6.3.1平面向量基本定理及坐标表示——平面向量基本定理 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3.1 平面向量基本定理
学习目标
1、了解平面向量基本定理；理解平面里的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；
2、能够在具体问题中适当地选取基底，使其它向量都能够用基底进行表示.
温故知新
向量的数量积：
已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
运算律：
对于，，和实数，有： （1）；
（2）； （3）
新知探究
问题：上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内的任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线的向量表示呢？
新知探究
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力.
问题：由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？
新知探究
如图（1），设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量.如图（2），在平面内任取一点，作，，，将按，的方向分解，你有什么发现呢？
探究
（1）
A
B
O
C
（2）
新知探究
A
B
O
C
M
N
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于OA的直线，与直线OB交于点N，则.由与共线，与共线可得，存在实数，，使得，，所以.
问题：与都不共线的向量都可以表示成
的形式吗？
是
新知探究
问题：当是与或共线的向量时，也可以表示成的形式吗？
当是零向量时呢？为什么？
不妨设与共线，此时，，即的形式.
O
A
B
若，则，即也可以表示成的形式.
新知探究
问题：上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，那这种表示形式是唯一的吗？
如果还可以表示成的形式，
那么，
可得，
由此可以推出，，
即，，
也就是说，有且仅有一对实数，，使得.
为什么？
新知探究
问题：上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，那这种表示形式是唯一的吗？
事实上，假设，不全为0，不妨假设，可得，由此可得，共线，这与已知，不共线矛盾.
新知探究
平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，，使
新知探究
基底
若，不共线，我们把叫做表示这个平面内所有向量的一个基底.
由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这位我们研究问题带来了极大的方便.
典型例题
例1：如图，，不共线，且，用，表示.
因为，
所以
.
O
A
B
P
典型例题
观察：，你有什么发现？
由于给出了点在直线上的充要条件，
因此实际上给出了直线的向量式方程.
典型例题
观察：，你有什么发现？
观察，可以发现，也就是说，，不共线，当，即点在直线上时，的表示式中，；
反过来，，不共线，的表示式中，，那么点在直线上.（此结论可以证明如下：由已知得，，所以，于是，所以点在直线上.）
典型例题
例2：如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形.
证明：如图，设，，
则，，于是.
，
因为，所以，
因为，，
所以，
因此，于是是直角三角形.
A
B
C
D
典型例题
A
B
C
D
向量的数量积是否为零，是判断
相应的两条线段（或直线）是否
垂直的重要方法之一！
方法总结：
随堂练习
1、如图，，，是的三条中线，，.用，表示，，，.
A
B
C
D
E
F
随堂练习
2、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相较于点O，，，点，分别是，的中点，是的三等分点.
（1）用，表示，，；
（2）能由（1）得出，的关系吗？
A
B
C
D
E
F
O
G
随堂练习
3、如图，在中，，点，分别是，的中点，设，.
（1）用表示，；
（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论.
A
B
C
D
E
F
本节课到此结束！
谢谢大家！