湖北省部分市州2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省部分市州 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两点 (2, )， (1,0)， ∈ ，直线 的倾斜角为120 ，则实数 等于( )
√ 3 √ 3
A. B. √ 3 C. D. √ 3
3 3
2.已知公差为正数的等差数列{ }，若 3 4 = 35， 2 + 5 = 12，则 6等于( )
A. 11 B. 9 C. 7 D. 11或1
3.已知向量 = ( 1,2,3)，向量 = (4, 1, 2)，向量 = ( , 3,1)，若 ， ， 三个向量共面，则实数 等于( )
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
4.某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局(采取三局两胜制)，假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获
胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0 9之间的随机数，当出现随机数0 6时，表示一局
甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数：
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166根据随机数估计甲获胜的概率为( )
A. 0.9 B. 0.95 C. 0.8 D. 0.85
5.已知圆 : 2 + 2 + 2 + 8 + 13 = 0与圆 : 2 + 21 2 4 5 = 0，则圆 1与圆 2的公切线的条数有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6.已知过点(0,1)的直线与双曲线 2 2 = 1的左、右两支均相交，则该直线斜率的取值范围为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) B. ( 1,1)
C. ( √ 2, 1) ∪ (1, √ 2) D. (1,√ 2)
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7.已知八面体 由正四棱锥 与正四棱锥 构成(如图)，若 = = 2， = √ 10，
点 ， 分别为 、 的中点，则 =( )
5 7
A. 0 B. 2 C. D.
2 2
2 2
8.已知点 是椭圆 + = 1上的一点，设 ， 是直线 = 上任意两个不同的点，若| | = 4时，则使得
24 8
△ 是等腰直角三角形的点 有( )
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 与事件 相互独立，且 ( ) = 0.3， ( ) = 0.4，则下列正确的是( )
A. ( ) = 0.7 B. ( ) = 0.12 C. ( ) = 0.88 D. ( ∪ ) = 0.7
10.如图，已知直三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 1，∠ = 90 ， 为 1 1的中点， 在线段
1上.则下列结论正确的是( )
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√ 5
A. 若 为中点时，则| | =
2
√ 30B. cos < 1， 1 >= 10
C. ⊥
√ 6
D. 若直线 与平面 1 所成的角为 ，则sin 的取值范围为[ , 1] 3
11.在平面直角坐标系内，定义任意两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)“新距离”为： ( , ) = | 1 2| + | 1 2|，
在此距离定义下，点 ( , )到直线 的“新距离”就是点 与直线 上所有点的“新距离”的最小值，记作符
号 ( , ).已知点 (1,0)， (2,4)，直线 0: 2 + + 2 = 0.( )
A. ( , ) = 5
B. 到点 “新距离”等于1的点 ( , )所围成的图形的面积为4
C. ( , 0) = 5
D. ( , ) ≤ ( , ) + ( , )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 1: + 1 = 0， 2: 2 + ( 1) + 3 = 0，( ∈ )，若 1// 2，则 1与 2之间的距离为 ．
13.已知圆 的直径为20， 是圆 内一个定点，且| | = 6， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线 和
半径 相交于点 ，若点 在圆上运动时，则点 的轨迹的离心率等于 ．
14.已知 ( ≥ 2)个圆两两相交，每两个圆都有两个交点且所有交点均不重合，设 个圆的交点总数为 ，
1 1 1 1
记 = + + + + ( ≥ 2, ∈
)，则 = . ( ≥ 2, ∈
)
2 3 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球和2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个
球．
(1)求“摸到两个球颜色不同”的概率;
(2)求“至少摸到一个红球”的概率．
16.(本小题15分)
如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形，且∠ = 60 ，侧面 为边长等于2的正三角形，平
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面 ⊥平面 ， 为 的中点．
(1)求四棱锥 的体积;
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆 圆心在 轴上，且过点 (2,1)， (0,1)两点．
(1)求圆 的方程;
(2)设点 ( 3, )( ∈ )，以线段 为直径的圆与圆 交于 ， 两点，求线段 长度的最小值．
18.(本小题17分)
已知直线 与抛物线 : 2 = 2 ( > 0)交于 ， 两点．
(1)若 = 4，直线 的斜率为1，且过抛物线 的焦点，求线段 的长;
5
(2)如图，若 = ， ⊥ ( 为坐标原点)，点 为线段 的中点，点 为直线 与 轴的交点，设线段
4

