2024-2025学年八年级下学期数学（人教版）开学摸底考试（含答案）

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20224-2025学年八年级下册开学摸底考试（人教版）
数学
考试范围：八上全册 考试时间：100分钟 分值：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(共10题；共20分)
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，不正确的是(　　).
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题
C．“若a>b，则的逆命题是“若a2>b2，则a>b”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”
4．若，，则的值为（　　）
A．11 B． C．4 D．不存在
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．三边的长度分别为1，2，
B．∠A，∠B，∠C的度数比为5∶12∶13
C．∠A＝∠B＋∠C
D．∠B＝∠C＝45°
6．若是一个完全平方的展开形式，则k的值为（　　）
A．9 B．3或 C． D．9或
7．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．17 C．20 D．22
8．如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
9．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是1，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题(共5题；共5分)
11．已知，则代数式的值是　 　．
12．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　 　，
13．如图，正方形中，，把绕点逆时针旋转得到，连接则（1）　 　；（2）　 　．
14．如图，在中，是BC边上的高线，CE平分交AD于点，，则DE的长为　 　.
15．如图，已知，，，B、D、E在同一直线上，则的度数为　 　．
三、解答题(共8题；共65分)
16．计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
17．把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
18．某居民小区吻应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，区为成年人活动场所，区为未成年人活动场所，其余地方均种花草．
（1）活动场所和花草的面积各是多少？
（2）整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍？
19．如图， 某县有 80 万人口， 则该县少数民族人口共有　 　万人．
20．如图，，的两条高、交于点F.
（1）证明；
（2）若延长至点G，使，连接、，，求的面积.
21．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
，
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，，可得．
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）若，用配方法求的最小值；
（3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由．
22．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.
（1）求证：BG＝DG；
（2）求C′G的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长.
23． 如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
（1）求证：；
（2）若M为的中点，求的半径；
（3）若的半径为3，求的值．
答案解析部分
1．C
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ＝5，正确；
D、 ＝2，错误.
故答案为：C.
利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对B作出判断；利用乘方法则及算术平方根的性质，可对C作出判断；根据任何数的立方根只有一个，可对D作出判断.
2．D
3．A
解：A、“对顶角相等”有逆命题相等的角是对顶角，符合题意；
B、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是真命题，不符合题意；
C、“若a＞b，则a2＞b2的逆命题是“则a2＞b2则a＞b”，不符合题意；
D、“全等三角形的对应边相等”逆命题是“对应边相等的三角形全等”，不符合题意；
故答案为：A.
根据对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角、等腰三角形的两个底角相等，有两个角相等的三角形是等腰三角形、不等式的性质、全等三角形的三条对应边相等，三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可求解.
4．C
5．B
解：A、∵12+22=()2，∴△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
В、∵∠А∶∠B∶∠C=5∶12∶13， ∠А +∠В+∠C=180°，
∴最大角∠C=，
∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
С、∵∠А=∠В+∠С，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
D∵∠B=∠C=45°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
根据勾股定理的逆定理“如果一个三角形的三边满足，较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形”可判断A选项；根据三角形的内角和定理求出三角形最大内角得度数，然后根据最大内角为90°的三角形就是直角三角形，可判断B、C、D三个选项.
6．D
7．B
解：由题意可得：阴影部分面积．
，，
，
阴影部分面积．
故答案为：B．
将 a＋b＝10，ab＝22， 代入计算求解即可。
8．C
解：四边形ABCD为正方形，
，
，，
，
，
，
使有最小值，即求的最小值，
当时，存在最小值，
，
，
线段的最小值为．
故答案为：C
先根据正方形的性质得到，进而根据等腰三角形的判定与性质得到
，，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，根据勾股定理得到，使有最小值，即求的最小值，当时，存在最小值，再根据等腰三角形的性质（三线合一）即可求解。
9．D
解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
10．C
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠COE=45°，
∴∠ODE+∠COE=∠DOF+∠DOE=90°，
∴∠DOF=∠COE.
∵∠ODF=∠OCE，OC=OD，∠DOF=∠COE，
∴△DOF≌△COE（ASA），
∴S△DOF=S△COE，
∴S△COD=S四边形EOFD=1.
∵S△COD=OD2=1，
∴OD=，
∴CD==2，
∴AB=CD=2.
故答案为：C.
由正方形的性质可得OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠COE=45°，根据同角的余角相等可得∠DOF=∠COE，利用ASA证明△DOF≌△COE，得到S△DOF=S△COE，进而推出S△COD=S四边形EOFD=1，结合三角形的面积公式可得OD的值，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出CD的值，据此解答.
