导数的概念及其应用》专题训练-新人教
文档属性
| 名称 | 导数的概念及其应用》专题训练-新人教 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 299.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-11-21 15:28:00 | ||
图片预览
文档简介
《导数的概念及其应用》专题训练
考纲要求
导数的概念及其运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值。
思路点拨
求函数极值的步骤：
求导数；（2）求方程=0的根；（3）检查=0的根的左右区间对应的的符号：若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这个根处取得极小值。（注：实质为‘解方程’，解关于的方程=0）
设函数在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤：
求在内的极值；（2）将各极值与，比较，确定的最大和最小值。
3．求函数的单调区间：不等式的解集为的增区间；不等式的解集为的减区间。（注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’）
三．解题训练
（一）．选择题
（1）曲线在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A． B。 C。 D。
(2) 函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝ ( )
A． B． C． D．1
(3) 函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
(4) 函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(5) 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
（6）函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
（7）函数 （的最大值是（ ）
A． B． -1 C．0 D．1
（8）函数=（－1）（－2）…（－100）在＝0处的导数值为（ ）
A、0 B、1002 C、200 D、100！
（9）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（二）．填空题
（1）．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x3＋3x－5相切的直线方程是 。
（2）．设f ( x ) = x3－x2－2x＋5，当时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取值范围为 .
（3）．函数y = f ( x ) = x3＋ax2＋bx＋a2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
（4）．已知函数在处有极值，那么 ；
（5）．已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是
（6）．已知函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是
（7）．若函数 是R是的单调函数，则实数的取值范围是
（8）．设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是 。
（三）．解答题
1．已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
2．已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.
3．已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
4．已知函数
（1）当时，求函数极小值；（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。
5．已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式； （II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
6．已知两个函数，.
（Ⅰ）若对任意[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对任意[－3，3]，[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围
7．设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
8．设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
9．已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
10．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
11．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.
（1）写出y与x的函数关系式;
（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
12．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2 AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）。
13．设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为．
（1）求证：；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）问是否存在实数（是与无关的常数），当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数在区间[0，1]单调递增，在区间单调递减．
（1）求a的值；
（2）若点在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线的对称点B也在函数f(x)的图象上；
（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由．
15．已知上是减函数，且。
（1）求的值，并求出和的取值范围。 （2）求证。
（3）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。
16．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
参考解答
一．BBDDD CDDA
二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、 5、 6、
7、 8、
三．1．解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
2．（Ⅰ）解：，依题意，，即
解得.
∴.
令，得.
若，则，
故在上是增函数，在上是增函数.
若，则，故在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
3．解：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
4．解：（1）极小值为
（2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为，
的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点。
5．解(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得
又
所以
即的取值范围为
6．略
7．解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
8．解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为
9．解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，
10．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
11．解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元
月平均销售量为件则月平均利润（元）
y与x的函数关系式为
令
当
即函数在上单调递减，
所以函数在取得最大值.
所以改进工艺后，产品的销售价提高的百分率为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
12．解：以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为
故曲线段OC的方程为 3分
设P（）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+，|PN|=4－2. 5分
∴工业园区面积S=|PQ|·|PN|=（2+）（4－2）=8－3－22+4. 6分
∴S′=－32－4+4，令S′=0
又7分
当时，S′>0，S是的增函数；8分
当）时，S′<0，S是的减函数. 9分
时，S取到极大值，此时|PM|=2+=
10分
当 11分
答：把工业园区规划成长为宽为时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5km2.
13．解：（1） 由题设，得 ①
②
∵
由①代入②得，
得∴或 ③
将代入中，得 ④
由③、④得；
（2）由（1）知，的判别式：
∴方程有两个不等的实根，又
∴，∴当或时，，
当时，，∴函数的单调增区间是
∴，由知
∵函数在区间上单调递增，∴
∴，即的取值范围是；
（3）由，即，
∵，∴
∴或．由题意，得
∴，∴存在实数满足条件，即的最小值为．
说明：三次函数是导数应用的热点问题，《考试大纲》对导数和函数都有较高的要求，又有“在知识交汇点设计试题”作后盾，跟其它数学知识综合的试题应运而生，解答这类问题的关键在于灵活地运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想方法来分析
14．解：（1）由函数在区间[0，1）单调递增，在区间[1，2）单调递减，
，．
（2）点，
∴点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图象上．
（3）函数的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程
个不等实根．
．
是其中一个根，有两个非零不等实根．
15．（1）
（2）
（3）
·
16．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
极大
极小
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是
考纲要求
导数的概念及其运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值。
思路点拨
求函数极值的步骤：
求导数；（2）求方程=0的根；（3）检查=0的根的左右区间对应的的符号：若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这个根处取得极小值。（注：实质为‘解方程’，解关于的方程=0）
设函数在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤：
求在内的极值；（2）将各极值与，比较，确定的最大和最小值。
3．求函数的单调区间：不等式的解集为的增区间；不等式的解集为的减区间。（注：求函数的单调区间实质上是‘解不等式’）
三．解题训练
（一）．选择题
（1）曲线在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A． B。 C。 D。
(2) 函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝ ( )
A． B． C． D．1
(3) 函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
(4) 函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(5) 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
（6）函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
（7）函数 （的最大值是（ ）
A． B． -1 C．0 D．1
（8）函数=（－1）（－2）…（－100）在＝0处的导数值为（ ）
A、0 B、1002 C、200 D、100！
（9）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（二）．填空题
（1）．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x3＋3x－5相切的直线方程是 。
（2）．设f ( x ) = x3－x2－2x＋5，当时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取值范围为 .
