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引入
引入
问题1：如图，夹在两条平行线间，等底的两个不同形状的三角形,它们的面积相等吗
引入
问题2：如图，夹在两条平行线间的两个三角形被平行于这两条平行线的任意直线所截，截线段都相等，那么面积相等吗？
引入
类比
平面
空间
类比
1.夹在两条平行线间的两个平面图形
2.被平行于这两条平行线的任意直线所截
3.截线段总相等
1.夹在两条平行平面间的两个几何体
2.被平行于这两个平行的任意平面所截
3.截面积总相等
问题3：你能将平面中的这一发现类比到空间中吗？
历史背景
祖暅(456~536)，南朝齐梁间数学家，字景烁，祖冲之的儿子。于5世纪末提出了体积的计算原理：祖暅原理，并用此原理解决了柱体，锥体，球体的体积计算。这一发现比西方要早1000多年。
祖冲之
祖暅
11.1.6祖暅原理及几何体的体积
人教B版（2019）必修第四册 第十一章 立体几何初步
S
h
S
S
h
祖暅原理
夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
"幂势既同，则积不容异"
一.祖暅原理与柱体体积
问题4：设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平面内。这三个柱体体积相等吗？你能用祖暅原理来说明吗？体积如何计算？
一.祖暅原理与柱体体积
祖暅原理
柱体体积
祖暅原理
化归思想
柱体体积
长方体体积
二.祖暅原理与锥体体积
问题5：底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，它们的体积相等吗？你能用祖暅原理来说明一下吗？
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
C
A1
B1
C1
A
B
A1
C
1
2
3
活动一：你能把三棱柱割成三个体积相等的三棱锥吗？
二.祖暅原理与锥体体积
.
二.祖暅原理与锥体体积
祖暅原理
锥体体积
柱体体积
祖暅原理
柱体体积
割补法
台体体积？
化归思想
学以致用
例1.如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥D'-A'CD的体积与长方体的体积比.
三.祖暅原理与球的体积
活动二：已知如图所示的半径为R的半球，你能根据祖暅原理构造一个与它体积相同的几何体吗？
高相等
等高截面面积相等
神秘几何体？
三.祖暅原理与球的体积
神秘几何体？
思考：
1.神秘几何体的高为？
2.半球中距底面高为h的截面面积为？
3.神秘几何体的截面形状可能是什么样的？
4.高度h从0变到R时，神秘几何体的截面如何变化？
5.若把大圆面和被挖去部分看成两个几何体的截面，你觉得是哪两个几何体？神秘几何体你猜到了吗？
R
祖暅原理
柱体体积
祖暅原理
割 补 法
柱体体积
球的体积
锥体体积
三.祖暅原理与球的体积
化归思想
学以致用
例2.某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，求这个零件的体积。
课堂小结
2.思想方法
1.知识
类比思想 化归思想 割补法
当堂检测
1.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,三棱锥A'-BC'D的体积是正方体体积的几分之几
2.如果一个球的大圆的面积增加到原来的100倍，那么这个球的体积会怎样变化
3.如图，将正四棱柱底面的边3等分，过3等分点用平行于侧棱的平面去截4个三棱柱，得到一个八棱柱。求这个八棱柱与原四棱柱体积之比。
课后作业
1.探究作业：这节课我们柱体和锥体球体的体积公式，那么台体的体积可以通过我们已知的知识得到吗？
2.课本88页A组1，B组2,3.
