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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝25°，∠B＝65° B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝：： D．a＝6，b＝10，c＝12
2．下列四条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．，2， C．2，3，4 D．6，12，13
3．如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点到的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
4．已知一个等腰三角形的周长为20，若其中一边的长为4，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．4或12
5．如图，在中，，于点D，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．3
6．△ABC的三边，且，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是等腰直角三角形且 B．△ABC是直角三角形或等腰三角形
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC是直角三角形，且
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤
9．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，CE 平分∠ACB 交 BD 于 E，图中 等腰三角形的个数是（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
10．如图，在△ABC中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，
①；②；③；④．
正确的有（ ）个，
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．线段垂直平分线上的任意一点到 相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在 上．
12．如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则 °．
13．已知的三边长为、、，且满足关系式，则的形状为 ．
14．在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
15．如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为 ．
三、解答题：（共75分）
16．（6分）在 中，．
(1)若，，求 的长．
(2)若，，求 的长．
17．（7分）王爷爷退休以后，开辟出一块农田，形状和尺寸如图所示（单位：m），∠ABC＝90°，你能帮他计算出这块农田的面积吗？
18．（8分）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数）
19．（8分）小刚准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米．
(1)第三条边为______米（用含m的式子表示）．
(2)是否存在m的值，使该场地成为以第一条边长m为腰的等腰三角形，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
20．（8分）综合与实践
如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接．
(1)求证：；
(2)在线段的延长线上取点，，使，直线，交于点．求证：．
21．（9分）如图，在中，，，求证：平分．
22．（9分）如图，南北方向线为我国领海分界线，即以西为我网领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇在A 处发现正东方向C 处有一走私艇以 的速度沿正西方向偷偷向我领海开来，使立即通知正在线 上 的B处巡逻的我国另一艘反走私艇．已知A，C两处的距离是，A、B两处的距离是，两处的距离是．若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领域？
23．（10分）如图，已知等腰中， ，D为的一个外角的平分线上一点，且交于E，
(1)求证：；
(2)求的长．
24．（10分）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为的图形，按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝25°，∠B＝65° B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a：b：c＝：： D．a＝6，b＝10，c＝12
解：A、∵∠A=25°，∠B=65°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故A选项正确；
B、∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，
∴，
∴△ABC是直角三角形；故B选项正确；
C、∵a：b：c=：：，
∴设a=k，b=k，c=k，
∴a2+b2=5k2=c2，
∴△ABC是直角三角形；故C选项正确；
D、∵62+102≠122，
∴△ABC不是直角三角形，故D选项错误．
故选：D．
2．下列四条线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．，2， C．2，3，4 D．6，12，13
解：A．，，
，
不能构成直角三角形，故不符合题意；
B．，，
，
能构成直角三角形，故符合题意；
C．，，
，
不能构成直角三角形，故不符合题意；
D．，，
，
不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：B．
3．如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点到的距离是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
解： ∵，，
∴CD＝10×＝4cm，
∵BD是角平分线，∠C＝90°，
如图，过D点作DE⊥AB，
∴点D到AB的距离DE=CD＝4cm，
故选：C．
4．已知一个等腰三角形的周长为20，若其中一边的长为4，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．4 B．8 C．4或8 D．4或12
解：①4是腰长时，底边为：20﹣4×2＝12，
三角形的三边长分别为4、4、12，
∵4+4＜12，
∴不能组成三角形，
②4是底边长时，腰长为：×（20﹣4）＝8，
三角形的三边长分别8、8、4，能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8．
故选：B．
5．如图，在中，，于点D，，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．3
解：∵，，，
∴，，
∴，
故选C
6．△ABC的三边，且，下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是等腰直角三角形且 B．△ABC是直角三角形或等腰三角形
C．△ABC是直角三角形，且 D．△ABC是直角三角形，且
解：∵∴∴△ABC是直角三角形，且故选：D
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
解：如图，令∠A=，∠ABE＝∠BCD =，
∴∠BEC=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵BE＝BC，
∴∠BCE=，
∴∠DCE=
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴∠OBC=，
∴∠EOC=，
将以上各角在图中标注，依据等角对等边，由图可知：这四个三角形是等腰三角形，
故选：B．
8．如图，中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤
解：①在△ABC中，，
，
又、分别平分、，
，，
，
，
故①正确；
②，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
③若平分，则，
，
，
，
，
这个与已知条件不符，故③不正确，
④，，
，，，
，
，
，
，
，即，
故④正确；
⑤
，故⑤不正确；
综上所述，正确的结论有①②④，故选：B．
9．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，CE 平分∠ACB 交 BD 于 E，图中 等腰三角形的个数是（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
解∵AB=AC，∠A=36°
∴△ABC是等腰三角形，且∠ABC=∠ACB=
又∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB
∴∠ABD=∠EBC=∠ACE=∠ECB=36°
∴△EBC是等腰三角形
∵∠ABD=∠A=36°
∴△ABD是等腰三角形
∵∠CED=∠ECB+∠EBC=72°且∠CDE=∠ABD+∠A=72°
∴∠CED=∠CDE=∠ACB=72°
∴△EDC和△BCD是等腰三角形
综上所述共有5个等腰三角形.