（3）．函数y = f ( x ) = x3＋ax2＋bx＋a2，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。
（4）．已知函数在处有极值，那么 ；
（5）．已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是
（6）．已知函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是
（7）．若函数 是R是的单调函数，则实数的取值范围是
（8）．设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是 。
（三）．解答题
1．已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
2．已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.
3．已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
4．已知函数
（1）当时，求函数极小值；（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。
5．已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式； （II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.
6．已知两个函数，.
（Ⅰ）若对任意[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若对任意[－3，3]，[－3，3]，都有≤成立，求实数的取值范围
7．设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
8．设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
9．已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
10．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
11．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.
（1）写出y与x的函数关系式;
（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
12．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB⊥BC，OA//BC，且AB=BC=2 AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）。
13．设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为．
（1）求证：；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（3）问是否存在实数（是与无关的常数），当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数在区间[0，1]单调递增，在区间单调递减．
（1）求a的值；
（2）若点在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线的对称点B也在函数f(x)的图象上；
（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由．
15．已知上是减函数，且。
（1）求的值，并求出和的取值范围。 （2）求证。
（3）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式。
16．设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．
参考解答
一．BBDDD CDDA
二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、 5、 6、
7、 8、
三．1．解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在处的切线方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.
2．（Ⅰ）解：，依题意，，即
解得.
∴.
令，得.
若，则，
故在上是增函数，在上是增函数.
若，则，故在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
3．解：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
4．解：（1）极小值为
（2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为，
的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点。
5．解(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得
又
所以
即的取值范围为
6．略
7．解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
8．解：（Ⅰ），
当时，取最小值，
即．
（Ⅱ）令，
由得，（不合题意，舍去）．
当变化时，的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在内有最大值．
在内恒成立等价于在内恒成立，
即等价于，
所以的取值范围为
9．解：（Ⅰ），由已知，
即解得
，，，．
（Ⅱ）令，即，
，或．
又在区间上恒成立，
10．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
11．解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元
月平均销售量为件则月平均利润（元）
y与x的函数关系式为
令
当
即函数在上单调递减，
所以函数在取得最大值.
所以改进工艺后，产品的销售价提高的百分率为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
12．解：以O为原点，OA所在直线为轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为
故曲线段OC的方程为 3分
设P（）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+，|PN|=4－2. 5分
∴工业园区面积S=|PQ|·|PN|=（2+）（4－2）=8－3－22+4. 6分
∴S′=－32－4+4，令S′=0
又7分
当时，S′>0，S是的增函数；8分
当）时，S′<0，S是的减函数. 9分
时，S取到极大值，此时|PM|=2+=
10分
当 11分
答：把工业园区规划成长为宽为时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5km2.
13．解：（1） 由题设，得 ①
②
∵
由①代入②得，
得∴或 ③
将代入中，得 ④
由③、④得；
（2）由（1）知，的判别式：
∴方程有两个不等的实根，又
∴，∴当或时，，
当时，，∴函数的单调增区间是
∴，由知
∵函数在区间上单调递增，∴
∴，即的取值范围是；
（3）由，即，
∵，∴
∴或．由题意，得
∴，∴存在实数满足条件，即的最小值为．
说明：三次函数是导数应用的热点问题，《考试大纲》对导数和函数都有较高的要求，又有“在知识交汇点设计试题”作后盾，跟其它数学知识综合的试题应运而生，解答这类问题的关键在于灵活地运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想方法来分析
14．解：（1）由函数在区间[0，1）单调递增，在区间[1，2）单调递减，
，．
（2）点，
∴点A关于直线x＝1的对称点B也在函数f（x）的图象上．
（3）函数的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程
个不等实根．
．
是其中一个根，有两个非零不等实根．
15．（1）
（2）
（3）
·
16．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．
（Ⅰ）∵为奇函数，
∴
即
∴
∵的最小值为
∴
又直线的斜率为
因此，
∴，，．
（Ⅱ）．
，列表如下：
极大
极小
所以函数的单调增区间是和
∵，，
∴在上的最大值是，最小值是