湖南省长沙市雨花区2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省长沙市雨花区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5}， = { | 1 < < 3}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3} B. { |1 < < 3} C. {1,2} D. { |1 ≤ ≤ 2}

2.函数 = sin( + )的最小正周期是( )
2 6

A. B. C. 2 D. 4
2
3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
1
A. = + 1 B. = 3 C. = D. = | |

1
4.已知不等式 2 + + > 0解集为{ | < < 2}，下列结论正确的是( )
2
A. + + > 0 B. > 0 C. < 0 D. < 0
5.函数 = log ( + 1)( > 0，且 ≠ 1)与函数 =
2 2 + 1在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.“ > 3”是“函数 ( ) = ( 1) 在 上为增函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在△ 中，已知 cos = cos ，△ 的形状是
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数 ( ) = 2 + 2 2 1，下列四个结论正确的是( )
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3
A. 函数 ( )在区间[ , ]上是增函数
8 8
3
B. 点( , 0)是函数 ( )图象的一个对称中心
8

C. 函数 ( )的图象可以由函数 = √ 2 2 的图象向左平移 得到
4

D. 若 ∈ [0, ]，则 ( )的值域为[0, √ 2]
2
9.给定数集 ，若对于任意 ， ∈ ，有 + ∈ ，且 ∈ ，则称集合 为闭集合，则下列说法中不
正确的是( )
A. 集合 = { 4, 2,0,2,4}为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合 = { | = 3 , ∈ }为闭集合
D. 若集合 1, 2为闭集合，则 1 ∪ 2为闭集合
10.下列不等式中正确的是
A. 1.20.3 < 1.30.3 B. 0.20.3 > 0.20.2
C. log0.31.2 > log0.31.3 D. log1.20.3 > log0.20.3

11.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
2
5
A. 点( , 0)是 ( )的对称中心
12
7
B. 直线 = 是 ( )的对称轴
6
2
C. ( )在区间[ , ]上单调递减
2 3
7
D. ( )的图象向右平移 个单位得到 = 2 的图象
12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}，若 ∪ = ，则 的范围是 ．
3
13.已知 为钝角，且cos( + ) = ，则 = ______．
2 5
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+ 3( > 10)
14.设 ( ) = { ，则 (5)的值是______．
( ( + 5))( ≤ 10)
四、解答题：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知 ， 是方程3 2 + 5 7 = 0的两根，求下列各式值：
(1)tan( + )；
sin( + )
(2) ．
cos( )
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = + log ( > 0且 ≠ 1)的图象经过点(8,2)和(1, 1)．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若[ ( )]2 = 3 ( )，求实数 的值．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ( + 6) 2 + 2( 1) + + 1恒有零点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为 4，求实数 的值．
18.(本小题15分)
设函数 ( ) = + √ 3 ( ∈ )．
(Ⅰ)若 ∈ [0, ]，求函数 = ( )的值域；
(Ⅱ)若函数 = [ ( )]2在区间( , )( > 0)上单调递增，求实数 的取值范围．
19.(本小题20分)
( )+ ( )
已知 ( )是定义在[ 2,2]上的奇函数，且 (2) = 3.若对任意的 ， ∈ [ 2,2]， + ≠ 0，都有 > 0．
+
(1)若 (2 1) + ( ) < 0，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 ( ) ≤ (5 2 ) + 1对任意 ∈ [ 2,2]和 ∈ [ 1,2]都恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 3]
4
13.【答案】
5
14.【答案】24
15.【答案】解：(1) ∵ ， 是方程3 2 + 5 7 = 0的两根，
5 7
∴ + = ， = ，
3 3
+ 1
∴ tan( + ) = = ；
1 tan tan 2
sin( + ) + + 5
(2) = = = ．
cos( ) cos cos +sin sin 1+tan tan 4
16.【答案】(1)由已知得， + log 8 = 2， + log 1 = 1，( > 0且 ≠ 1)，
解得 = 2， = 1，
故 ( ) = log2 1( > 0)；
(2)[ ( )]2 = 3 ( )，即 ( ) = 0或3，
∴ log2 1 = 0或3，
∴ = 2或16．
17.【答案】解：(1)当 + 6 = 0时， = 6，函数为 = 14 5显然有零点，
5
当 + 6 ≠ 0时， ≠ 6，由 = 4( 1)2 4( + 6)( + 1) = 36 20 ≥ 0，得 ≤ ，
9
5
∴当 ≤ 且 ≠ 6时，二次函数有零点，
9
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5 5
综上可得， ≤ ，即 的范围为( ∞, ].
9 9
2( 1) +1
(2)设 1， 2是函数的两个零点，则有 1 + 2 = ， = ， +6 1 2 +6
1 1 +
∵ + = 4，即 1 2 = 4，
1 2 1 2
2( 1)
∴ = 4，解得 = 3，
+1
当 = 3时， + 6 ≠ 0， > 0，符合题意，
∴ 的值为 3．
1 √ 3
18.【答案】解：(Ⅰ) ( ) = + √ 3 = 2( + ) = 2 ( + )，
2 2 3
4
∵ ∈ [0, ]，∴ + ∈ [ , ]，
3 3 3
4 4 √ 3
即当 + = 时， ( )取得最小值为 ( ) = 2 = 2 × ( ) = √ 3，
3 3 3 2

当 + = 时， ( )取得最大值为 ( ) = 2 = 2，
3 2 2
即函数 ( )的值域为[ √ 3, 2]．
2
1 cos(2 + )
(Ⅱ) = [ ( )]2 = 4 2
3 2 ( + ) = 4 × = 2 2 (2 + )，
3 2 3
2
由2 ≤ 2 + ≤ 2 + ， ∈ ，
3
2
得2 ≤ 2 ≤ 2 + ， ∈ ，
3 3

即 ≤ ≤ + ， ∈ ，
3 6

即函数 = [ ( )]2的单调递增区间为[ , + ]， ∈ ，
3 6

当 = 0时，递增区间为[ , ]，
3 6
∵函数 = [ ( )]2在区间( , )( > 0)上单调递增，

≤ ≤
∴ { 6 ，得{ 6 ，得0 < ≤ ，
≥ ≤ 6
3 3

即实数 的取值范围是0 < ≤ ．
6
19.【答案】解：(1)设任意的 1， 2满足 2 ≤ 1 < 2 ≤ 2，
( 1)+ ( )由题意可得 ( 1) ( 2) = ( 1) + (
2
2) = ( ) < 0，即 ( ) < ( )， 1+( ) 1 2 1 22
所以 ( )在[ 2,2]上递增，
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1
则 (2 1) < ( )可化为 2 ≤ 2 1 < ≤ 2，解得 ≤ < 1，
2
1
即 的取值范围是[ , 1)；
2
(2)由(1)可得 ( ) ≤ (5 2 ) + 1对任意 ∈ [ 2,2]和 ∈ [ 1,2]都恒成立，
即为 ( ) ≤ (5 2 ) + 1对任意的 ∈ [ 1,2]恒成立，
所以3 ≤ (5 2 ) + 1恒成立，即2 5 + 2 ≤ 0对任意的 ∈ [ 1,2]恒成立．
令 ( ) = 2 5 + 2， ∈ [ 1,2]，
( 1) = 7 + 2 ≤ 0
只需{ ，
(2) = + 2 ≤ 0
解得 ≥ 2，
所以 的取值范围是[2, +∞)．
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