故选C.
10．如图，在△ABC中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，
①；②；③；④．
正确的有（ ）个，
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故①正确；
②由①知，，
过点作于，
则，
，
，
点是的中点，
，
在与中，，
，
，，
，
，
，故②正确；
③由，，
设，则，，，
，故③正确；
④如图，，
，
由①知，，，
，
，
由①知，，
，
，
，
，
，
，
，
故④错误，
正确的有3个，
故选：C．
二、填空题:（每小题3分共15分）
11．线段垂直平分线上的任意一点到 相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在 上．
解：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；和一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．
故答案为：线段两个端点的距离；线段的垂直平分线上．
12．如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则 °．
解：∵，
∴，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴，
∴．
故答案为：36．
13．已知的三边长为、、，且满足关系式，则的形状为 ．
解：，
，，
，，
的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
14．在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
解：设过点且将分成两个等腰三角形的直线交于点，分三种情况讨论．
①当为等腰的顶角时，如图1，
，
又是等腰三角形，，
；
②当为等腰的顶角时，如图2，
，，
，
，
又是等腰三角形，，
；
③当为等腰的顶角时，如图3，
则，
又是等腰三角形，，
．
故答案为：或或．
15．如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为 ．
解：∵，
∴，
∵，
，
，，
在中，,
∵，
，
，，
，
，
∴是等边三角形，
，
．
故答案为．
三、解答题：（共75分）
16．（6分）在 中，．
(1)若，，求 的长．
(2)若，，求 的长．
（1）解：如图，
∵，，，
∴；
（2）如图，
∵，，，
∴在中，．
17．（7分）王爷爷退休以后，开辟出一块农田，形状和尺寸如图所示（单位：m），∠ABC＝90°，你能帮他计算出这块农田的面积吗？
解：连接AC，
在Rt△ABC中，AC为斜边，
已知AD＝4，CD＝3，
则AC＝＝5，
∵AD=13，CD=12，AC=5
∴，
∴△ACD为直角三角形，
∴，
答：该农田的面积为24．
18．（8分）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数）
解：∵，，，∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴种植草皮所需金额为：（元）．
答：在该空地上种植草皮大约需要元．
19．（8分）小刚准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米．
(1)第三条边为______米（用含m的式子表示）．
(2)是否存在m的值，使该场地成为以第一条边长m为腰的等腰三角形，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
（1）解：依题意，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条条边长的2倍少2米
∴第三边为
故答案为：．
（2）①，解得，
∵，
∴不能构成三角形
②当时，解得：
∵
∴，能构成三角形，
综上所述，
20．（8分）综合与实践
如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接．
(1)求证：；
(2)在线段的延长线上取点，，使，直线，交于点．求证：．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，是等边三角形，
∴，
在和中，，
∴．
21．（9分）如图，在中，，，求证：平分．
证明：，
，
在和中，
，
平分．
22．（9分）如图，南北方向线为我国领海分界线，即以西为我网领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇在A 处发现正东方向C 处有一走私艇以 的速度沿正西方向偷偷向我领海开来，使立即通知正在线 上 的B处巡逻的我国另一艘反走私艇．已知A，C两处的距离是，A、B两处的距离是，两处的距离是．若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领域？
解：设与相交于E，则，
，
为直角三角形，且，
，
走私艇C进入我国领海的最短距离是，
，
，
由，得，
，
9时50分+51分=10时41分．
答：走私艇的速度不变，最早会在10时41分进入我国领域．
23．（10分）如图，已知等腰中， ，D为的一个外角的平分线上一点，且交于E，
(1)求证：；
(2)求的长．
（1）证明：过D点作，垂足分别为M、N，
∴
∵D为△ABC的一个外角的平分线上一点，
∴．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
24．（10分）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为的图形，按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？
解：（1）等边三角形的边数为3，
第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第三次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，
，
故答案为：4，
（2）由（1）可知每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，
所以第次分形后所得图形的边数是，
故答案为：．
（3）第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，
，
所以第次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为．
当周长为时，即：，
．
∴经过5次分形后得到了一个周长为的图形．
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