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专题1 配方法的应用
导学案
一、学习目标：
1.二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式 ；
2.另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法.
二、学习重、难点：
重点： 二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式．
难点： 求最值、求待定系数的值．
三、学习过程：
（一）复习旧知，引入新课
【提问】配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式
；
（二）探究新知
题型1配方法在解方程中的应用
【例1】一元二次方程配方为，则的值为（ ）
A． B．13 C．18 D．19
一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式演练】
用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型2 配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用
【例】我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键
【变式】当a＝ 时，多项式a2+2a+2有最小值为 ．
当x＝ 时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ．
当-2≤x≤1时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ,函数有最大值为________。
当x＝ 时，函数y=-x2-2x+2有最小值为 ．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求二次函数的解析式？
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
四、课堂小结
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）中小学教育资源及组卷应用平台
专题1 配方法的应用
教学设计
一、教学目标：
1.二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式 ；
2.另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法.
二、教学重、难点：
重点： 二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式．
难点： 求最值、求待定系数的值．
三、教学过程：
（一）复习旧知，引入新课
【提问】配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式
；
（二）探究新知
题型1配方法在解方程中的应用
【例1】一元二次方程配方为，则的值为（ ）
A． B．13 C．18 D．19
【答案】B
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，得出答案，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
一元二次方程配方后可变形为，则k的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】
本题考查了运用配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键．先移项，再利用完全平方公式配方即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
；
【变式演练】
用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，将转化为的形式即可，灵活掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
题型2 配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用
【例】我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；1
(2)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解即可；
（2）先配方，再求最值．
【详解】（1）解：．
故答案为：；1．
（2）解：，
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
【点睛】本题主要考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值”是解本题的关键
【变式】当a＝ 时，多项式a2+2a+2有最小值为 ．
当x＝ 时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ．
当-2≤x≤1时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ,函数有最大值为________。
当x＝ 时，函数y=-x2-2x+2有最小值为 ．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求二次函数的解析式？
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
解：（1）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），将B，C两点的坐标代入得：
，
解得．
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当点P运动到时，四边形ABPC的面积最大值；理由如下：
如图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x′，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x′，﹣x+3），
∴S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC，
，
，
当时，四边形ABPC的面积最大，
此时，点P的坐标为时，四边形ABPC的面积最大值为；
四、课堂小结
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书中小学教育资源及组卷应用平台
专题1 配方法的应用
精准作业
课前诊断
1. 解一元二次方程：
（1）（x+1）（x+3）＝15
（2）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0．
必做题
1. 先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
2. 水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 千克、销售利润为 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
思考题
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
参考答案
课前诊断
1. 解：（1）∵（x+1）（x+3）＝15，
∴x2+4x﹣12＝0，
∴（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x+6＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣6，x2＝2；
（2）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+2）（y﹣3+1）＝0，
∴y﹣3+2＝0或y﹣3+1＝0，
解得：y1＝1，y2＝2．
必做题
1. 【答案】(1)
(2)多项式的最小值为
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
的最小值为；
2. 解：（1）销售量：100+20100+160＝260，
利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312，
则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；
故答案为：260，312；
（2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是10020＝100+200x（千克）；
故答案为：（100+200x）；
（3）设这种水果每千克降价x元，
根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300，
2x2﹣3x+1＝0，
解得：x＝0.5或x＝1，
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240；
当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240．
∵每天至少售出240千克，
∴x＝1．
6﹣1＝5，
答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元．
思考题
1.(共10张PPT)
人教版九年级上册
专题1：配方法的应用
学习目标
配方法的应用有两个大的方面:
1.二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,其依据是完全平方公式 ；
2.另外还广泛应用于求最值、求待定系数的值等,是一个重要的数学方法.
题型1 配方法在解方程中的应用
例1：一元二次方程 配方为 ，则 K 的值为（ ）
A.-13 B．13 C．18 D．19
配方法的应用有两个大的方面:二次三项式的配方和用配方法解一元二次方程,
其依据是完全平方公式
B
B
A
题型2 配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用
1
-2
解：∵
又∵
∴
∴
的最小值为
请应用上述思想方法，解决下列问题：
题型2 配方法在求二次三项式最大（小）值中的应用
1
-1
【变式】（1）当a＝ 时，多项式a2+2a+2有最小值为 ．
（2）当x＝ 时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ．
（3）当-2≤x≤1时，函数y=x2+2x+2有最小值为 ,函数有最大值为________。
（4）当x＝ 时，函数y=-x2-2x+2有最大值为 ．
-1
-1
1
3
-1
5
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求二次函数的解析式？
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
解：（1）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），将B，C两点的坐标代入得：
，
解得．
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（2）当点P运动到时，四边形ABPC的面积最大值；理由如下：
如图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x′，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
则， 解得
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x′，﹣x+3），
∴S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC，
，
，
当时，四边形ABPC的面积最大，
此时，点P的坐标为时，四边形ABPC的面积最大值为；
课堂小结
1. 通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2. 什么是铅锤法？
见精准作业单
作业布置
谢谢观看
