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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
解：由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故A选项正确，不符合题意；
由上可得∠A=∠B，所以a=b，故B选项正确，不符合题意；
由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故C选项正确，不符合题意；
由上知a2+b2=c2，故D选项不正确，符合题意；
故选D．
2．（3分）如图，中，，平分，交于点D，，，则的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
解：过点D作，
∵平分，，，
∴，
∴．
故选：C．
3．（3分）如图，，的平分线相交于D，过点D作，交于E，交于F，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
与不一定相等，故②错误．
在△ABC中，和的平分线相交于点，
，
，
；故③错误；
的周长为：；
故④正确；
故选：B．
4．（3分）如图，，点在线段上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
解∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠D=70°，
∴∠C=180°-2×70°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=40°，
故选：C．
5．（3分）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B．
C．或 D．
解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，满足三角形的三边关系，此时周长为；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、，此时，不满足三角形的三边关系，不符合题意；
故选：A．
6．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1、b=2、c= B．a=1.5、b=2、c=3
C．a=6、b=8、c=10 D．a=3、b=4、c=5
解：A. 12+= 22; B. 1.52+22≠32;
C. 62+82=102; D. 32+42=52.
故选B．
7．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
解：如图1，三角形是锐角三角时，
∵，
∴顶角；
如图2，三角形是钝角时，
∵，
∴顶角，
综上所述，顶角等于或．
故选：D．
8．（3分）如图，在中，的平分线交于点，交于点，于点，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：平分，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；② ∠CDE=∠CAB；③ AC=(AB＋AE)；④ S△ADC=S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD,
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴∠DEA＝∠DFA，DF＝DE，
又∵DE=DB，
∴DF＝DB，
∴∠DFB＝∠B，
又∵∠DFA+∠DFB＝180o，∠DEA＝∠DFA，
∴∠DEA＋∠B=180°(等量代换),
又∵∠CED+∠AED＝180o,
∴∠CED=∠B,
又∵∠C+∠CED+∠CDE＝180o，∠C+∠CAB+∠B＝180o，
∴∠CDE＝∠CAB，
过点D作DGAB于点G，如图所示：
∵DG＝DB（已证），
∴DG是BF的垂直平分线，
∴FG＝BG，
∵AD是是∠CAB的角平分线，∠C=90°，DGAB，
∴DC＝DG，
在△ADC和△AGD中
，
∴△ADC≌△AGD（AAS），
∴AC＝AG，
又∵AC＝AE+CE，AG＝AF+FG，
∴AE+CE＝AF+FG，
又∵AE＝AF，
∴CE＝FG，
又∵FG＝BG，
∴CE＝BG，
∴AC＝AE+BG，
又∵AB+AE＝AG+BG+AE，AG＝AC，
∴AB+AE＝AC+AC＝2AC，即AC=(AB＋AE)，
∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△AED＝，
∴S四边形ABDE ，
又∵S△ADC＝，
∴S△ADC=S四边形ABDE.
故①②③④都正确，共计4个正确.
故选A.
10．（3分）在一个的正方形网格中，，是如图所示的两个格点，如果也是格点，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，画出图形如图：共8个.
故答案为C.
二、填空题（共15分）
11．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可）
解：根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形得：
．
故答案为：（答案不唯一）
12．（3分）△ABC中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P，当中有两个角相等时，的度数为 ．
解：①当时，
∵，
∴，
∴，
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
②当时
∵，
∴，
∴，
∴
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
③当时
∵，
∴
∴
∵将折叠，使得点B与点A重合，
∴，
此时，符合题意；
综上所述答案为：或或；
13．（3分）如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD,③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是
解：根据题意可得所能组成的命题有3个，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知三个命题都是正确的，则真命题的概率为1.
