天津市第一中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

天津市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5,6}， = {2,3}， = {2,4,6}，则( ) ∩ =( )
A. {2,4,6} B. {1,3,4,5,6} C. {4,6} D. {2}
2.“ + = ”是“ = ”成立的( )条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A. ( ) = 3 B. ( ) = 1
1
C. ( ) = + 3 D. ( ) = 2 3

4.关于 的不等式2 2 + (1 2 ) < 0的解集中整数有且只有3个，则正数 的取值范围为( )
A. (2,3] B. [2,3) C. (2,3) D. [2,3]
5.下列结论中正确的是( )
+ 1 1
A. 若 > > 0， > 0，则 > B. 若 > > 0，则 >
+
C. 若 > > 0，则 > D. 若 > > 0，则 >
1 1
6.已知 = 23， = 1 ， = 4，则( )
5
4
A. > > B. > > C. > > D. > >

7.函数 ( ) = 的图象的大致形状是( ) +
A. B.
C. D.
2
8.已知函数 ( ) = 2 ( + )( ∈ )有一条对称轴为 = ，当 分别取最小正数 1和最大负数 时，6 3 2
得到函数为 1( )与 2( )，则两个函数最小正周期的差为( )
3
A. B. C. D. 2
2 2
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∣ 1 2 ∣1 2 ∣ ∣
9.定义行列式运算∣∣∣ ∣
∣
∣ = 1 4 2 3，函数 ( ) = ∣
2
∣，若对于任意的 ∈ ，都有 ( ) ≥3 4 ∣∣ 1 sin( )
∣
2 3 ∣
( 1)，则满足条件的| 1|的最小值为( )
1 5 7 11
A. B. C. D.
3 3 3 3
3 + + 1, > 0
10.若函数 ( ) = { 2 恰有3个零点，则 的取值范围为( ) ln( + 4 ), ≤ 0
A. ( 5, 1) B. ( 5, ) C. ( 5, 1] D. ( 5, ]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.计算( 43 + 3) × ( 2 +
2
8 3 92) = ______．
1 2
12.已知cos( ) = ，则sin( ) = ______．
6 3 3
1 2
13.已知幂函数 ( ) = ( 2 3) + 22 在(0, +∞)上单调递减，则 的值为______．
14.已知扇形的圆心角为2 ，扇形的周长为8 ，则扇形的面积为 2．
2 1
15.设函数 ( ) = ，若[ ]表示不超过 的最大整数，则函数 = [ ( )]的值域是______．
+2
16.已知 1 > 0， 2 > 0， ( ) = 2 1 2 ， ( ) = 2 2 ，函数 = ( )和 = ( )的图像如图
5 4
所示，其中 是这两个函数共同的零点， 是其中一个函数的零点，则 12 = ______． 4 3
三、解答题：本题共 4 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
定义 { , }为 ， 的最大值，函数 ( ) = {2 , 4 }的最小值为 ．
(1)求 的值；
(2)若方程 ( ) = 有两个实根 1， 2( 1 < 2)；
( )试判断 1 + 2的正负(无需说明理由)；
1 1
( )求 + 的值．
2 1 2
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18.(本小题8分)

若3 = √ 10, + = ．
2
(1)求 的值；

sin( )+sin( )
(2)求 2 的值．
sin( )+cos( )
19.(本小题14分)

函数 ( ) = ( + )( > 0, < < )的部分图象如图所示，
2 2
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)将该函数的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函
6
数 = ( )的图象，
4
( )求函数 ( )在区间[ , ]的值域；
6 3
( )求满足不等式 ( ) ≥ √ 2的解集．
20.(本小题16分)
已知 ( ) = + ( ∈ )
1
(1)若函数 ( ) = 2(log2 ) 1，求函数 ( )在[ , 8]上的最值； 4
( ) 2, > 0
(2)若函数 ( ) = { 1 有三个零点，求实数 的取值范围；
, ≤ ≤ 0
5 11 1
(3) ∈ , ∈ [ , ]，不等式 ( | | + sin2 ) + (4 5 2) ≥ (0)成立，求实数 的最小值．
2 3 3 2 3 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
3
11.【答案】
4
1
12.【答案】
3
13.【答案】 2
14.【答案】4
15.【答案】{ 3, 2, 1,0}
8
16.【答案】
125
17.【答案】解：(1)易知函数 = 4 是减函数， = 2 是增函数，并且20 = 40 = 1，
当 > 0时，2 > 4 ，当 < 0时，4 > 2 ，
4 , < 0
因此函数 ( ) = { ，且知函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，在( ∞, 0)上单调递减， 2 , ≥ 0
因此函数 = ( ) = (0) = 1．
(2)( )根据第一问可知，当 > 1时，函数 ( ) = 有两个实根 1， 2( 1 < 2)， 1 < 0 < 2，
4
1
1 = 2 2，所以2 2 1 = 2 2，因此 2 1 = 2，所以 1 = 2 2，
1 1
因此 1 + 2 = 2 + 2 = 2 > 0； 2 2
1 1 1 1
( ) + = + = 0．
2 1 2 2 2

