重庆市秀山高级中学2024-2025学年高二上学期适应性数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市秀山高级中学 2024-2025 学年高二上学期适应性数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 9， 4 = 40，则数列{ }的公差 =( )
3
A. 3 B. 2 C. D. 4
2
2.已知圆 1：( 1)
2 + ( + 2)2 = 9，圆 2：
2 + 2 + 4 + 2 11 = 0，则这两个圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含
2 2 2 2
3.已知椭圆 + = 1的左焦点是双曲线 2 = 1的左顶点，则双曲线的渐近线为( ) 25 9 9
4 3 4 3
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
5 5 3 4
4.在正方体 1 1 1 1中，点 是棱 1的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为( )
√ 10 3√ 10 √ 15 √ 10
A. B. C. D.
5 10 5 10
5.已知 ∈ ，直线 1： + 12 = 0的方向向量与直线 2：( + 3) + 4 + 16 = 0的方向向量共线，则
这两条直线之间的距离为( )
A. 4 B. 8√ 2 C. 4√ 2 D. 2√ 2
6.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示)，发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的
卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处(如图②所示).已知接收天线的
口径(直径)为2.4，深度为0.4，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A. 0.9 B. 1.8 C. 1.2 D. 1.05
2 2
7.直线 ： 2 + √ 3 = 0经过椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点 ，且与椭圆交于 ， 两点，若 为线
段 中点，| | = | |，则椭圆的离心率为( )
√ 2 1 √ 3 √ 3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
1
8.已知数列{ }满足 + +1 = 2 × ( 1) , ∈ ，且 2 = 5，记数列{ }的前 项和为 ，则 49 =( ) +1
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1 1 2
A. B. C. D. 2
13 15 15
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }是首项为1，公比为3的等比数列，则( )

A. { +1}是等差数列 B. { }是等差数列
+1
C. {log3 }是等比数列 D. { +1}是等比数列
10.下列说法正确的是( )
A. 若向量 , , 共面，则它们所在的直线共面
1
B. 若 是四面体 的底面△ 的重心，则 = ( + + )
3
2 3 3
C. 若 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
5 5 5
D. 若向量 = + + ，则称( , , )为 在基底{ , , }下的坐标，已知 在单位正交基底{ , , }下
1 3
的坐标为(1,2,3)，则 在基底{ , + , }下的坐标为( , , 3)
2 2
2 2
11.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)，过左焦点 1作一条渐近线的垂线，垂足为 ，过右焦点 作一 2
条直线交双曲线的右支于 ， 两点，△ 1 的内切圆与 1 相切于点 ，则下列选项正确的是( )
2

A. 线段 的最小值为

B. △ 1 的内切圆与直线 相切于点 2
C. 当| 1| = | 1|时，双曲线的离心率为√ 5
D. 当点 1关于点 的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为√ 3 ± = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在空间直角坐标系 中，已知向量 = (1,0,3)，则 在 轴上的投影向量为______．
13.在等比数列{ }中， 1 + 2 = 3， 5 + 6 = 6，则 9 + 10 = ______．
14.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过点 (2,0)的直线交抛物线 于 ， 两点，若| | = 2| |，
| | = 5，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三点 (0,0)， ( 1, 1)， (2,0)，记△ 的外接圆为⊙ ．
(1)求⊙ 的方程；
(2)若直线 ： 1 = 0与⊙ 交于 ， 两点，求△ 的面积．
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16.(本小题12分)
2 2 1
已知 圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)经过点 ( 2,0)，离心率为 ． 2
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)直线 与椭圆 交于点 (异于顶点)与 轴交于点 ，点 为椭圆的右焦点， 为坐标原点， ⊥ ，求
直线 的方程．
17.(本小题12分)
已知数列{ }的首项 1 = 1，设 为数列{ }的前 项和，且有2 = ( + 1) ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 = 2
，求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题12分)
在四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 1，点 为棱 中
点．
(Ⅰ)证明： //平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)若 为棱 上一点，满足 ⊥ ，求二面角 的余弦值．
19.(本小题12分)
2 2
如图，已知椭圆 1： + = 1的两个焦点为 1， 2，且 1， 2为双曲线 8 4 2的顶点，双曲线 2的离心率 = √ 2，
设 为该双曲线 2上异于顶点的任意一点，直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，且直线 1和 2与椭圆 1的
交点分别为 ， 和 ， ．
(1)求双曲线 2的标准方程；
(2)证明：直线 1， 2的斜率之积 1 2为定值；
| |
(3)求 的取值范围．
| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1,0,0)
13.【答案】12
14.【答案】2
15.【答案】解：(1)设⊙ 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
= 0 = 2
由题意可得{4 + 2 + = 0 ，解得{ = 4 ，
1 + 1 + = 0 = 0
所以⊙ 的方程为 2 + 2 2 + 4 = 0；
(2)由(1)可得圆心 (1, 2)，半径 = √ 5，
|1+2 1|
所以圆心 到直线 ： 1 = 0的距离为 = = √ 2，
√ 2
且| | = 2√ 2 2 = 2√ 5 2 = 2√ 3，
1 1
因此△ 的面积为 = | | = × 2√ 3 × √ 2 = √ 6．
2 2
1
16.【答案】解：(1)由题意可得 = = , = 2，
2
所以 = 2, = 1, = √ 2 2 = √ 3，
2 2
所以椭圆方程为 + = 1；
4 3
(2)由题意可得直线 的斜率存在，如图，
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故设直线 的方程为 = ( + 2)， (0,2 )， ( , )，
2 2
+ = 1
联立{ 4 3 (3 + 4 2) 2 + 16 2 + 16 2 12 = 0，
= ( + 2)
所以 = (16 2)2 4(3 + 4 2)(16 2 12) > 0，
2
16 12
由根与系数的关系可得 2 = ， 2
3+4
2
8 +6 12
所以 = ， 2 = ( + 2) = 2，
3+4 3+4
2
8 +6 12
故 ( 2 , 2), (1,0)，
3+4 3+4
2
8 +6 12 所以 = (1, 2 ), = ( , )， 2 2
3+4 3+4
2 2 2
8 +6 12 8 +6 24 所以 = ( 2 , 2) (1, 2 ) = 2 + 2 = 0，
3+4 3+4 3+4 3+4
3
所以 2 = ，解得
√ 3
= ± ，
16 4
故直线 的方程为 √ 3 = ± ( + 2)．
4
17.【答案】解：(1)2 = ( + 1) ，可得2 +1 = ( + 2) +1，
上面两式相减可得2 +1 = ( + 2) +1 ( + 1) ，
化为 +1 = ( + 1) ，
+1
即 +1 = ，