11．4
12．6
解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
13．；
14．
解：如图，过点E作EF⊥AC，
∵AD⊥BC，∠B=45°，AB=
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AD=AB=4，
∵=AD·CD=×4×CD=6，
∴CD=3，
∴AC==5，
∵ CE平分 ，EF⊥AC，AD⊥BC，
∴EF=DE，
∴=△ACE的面积+△CDE的面积=6，
即AC·EF+CD·DE=×5DE+×3·DE=6
∴DE=
故答案为：.
过点E作EF⊥AC，由角平分线的性质可得EF=DE，易求△ABD为等腰直角三角形，可得BD=AD=AB=4，利用可求CD=3，再利用勾股定理求出AB=5，根据=△ACE的面积+△CDE的面积=6即可求出DE的长.
15．
16．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
（1）先利用有理数的乘方、绝对值的性质、负指数幂和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）先利用同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方化简，再计算即可；
（3）利用单项式乘多项式的计算方法求解即可；
（4）利用多项式乘多项式的计算方法求解即可。
17．（1）
（2）
18．（1）解：活动场所面积为；花草的面积为．
（2）解：根据题意，
（1）活动场所包含成年人活动场所和未成年人活动场所，即其面积为A、B面积之和，花草的面积为健身馆面积减去活动场所的面积，据此分别计算即可；
（2）用健身馆的面积除以成年人的活动场所面积即为所求.
19．12
解：根据题意可得：80×（8%＋4%＋3%）
＝80×15%
＝12（万人）
答：该县少数民族人口共有12万人。
故答案为：12.
先求出少数民族的百分比，再乘以总人数即可.
20．（1）证明：∵、 是的两条高
∴
∵AB=AC
∴CD=BE
（2）解：过点G作GH⊥DC交DC的延长线于点H
∵BE⊥AC，CD⊥AB
∴∠ACD+∠CFE=90°，∠A+∠ACD=90°
∴∠A=∠CFE
在△ACD和△FGH中
∴△ACD≌△FGH（AAS）
∴CD=GH
∵BE=6，BE=CD
∴CD=GH=BE=6
∴
（1）根据三角形的面积即可求出答案.
（2）过点G作GH⊥DC交DC的延长线于点H，根据题意可得∠A=∠CFE，再根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△FGH（AAS），则CD=GH，再根据边之间的关系结合三角形面积即可求出答案.
21．（1）解：
；

（2）解：
∴
，
∴的最小值是；
（3）解：是等边三角形：
，
，
，
是等边三角形；
（1）参照题干中的定义及配方法的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的定义及配方法的计算方法可得，再求出其最小值即可；
（3）先参照题干中的定义及配方法的计算方法将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质可得a=b=c，即可证出是等边三角形.
（1）解：
；
（2）解：
∴
，
所以，的最小值是；
（3）解：是等边三角形：
，
，
，
是等边三角形；
22．（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，
∴在△GAB和△GC′D中，
，
∴△GAB≌△GC′D（AAS），
∴BG＝DG
（2）解：∵△GAB≌△GC′D，
∴AG＝C′G，
设C′G＝x，则GD＝BG＝8-x，
∴x2+62＝（8-x）2，
解得： ，
∴ ；
（3）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM＝4cm，
∵AD＝8cm，AB＝6cm，
∴在Rt△ABD中，BD＝10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴MN是△ABD的中位线，
∴DN＝ BD＝5cm，
在Rt△MND中，MN＝ ＝3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，
∵EN∥CD，
∴∠END＝∠NDC，
∴∠END＝∠NDE，
∴EN＝ED，
设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，
由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，
解得x＝ ，即EM＝ cm.
（1）根据折叠的性质可得∠A＝∠C′，AB＝C′D，由对顶角的性质可得∠AGB=∠C′GD，利用AAS证明△GAB≌△GC′D，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得AG＝C′G，设C′G＝x，则GD＝BG＝8-x，然后利用勾股定理进行计算；
（3）由题意可得DM＝4cm，MN是△ABD的中位线，则DN＝BD＝5cm，由勾股定理可得MN的值，由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，根据平行线的性质可得∠END＝∠NDC，进而可推出EN=ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，然后利用勾股定理进行计算.
23．（1）证明：∵四边形是矩形
，
又
（2）解：连结，连结交于点H，作于点G．
则，
为的中点，
，四边形是矩形，
，
（3）解：连结．
的半径为3
∵四边形是矩形
∵四边形内接于，
∴，
∵，
（1）根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到：，进而即可求证；
（2）连结，连结交于点H，作于点G．则，根据题意和垂直的定义即可证明四边形是矩形，则，进而即可求出的半径；
（3）连结．根据题意得到：，然后根据矩形的性质得根据圆内接四边形的性质得到：，即，进而得到：，最后根据勾股定理求出FM的长度，进而即可求解.
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