的中垂线与 轴、 轴分别交于 ， 两点.记△ 的面积为 1，△ 的面积为
1
2，求 的取值范围． 2
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19.(本小题17分)
已知数列{ 2 }的前 项和为 ，且 = + 2 ， ∈
，数列{ }是首项为1，且满足 +1 = 2 ， ∈ ．
(1)求数列{ }、{ }的通项公式;

(2)是否存在正整数 ， ，使得数列{ }第1项、第2项、第 项成等差数列 若存在，求满足条件的所有 、
+
的值;若不存在，请说明理由;

(3)类比教材等比数列前 项和公式推导方法，探求数列{ }的前 项和．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5√ 2
12.【答案】
4
3
13.【答案】
5
1
14.【答案】1 ，( ∈ , ≥ 2)．

15.【答案】解：(1)设事件 =“摸到两个球颜色不同”，
红色球标号1、2、3，绿色球标号4、5，
从袋中随机摸出2个球包含的基本事件有：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，
事件 包含基本事件有：{1,4}，{1,5}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，
6 3
∴ ( ) = = ．
10 5
(2)设事件 =“至少摸到一个红球”则 =“摸到两个绿球”，
∵事件 包含基本事件有：{4,5}
1 9
∴ ( ) = 1 ( ) = 1 = ．
10 10
16.【答案】解：(1)取 中点 连 ，
∵ = ， 为 的中点，∴ ⊥
又∵平面 ⊥平面 ， 平面
∴ ⊥平面 ，
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易求 = √ 3，又∵ ∠ = 60 ， = ，
∴ ⊥ ， = √ 3，
1 1
四棱维 = 四边形 = × 2 × √ 3 × √ 3 = 2． 3 3
(2)由(1)知，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
√ 3 √ 3
则 (1,0,0)， (2, √ 3, 0)， ( 1,0,0)， (0,0, √ 3)， (0,√ 3, 0)， (0, , )，
2 2
√ 3 √ 3 = ( 2, , )， = ( 1, √ 3, 0)． = ( 1,0, √ 3)， = = ( 1, √ 3, 0)， = (1,0, √ 3)
2 2
= 0 √ 3 = 0,
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)，则{ 即{
1 1
= 0, 1 + √ 3 1 = 0,
令 1 = √ 3，则 1 = 1， 1 = 1，即平面 的一个法向量 = (√ 3, 1,1)．
设平面 的法向量 = ( 2, 2, 2)，则
= 0 2 √ 3 = 0,{ 即{ 2
= 0, 2 + √ 3 2 = 0,
令 2 = √ 3，则 2 = 1， 2 = 1，
即平面 的一个法向量 = (√ 3, 1, 1)．
设平面 与平面 夹角为 ，
| · | |(√ 3, 1,1)(√ 3, 1, 1)| 3
则cos = = = ，
| || | √ 5×√ 5 5
3
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
5
17.【答案】解：(1)依题意，设圆 的方程为( )2 + 2 = 2，
将点 (2,1)， (0,1)代入圆方程得：
(2 )2 + 1 = 2 = 1
{ ，解得：{ ,
2
2
+ 1 = 2 = 2
即圆 的方程为：( 1)2 + 2 = 2；
(2) ∵ ( 3, )， (1,0)，
以 为直径的圆的方程为：( + 3)( 1) + ( ) = 0，
整理得： 2 + 2 + 2 3 = 0， ①
由(1)知圆 的方程为：( 1)2 + 2 = 2，即 2 + 2 2 1 = 0，
① ②得直线 的方程为：4 2 = 0，
|4 2| 2
点 到直线 的距离为 = ， ∈ ，
√ 16+ 2 √ 2+16
2 4
| | = 2√ 2 ( )
2 = 2√ 2
2
， ∈ ，
√ 2 +16 +16
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2 4 1 1 4 7 4∵ + 16 ≥ 16，0 <
2
≤ ， ≤ < 0， ≤ 2 < 2，
+16 4 4 2+16 4 2+16
7
∴当 = 0时，| | = 2√ = √ 7， 4
即线段 长度的最小值为√ 7．
18.【答案】解：(1)若 = 4，即 2 = 8 ，则抛物线 的焦点为(2,0)，
所以直线 的方程为： = 2，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)
2 = 8
联立{ ，整理得： 2 12 + 4 = 0，
= 2
= ( 12)2 4 × 1 × 4 = 128 > 0， 1 + 2 = 12， 1 2 = 4．
故| | = 1 + 2 + = 12 + 4 = 16，
所以线段 的长为16．
5
(2)由题意知 2 = ，
2
设直线 的方程为 = + ， ≠ 0， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
当 = 0， 不能构成三角形，不符合题意;
5
2 = 5 5
当 ≠ 0，联立{ 2 ，整理得： 2 = 0，
= + 2 2
5 5
根据韦达定理有， 1 + 2 = ， 2 1 2 = ， 2
因为 ⊥ ，所以 = 0，即 1 2 + 1 2 = 0，
5
代入得 = 且满足上述方程△> 0．
2
1+ 则 2
5 + 5 5
= ， 1 2 = 2 + ，
2 4 2 4 2
5 5 5
则点 的坐标为( 2 + , )，
4 2 4
5 5 5
因为 ⊥ ，所以直线 的方程为： = ( 2 )
4 4 2
5 15 5 15
令 = 0， = 3 + ， = 0， = 2 + ，
4 4 4 4
由 △ ∽ △ ，
2 5 2 15 2 5 15 2
| | ( + ) +(
3+ )
得 1 = = 4 4 4 4
2| | 5 2 5
2 ( + )
4 4
2 2
( 2 + 3) + ( 3 + 3 )
=
2
( 2 + 1)
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= 2
4
+ 1 + 4 + 2 ≥ 4 + 2√ 4 = 8， +1
4
当且仅当 2 + 1 =
2+1
，
即当 = ±1时，等号成立．

