数的关系得x1+x2=﹣b，x1x2=c，
又∠CAO=30°，则；
于是，，
．
由x1x2=9c2=c，得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题．
　
21．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t=　15　．
【考点】三元一次方程组的应用．
【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）=S，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）=2S，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）=S，联立所有方程求解即可求出t的值．
【解答】解：设货车，客车，小轿车速度为x、y，z，间距为s，
则：
由②×2﹣①×3 得
30（b﹣c）=S，④
④代入③中得
∴t+10+5=30，
∴t=30﹣10﹣5=15（分钟）．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了多元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确变为题目的数量关系，然后列出方程组解决问题．
　
22．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=（AB+AD），若∠D=115°，则∠B=　65°　．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】作CH⊥AD于H，如图，根据角平分线的性质定理得CH=CE，则利用“HL”可证明Rt△ACH≌Rt△ACE，得到AE=AH，再证明DH=BE，则可根据“SAS”证明∠CDH=∠B，而利用互补可计算出∠CDH的度数，从而得到∠B的度数．
【解答】解：作CH⊥AD于H，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CH=CE，
在Rt△ACH和Rt△ACE中
，
∴Rt△ACH≌Rt△ACE，
∴AE=AH，
∵AE=（AB+AD），
∴AH=（AE+BE+AD），即AH=BE+AD，
∴DH=BE，
在△CHD和△CEB中
，
∴∠CDH=∠B，
而∠CDH=180°﹣∠ADC=180°﹣115°=65°，
∴∠B=65°．
故答案为65°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
　
23．如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为　（11﹣4）米　．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】延长OD，BC交于点P．解直角三角形得到DP=DC cot30°=m，PC=CD÷（sin30°）=4米，通过△PDC∽△PBO，得到代入数据即可得到结论．
【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC cos30°=m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴，
∴PB=米，
∴BC=PB﹣PC=（11﹣4）米．
故答案为：（11﹣4）米，
【点评】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
　
24．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是　17　%（注：利润率=×100%）．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；经济问题．
【分析】本题可设原利润率是x，进价为a，则售价为a（1+x），由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，据此可得出方程解之即可求解．
【解答】解：设原利润率是x，进价为a，则售价为a（1+x），
根据题意得：﹣x=8%，
解之得：x=0.17
所以原来的利润率是17%．
【点评】本题需仔细分析数量关系，根据利润率的计算公式表示出现在的利润率，根据题意列方程即可解决问题．
　
三、解答题（请写出必要的步骤）
25．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
+10=，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
　
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，∴DE===12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．
　
27．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值．
【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质．
【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）作MN⊥QC，根据相似三角形的判定得出△MQN∽△PQC，根据相似三角形的性质得出，求出=，求出PC=20﹣x，MN=（20﹣x），QN=（QB+10），根据相似三角形的性质求出BQ，求出BN=x﹣5，根据勾股定理得出y=x2﹣20x+125（0≤x≤20），化成顶点式，即可求出最值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°﹣∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；
（2）解：作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M为PQ的中点，
∴N为CQ的中点，
∴=，
又∵PC=DC﹣DP=20﹣x
∴MN=PC=（20﹣x），QN=QC=（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴=，
∴=，
∴BQ=2x，
∵QN=QC=（QB+10）=（2x+10）=x+5，
∴BN=QB﹣QN=2x﹣（x+5）=x﹣5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=[（20﹣x）]2+（x﹣5）2，
即：y=x2﹣20x+125，（0≤x≤20），
当x=4，即DP=4时，线段BM长的最小值==3．
【点评】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
　
28．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？
②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】综合题．
【分析】（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．
（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长．
②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．
【解答】解：（1）BO=AB cos60°=4×=2（m）
AO=AB sin60°=4×=2（m）
答：BO=2m；AO=2m．
（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2﹣2x，OD=2+3x，CD=4m．
根据勾股定理有OC2+OD2=CD2．
∴（2﹣2x）2+（2+3x）2=42．
∴13x2+（12﹣8）x=0．
∵x≠0，
∴13x+12﹣8=0，
∴x=m．
∴AC=2x=m．
答：梯子顶端A沿NO下滑了m．
②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点．
∴PA=PO，P′A′=P′O．
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠A′OP′﹣∠AOP．
∴∠P′A′O﹣∠PAO=∠POP′=15°．
又∵∠PAO=30°．
∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′ cos45°=4×=2（m）．
∴AA′=AO﹣A′O=（2﹣2）m．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．本题中要注意直角三角形斜边中线定理的运用．
　
29．定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于　　；
②四边形ABCD为（　　）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；新定义；动点型；分类讨论．
【分析】（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基础上求出S△ABD；
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
【解答】解：（1）﹣2；D；
（2）∵F2：y=a（x﹣2）2+c﹣1，
而A（0，c）在F2上，可得a=．
∴DB=（4a+c）﹣（c﹣1）=2，
∴S△ABD=2；
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=x2﹣x+，配方得y=（x﹣1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2，
∴点C的坐标为（1+2，2）．
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=（x﹣1﹣）2+1，
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=AD=
∴最小值为．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．
【点评】本题综合考查的是考生的作图能力以及二次函数的灵活运用，难度较大．