18.【答案】解：(1)因为 + = ，所以 = sin( ) = ，
2 2
所以3 = √ 10，即9 2 6 + cos2 = 10，
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因为sin2 + cos2 = 1，所以9 2 6 + 1 sin2 = 10，
2 即8 6 9 = 0，又因为 = ，所以 = ，
cos tan
sin2
所以8 2 6 9 = 0，
tan
1 1
因为sin2 + cos2 = 1，所以tan2 + 1 = 2 ，即tan
2 + 1 = ，
cos 1 sin2
tan2
即sin2 = ，
1+tan2
tan2
代入上式可得8 × 6 × 9 = 0，
1+tan2 1+tan2
化简可得：tan2 + 6 + 9 = 0，即( + 3)2 = 0，解得 = 3．

sin( )+sin( )
2 + 1+ 1 3 1(2) = = = = ．
sin( )+cos( ) sin +cos tan +1 3+1 2

19.【答案】解：(1)由函数 ( ) = ( + )( > 0, < < )的部分图象可得 = 2，
2 2
5 3 3 2
可得 ( ) = = ，可得 = = ，
12 3 4 4
所以 = 2，
5
由2 (2 × + ) = 2，且 < < ，得 = ，
12 2 2 3

所以 ( ) = 2 (2 )；
3

(2)( )将函数 ( )的图象向左平移 个单位长度，可得 = 2 [2( + ) ] = 2 (2 )，
6 6 3
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得 ( ) = 2 ，
4 √ 3
当 ∈ [ , ]时，可得 ∈ [ , 1]，
6 3 2
4
可得2 ∈ [ √ 3, 2]，即 ( )在区间[ , ]的值域为[ √ 3, 2]；
6 3
√ 2
( )由题意 ( ) ≥ √ 2，可得 ≥ ，
2
3
可得2 + ≤ ≤ 2 + ， ∈ ，
4 4
3
故 ( ) ≥ √ 2的解集为：[2 + , 2 + ]， ∈ ．
4 4
20.【答案】解：(1)因为 ( ) =
+ ( ∈ )，
1 5
所以 ( ) = 2( 2 ) 1 = ( 2 )
2 + 2 1 = (
2
2 + ) ， 2 4
1
因为 ∈ [ , 8]，所以log
4 2
∈ [ 2,3]，
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1 √ 2 5
当 2 = ，即 = 时，函数 ( )取得最小值 ， 2 2 4
当log2 = 3，即 = 8时，函数 ( )取得最大值11，
1 5
所以函数 ( )在[ , 8]上的最小值为 ，最大值为11；
4 4
1
+ 2, > 0
(2)由题意得： ( ) = { ，作出其大致图象，如图所示：
, ≤ < 0
因为函数 ( )有三个零点，
所以 3 < ≤ 2 ，
故实数 的取值范围是( 3 , 2 ]；
(3)易知 3( ) =
3 + 是奇函数，也是 上的增函数，
5 11
因为 ∈ , ∈ [ , ]，
2 3
1
不等式 3( | | + sin
2 ) + 3(4 5
2) ≥ 3(0)成立， 2
1
所以 ∈ ，不等式 23( | | + sin ) ≥ 3(
2 4 + 5)成立，
2
1
所以 ∈ ，不等式 | | + sin2 ≥ 2 4 + 5成立，
2
1 1 1 17
令 ( ) = | | + sin2 = cos2 + | | + 1 = (| | )2 + ，
2 2 4 16
又| | ∈ [0,1]，
1
则当| | = 1时，函数 ( )取得最小值 ，
2
5 11 1
所以 ∈ [ , ]， 2 4 + 5 ≤ 成立，
2 3 2
5 11 9
即 ∈ [ , ]，4 ≥ + 2， 2 3
9
令 ( ) = + 2，

5 11
由对勾函数的性质得，函数 ( )在[ , ]上单调递增，
2 3
5 43
所以当 = 时，函数 ( )取得最小值 ，
2 10
43
所以4 ≥ ，
10
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43
即 ≥ ，
40
43
所以实数 的最小值是 ．
40
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