14．（3分）如图，点和点在线段上，，，，若，则 ．
解：∵，，
∴，即，
在△ABC和中，
，
∴，
∴，
∵∠D=90 ，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（3分）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是 ．
解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，
此时DE=DF=BE=CF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴EH=FH，，
∴，
∴，
设，则，
则在直角△DHE中，
，
解得，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，
可知BE=DE=EF，
∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8
∴BH=CH=4，
∴，
设，则，
∴，即
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，
∴AN⊥BD，BN=DN，
∴，
∴
在△AHE和△BNE中，
∴△AHE≌△BNE，
∴AE=BE，
设，则，
在直角△AEH中，
，
解得，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理
∴
故答案为：或或．
三、解答题（共75分）
16．（6分）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
解：连接AC．
在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252，
在△ADC中，
CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米．
17．（7分）我市某中学有一块四边形空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在这块空地上种植草皮，需要测量其面积．经技术人员测量，米，米，米，米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
解：连接，如图所示：
∵，米，米，
∴在中，（米）．
∵米，米，米，
∴在中，，
∴为直角三角形，，
∴（平方米），
∴四边形的面积为平方米，
所以这块空地的面积为平方米．
18．（8分）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，
由题意得：，
解得：
∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，
即各边长分别是；
（2）当腰为时，底边长为： ，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
当底为时，腰长为：，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
综上所述：其余两边分别为与，或与．
19．（8分）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，型和型海警船同时离开港口，各自沿一固定方向巡航．型海警船航速为节（节海里/小时），型海警船航速为节，它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距海里．若型海警船沿北偏东方向航行，请解答下列问题．
(1)试说明是直角三角形．
(2)型海警船沿哪个方向航行？
（1）解：依题得：，海里，海里，海里，
，
即，
，
即是直角三角形．
（2）解：，，
，
即型海警船沿北偏西航行．
20．（8分）如图，过点C，于点E，于点F，．求证：．
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴．
21．（9分）已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：．
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴．
22．（9分）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接．
(1)当是四边形的对称轴时，求线段的长；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数；
(3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，直接写出最小时的长．
（1）解：在中，，
则
是四边形的对称轴
．
（2）当时，
，平分
当时，
综上所述或．
（3）在上截取，连接、
，平分
垂直平分
，且的值最小时，的值最小，此时的值最小则当，且点在上时，的值最小
过作
点是的中点，
．
23．（10分）（1）如图1，在锐角中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，则与相交所得的锐角______；
（3）如图2，四边形中，，，，求的长．甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化，据此可计算得______．
解：（1），理由如下：
∵
∴，即
在和中
∴
∴
（2）如图，设AC与BD相交于点O，EC与BD相交于点F，
∵，，
∴
∵
∴
在和中，，
∴
∴与相交所得的锐角为，
故答案为：．
（3）如图2，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，AE=AB，连接EA、EB、EC
∵
∴，
∴，即
在和中
∴
∴
∵，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴．
故答案为：．
24．（10分）如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
(1)求证：BG＝CF；
(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度．
(3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系．
（1）证明：连接BD、CD，
∵ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，
∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°，
∴RtDBGRtDCF（HL），
∴BG=CF．
（2）解：∵AD平分∠BAF，
∴∠DAG=∠DAF，
∵DF⊥CA，DG⊥AB，
∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF，
∴DGADFA（AAS），
∴AG=AF，
∵BG=ABAG，CF=AF+AC，CF=BG，
∴ABAF=AF+AC，
∵AC=6，AB=18，
∴18AF=AF+6，
∴AF=6．
（3）解：∵DBGDCF，
∴，
∵DGADFA，
∴，
∵，
∴
=
=
=．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，中，，平分，交于点D，，，则的面积为（ ）
A．60 B．30 C．15 D．10
3．（3分）如图，，的平分线相交于D，过点D作，交于E，交于F，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，，点在线段上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B．
C．或 D．
6．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1、b=2、c= B．a=1.5、b=2、c=3
C．a=6、b=8、c=10 D．a=3、b=4、c=5
7．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
8．（3分）如图，在中，的平分线交于点，交于点，于点，若，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；② ∠CDE=∠CAB；③ AC=(AB＋AE)；④ S△ADC=S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）在一个的正方形网格中，，是如图所示的两个格点，如果也是格点，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可）
12．（3分）△ABC中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P，当中有两个角相等时，的度数为 ．
13．（3分）如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD,③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是
14．（3分）如图，点和点在线段上，，，，若，则 ．
15．（3分）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是 ．
三、解答题（共75分）
16．（6分）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
17．（7分）我市某中学有一块四边形空地，如图所示，为了绿化环境，学校计划在这块空地上种植草皮，需要测量其面积．经技术人员测量，米，米，米，米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
18．（8分）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
19．（8分）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，型和型海警船同时离开港口，各自沿一固定方向巡航．型海警船航速为节（节海里/小时），型海警船航速为节，它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距海里．若型海警船沿北偏东方向航行，请解答下列问题．
(1)试说明是直角三角形．
(2)型海警船沿哪个方向航行？
21．（9分）已知：中，，于点，平分交于两点，交于点．求证：．
22．（9分）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接．
(1)当是四边形的对称轴时，求线段的长；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数；
(3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，直接写出最小时的长．
23．（10分）（1）如图1，在锐角△ABC中，分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，则与相交所得的锐角______；
（3）如图2，四边形中，，，，求的长．甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化，据此可计算得______．
24．（10分）如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
(1)求证：BG＝CF；
(2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度．
(3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系．
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