∴ 1的取值范围是[8,+∞).
2
19.【答案】解：(1) ∵ =
2 + 2 ，令 = 1， = 121 + 2 = 3 = 1，
当 ≥ 2时， = 1 =
2 + 2 ( 1)2 2 + 2 = 2 + 1．
显然 1 = 3满足上式，∴ = 2 + 1， ∈
，
又∵ 1 = 1，且满足 +1 = 2 ， ∈ ．
∴ { }是首项为1.公比为2的等比数列．
= 2 1 ， ∈
．
(2)假设存在 ， ∈

，使得 1 ， 2 ， 成等差数列，
1+ 2+ +

则 1

+

= 2 2
3 2 +1 5
，即 + = 2 ，
1+ + 2+ 3+ 2 +1+ 5+
4 4
化简 = 3 + ，又∵ ， ∈ ，∴ ∈ ，∴ + 1 = 4， 2， 1，1，2，4，
+1 +1
当 + 1 = 4， 2， 1时，不符舍去;
当 + 1 = 2， = 1， = 5;
当 + 1 = 4， = 3， = 4．
= 1, = 3,
∴存在满足要求的 ， ，{ 或{
= 5 = 4.
2+2 (2 +1) 2 1
(3) ∵ =
2 1
=
2 1
，

1
1 1 1 1 1 1
令 ′ = + +
2
20 21 22
+ + 1 =2 1
= 2
2 1
，
1
2
12 22 32 2
令 = 0 + 1 + 2 + + ， ① 2 2 2 2 1
1 12 22 32 2
= + + + + ， ②
2 21 2

2 23 2
1 12 3 5 7 2 1 2
① ②得： = 0 + 1 + 2 + 3 + + ， ③ 2 2 2 2 2 2 1 2
3 5 7 2 1 2
= 2 + 0 +2 21
+ + + ， ④
22 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 1 2 2
④ ③得： = 2 + 0 + + + + +2 2 21 22 2 2 2 1 2 1 2
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1 2 1 2 2+4 +6
= 2 + 2(
2 1
′)
2 1
= 6 ，
2 2
2+4 +6
即得： = 12 1 ， 2
12 1 22 1 32 1 2 1 2+4 +5
∴ 0 + 1 + 2 + +

2 2 2 2 1
= ′ = 10 1 ， ∈ ． 2
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