广东省汕头市2024-2025学年高三期末统测数学试题（含解析）

广东省汕头市2024-2025学年高三年级期末统测
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题仅有一个选项正确.
1.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足：，，则（ ）
A. B. C. D.
4.我们研究成对数据的相关关系，其中，，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（ ）
A. B. C. D.
5.某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（ ）
A.100户居民的月均用水量的中位数大于
B.100户居民的月均用水量低于的用户所占比例超过90%
C.100户居民的月均用水量的极差介于与之间
D.100户居民的月均用水量的平均值介于与之间
6.已知为坐标原点，为抛物线的交点，点在上，且，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正四棱台的上、下底面面积分别为18、32，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.设函数，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.已知曲线，，则（ ）
A.若，则曲线表示两条直线
B.若，则曲线是椭圆
C.若，则曲线是双曲线
D.若，则曲线的离心率为
10.已知，则（ ）
A.若，，且，则
B.，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
C.当时，函数，恰有三个零点，且，则
D.若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则
11.若将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象，则下列函数中符合条件的有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知公比不为1的等比数列中，且，，成等差数列，则 .（结果用幂表示）
13.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，若，则双曲线的渐近线方程为 .
14.如图，在山脚测得山顶的仰角为，
沿倾斜角为的斜坡向上走米到达处，
在处测得山顶的仰角为，则山高
.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
（1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
（3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍.
（1）求直线的方程；
（2）求.
17.如图，平面四边形中，，,,，，点为中点，于，将沿翻折至，使得.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18.已知函数.
（1）证明曲线是轴对称图形；
（2）设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
19.设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列.
（1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列；
（2）设无穷数列为等差数列，，，证明：的任意子列不是等比数列；
（3）对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件.
参考答案
一、选择题
1.B 解析：选项A,D均是全称量词命题，B,C均是存在量词命题，
当时，，B为真命题，当，C为假命题.
2.C 解析：由得：，解得.
3.A 解析：根据平面向量线性运算与模的几何意义，
如图，.
4.B 解析：显然前9个点位于直线上，且，则越接近10，相关性越强，∴.
5.C 解析：月均用水量低于的用户频率为，A错误；
月均用水量低于的用户频率为
，B错误；
月均用水量的极差的最大值为，最小值为，C正确；
由直方图可直观观察出D错误.
6.B 解析：∵，由抛物线的定义得：，即，
由点在上得，∴，故的方程为.
7.A 解析：依题意上、下底面边长分别为，作于，于，
得三棱锥，则，，
由题设得，，
∴,.
8.D 解析：由题意，
若，则当时，，不合题意；
若，则当时，，不合题意；
若，则当时，，不合题意；
∴，此时，，则，
当时，；当时，；，符合题意，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立.
二、选择题
9.ACD 解析：若，则，曲线的方程为，表示两条直线，A正确；
若，则当时，曲线表示圆，故B错误；
若，由知曲线表示双曲线,故C正确；
若，则曲线表示等轴双曲线，故D正确
10.BCD 解析：，
对于A，依题意，周期，∴，故A错误；
对于B，依题意，函数图象关于对称，则，
得，又，∴，故B正确；
对于C，函数，，
令得，
∴在上恰有两条对称轴，.
从而，故C正确；
对于D，由得，解得，D正确.
11.AC 解析：若函数逆时针旋转后所得函数仍是一个函数，则其图象与直线均不能有两个或两个以上的交点.
对于，设，则，则为上的减函数，且曲线与直线恰有1个交点，符合题意，A正确；
对于，设，则，，
则在存在零点，不符合题意，B错误；
对于，设，
恰有一个零点，符合题意，C正确；
对于，作出图象，易知不符合题意，D错误.
三、填空题
12. 解析：依题意，，从而，∴，.
13. 解析：法一：显然直线为双曲线的渐近线，且，
由得：，整理得，∴，
从而双曲线的渐近线方程为.
法二：在中由余弦定理得，
在中，，
两式相加得，整理得，∴，
从而双曲线的渐近线方程为.
14.（也可）
解析：法一：在中，，
，，∴，
由正弦定理得：，故，
从而中，.
法二：在中，，
，，∴，
由正弦定理得：，故，
从而.
四、解答题
15.解：（1）样本中，可以在3小时内完成各科作业的学生频率为，
∴从该校高三学生中随机选取1人，可估计他在3小时内完成各科作业的概率为.
（2）样本中，完成各科作业的总时长在2.5小时内的学生共7人，其中砸2小时内完成的有3人，
则服从超几何分布，其分布列为：，，即
则.
（3）依题意，可近似为服从二项分布，即，∴.
16.解：（1）法一：由得：，
∴，解得，
设到直线的距离分别为，
则由得：，∴，
解得或（舍去），
故直线的方程为：.
法二：设直线与轴的交点为，
∵，且，∴，
从而，解得，
故直线的方程为：.
（2）设，中，由余弦定理得：
即，
∴，
从而，
由得：,解得点的纵坐标为，
∴，故.
17.解：（1）证明：依题意，，，
又，∴平面，
∵，即，∴，故平面.
（2）连接，∵，，
∴，即，
又，，∴平面，
又平面，∴，
如图，以点为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设平面的法向量为，
则，
不妨取，得，
又为平面的一个法向量，
∴，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18.解：（1）由得的定义域为，
∴曲线关于直线对称.
（2）由得：
，
令，则
，，
∴在上单调递增，从而，∴在上单调递增，
∴，即，故是上的增函数，
由得的解集为.
19.解：（1）常数列1,1,1，…符合题意.
（2）若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列，
下证的任意三项不能构成等比数列，
假设，其中且，
∵公差，∴，
从而，
整理得，①
若，则，从而，与矛盾，
∴，此时，①中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等，
∴假设不成立，故的任意三项不能都成等比数列，
从而的任意子列不是等比数列.
（3）若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列，
设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件.
假设，其中且，
∵，
∴，
整理得，
若，则，从而，与矛盾，
∴，此时，有理数，
∴当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，
进而的任意子列不是等比数列，
故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件.