2 3 2 3 则 = 1 . . . = 1 × × ×. . . = ， 1 2 1 1 2 1
对 = 1也成立，故 = ， ∈ ；
(2) = 2 = 2 ，
数列{ }的前 项和 2 3 = 1 2 + 2 2 + 3 2 +. . . + 2 ，
2 = 1 22 + 2 23 + 3 24 +. . . + 2
+1，
上面两式相减可得 = 2 + 2
2 + 23+. . . +2 2 +1
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2(1 2 )
= 2 +1，
1 2
化简可得 = 2 + ( 1) 2 +1 ．
18.【答案】(Ⅰ)证明：取 中点 ，连接 ， ，
由于 ， 分别为 ， 的中点，
1
故 E // ，且 = ，
2
1
又因为 // ， = ，
2
所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，
所以 // ，且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 … (4分)
(Ⅱ)解：依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得 (1,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)．
由 为棱 的中点，得 (1,1,1)．
向量 = ( 1,2,0)， = (1,0, 2).设 = ( , , )为平面 的法向量，

则{
= 0 + 2 = 0即{
= 0 2 = 0
可得 = (2,1,1)为平面 的一个法向量，
且 = (0,1,1)
√ 3
于是有cos = = ，
| | | | 3
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
3
(Ⅲ)解：向量 = (1,2,0)， = ( 2, 2,2)， = (2,2,0)， = (1,0,0)．
1
由点 在棱 上，设 = ，0 ≤ ≤ 1. (若 = ，则 = )
4
故 = + = + = (1 2 , 2 2 , 2 )．
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由 ⊥ ，得 = 0，
3 1
因此2(1 2 ) + 2(2 2 ) = 0，解得 = ，(若 = ，则 = )
4 4
1 1 3
即 = ( , , ).设 1 = ( , , )为平面 的法向量， 2 2 2
= 0 = 0
则{ 1 ，即{ 1 1 3 ，
= 0 + + = 01 2 2 2
可得 1 = (0, 3,1)为平面的 一个法向量．
取平面 的法向量 2 = (0,1,0)，
3√ 10
则cos 1
1 2
2 = = ， | 1| | 2| 10
二面角
3√ 10
是锐角，所以其余弦值为 ．
10
2 2
19.【答案】解：(1)由椭圆 1： + = 1的方程可得两个焦点 1， 2的坐标分别为( 2,0)，(2,0)， 8 4
题意可得双曲线的顶点坐标为(±2,0)，
2 2
设双曲线的方程为： 2 2 = 1，则 = 2，

又离心率 = = √ 2，∴ = 2√ 2，∴ = 2，

2 2
所以双曲线 2的标准方程为： = 1； 4 4
(2)证明：设 ( 0, )，则
2
0 0
2
0 = 4，
0
2 2
由题意 1 2 =
0 = 0 02 = 2 = 1， 0+2 0 2 0 4 0
即证得直线 1， 2的斜率之积 1 2为定值1；
(3)由(2)可得积 1 2为定值1，可得直线 1， 2的斜率存在且不为0，
设直线 1方程为 = 2，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 2
联立{ 2 2
2
，整理可得：(2 + ) 4 4 = 0，
+ 2 2 = 8
4 4
因为 1在椭圆内部，所以 > 0， 1 + 2 = ， = ， 2+ 2 1 2 2+ 2
16 2 4 4√ 2(1+ 2)
所以| | = √ 1 + 2 √ ( + )21 2 4 1 2 = √ 1 + 2 √ 2 4 2 = ， (2+ 2) 2+ 2+ 2
1
4√ 2(1+ 2) 4√ 2(1+ 2)
因为两条直线的斜率之积为1，则斜率的倒数之积也为1，同理可得| | = 1 = ，
2+ 1+2
2
2
4√ 2(1+ 2)
| | 2+ 2 1+2
2 2(2+ 2) 3 3
所以求 = = = = 2 ，
| | 4√ 2(1+ 2) 2+ 2 2+ 2 2+ 2
1+2 2
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因为 是不为0的实数，所以2 + 2 > 2，
因为渐近线方程的斜率为±1，直线与双曲线有两个交点，则直线 1， 2的斜率不等于±1，则 ≠ ±1，
3 3
所以0 < < ， ≠ ±1，
2+ 2 2
| | 1
可得 的取值范围为( , 1) ∪ (1,2)，
| | 2
| | 1
所以 的取值范围为：( , 1) ∪ (1,2)．
| | 2
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