北京市昌平区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

北京市昌平区2024-2025学年高三上学期期末考试
数 学
2025.1
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线的渐近线方程为，则实数
（A） （B） （C） （D）
（4）已知直线与圆相交于两点，则
（A） （B） （C） （D）
（5）设函数的定义域为，则对内的任意实数，有
（A） （B）
（C） （D）
（6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（8）古生物学家经常利用碳 14 的含量来推断古生物死亡的大致时间. 当生物体生存时，其体内的碳14 含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14 会发生衰变，且碳 14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为 5730 年，即每经过 5730 年，碳 14 含量就会变为原来的. 现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为. 由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是
(参考数据: ,)
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（10）如图1所示,在正六棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，，，，.在正六棱柱中，截去三棱锥、、，再分别以为轴将分别向上翻转，记三点重合的点为，围成的曲顶多面体如图2所示. 记正六棱柱的表面积与体积分别为，当时，记所围成的曲顶多面体的表面积与体积分别为，则下述判断正确的是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
填空题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 在的展开式中，的系数为_______.（用数字作答）
(12) 已知抛物线的焦点为 ，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为_______；点为坐标原点，△的面积为_______．
（13）已知数列的前项和为，，则______.
(14) 已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为_______; 若存在最大值，则的取值范围是 .
（15）已知等差数列与等比数列是两个无穷数列，且都不是常数列.
给出下列四个结论：
①数列不是等比数列;
②若与都是递增数列，则数列是递增数列;
③对任意的，不是等差数列;
④存在数列，对任意的，且,使得不能构成等比数列.
其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
(16) （本小题13分）
如图，在多面体中， 四边形为正方
形，，为线段的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，求直线与平面所
成角的正弦值.
(17)（本小题13分）
在△中，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在，求的面积．
条件①: ；
条件②: ；
条件③: .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
(18)（本小题14分）
某旅游景区为吸引更多游客,计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张. 为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：
用户 平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人）
官方网站
短视频
景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为元/人，其售票利润率分别是和．
假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率．
（Ⅰ）从短视频平台浏览用户中随机选取人,估计此人为购买景区门票用户的概率；
（Ⅱ）从官方网站平台浏览用户中，随机选取人,用表示这人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望；
（Ⅲ）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为万人和万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按元/人的标准支付，向短视频平台按元/人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由．
(19)（本小题15分）
已知椭圆的离心率为,且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,且与直线交于点，点在线段（不包括两端点）上，为坐标原点，直线与直线，分别交于点．
求证：点关于原点对称.
(20)（本小题15分）
设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求函数的零点的个数.
(21)（本小题15分）
若有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质：
①；
②．
（Ⅰ）当，时，写出两个具有性质的数列；
（Ⅱ）给定的正整数，若数列具有性质，且.将的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列,记为，数列的所有项的和为.
（ⅰ）证明：数列为等差数列；
（ⅱ）从中任意取个数构成集合,使得对任意的，存在，满足能被整除，求的最小值.
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D D C A B C B C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）
（14） （15）①③④
三、解答题(本大题共6小题，共85分)
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）连结，设．
因为四边形为正方形，
所以为中点．
因为为的中点，
所以，且．
由已知，且，
所以．
所以四边形为平行四边形．
所以，即．
因为平面，平面，
所以//平面． .....5分
（Ⅱ）因为平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以．
所以两两垂直．
如图所示，建立空间直角坐标系．
因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
由 得即
取，得．
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为． .....13分
（共13分）
解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理，得.
因为在△中，,所以.
所以.
因为，所以. .....6分
（Ⅱ）选条件②:
由余弦定理，得.
解得或.
当时，.
当时，. .....13分
条件③:
因为，所以为钝角.
所以.
由，得.
因为，
所以. .....13分
（共14分）
解：（Ⅰ）设 “从短视频平台浏览用户中随机选取人，此人为购买景区门票用户”为事件，则用频率估计概率，． .....3分
（Ⅱ）设 “从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件，
则用频率估计概率，．
由题意，的所有可能取值为，且
，，
，．
所以随机变量的分布列为
期望为． .....11分
（Ⅲ）官方网站平台的净利润为（元），
短视频平台的净利润为（元）．
所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度． .....14分
（共15分）
解：（Ⅰ）椭圆的离心率为，且经过点，
所以 解得.
则椭圆的方程为. .....5分
（Ⅱ）过点，斜率为的直线方程为.
由 得 .
.
设，则.
直线, 直线,
在直线方程中，令，得.
直线.
由得.
同理得.
所以，即点为线段中点.
所以点关于原点对称. .....15分
（共15分）
解：（Ⅰ）函数，所以.
依题意，，解得. .....5分
（Ⅱ）函数，
所以.
令，则，
记两根分别为，且，.
列表
极大值 极小值
所以，函数的单调增区间为，，
单调减区间为. .....11分
（Ⅲ） 函数.
令，得或.所以是函数的一个零点.
下面只要研究零点情况.
由（I）知，且，即.
又因为函数在上单调递减，所以，
即函数在上有且只有一个零点.
又因为，，且函数在上单调递增，
所以，存在唯一的，使.
同理，又因为，，且函数在上单调递增，
所以，存在唯一的，使.
所以函数存在三个零点，，.
综上函数存在三个零点，，. .....15分
（共15分）
解：（Ⅰ）满足条件的数列为：或．（答案不唯一） .....4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为数列具有性质，，且．
设，.
所以 .
所以由排列组合可知数列有项.
因为，.
所以数列中没有相等的项.
对于数列中的任意两项
设,,
则.
由得为的倍数.
即数列中任意两项的差为的倍数.
因为数列是将的所有可能取值从小到大排列构成的数列，
所以.
计算得数列中的最小项为,
数列中的最大项为.
.
所以数列中.
所以数列是以为首项，为公差的等差数列. .....11分
(ii)当时，由（i）可得，数列中的所有项的和.
所以，，，，，，，.
当时，若集合，对于，则不存在满足要求；
当时，对任意的，存在，且,使得能被整除，
因此对任意的，存在，满足能被整除.
综上，的最小值为. .....15分
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