第2课时 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算
1.下列各式计算正确的是 ( )
A.+=
B.3=2
C.2×3=6
D.()÷=3-
2.估计×(2-)的值应在 ( )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
3.计算:×的结果为 .
4.(2024聊城东昌府区期中)计算: (5-2)÷(-)= .
5.计算:
(1)×÷.
(2)÷.
二次根式与乘法公式
6.若x=,y=+,则xy的值为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.10
7.计算(-1)2的结果为 .
8.计算:
(1)(+3)2.
(2)(2-3)×(2+3).
(3)(2)×(2+)-()2.
1.(2024日照五莲县期末)若6-的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+)y的值是 ( )
A.5-3 B.3
C.3-5 D.-3
2.已知x=-1,则代数式x2+2x+2 024的值是 ( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
3.化简(-2)2 024×(+2)2 024的结果为 ( )
A.1 B.-2
C.+2 D.--2
4.(新定义)用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n-mn-3n,如:1※2=12×2-1×2-3×2=-6.则(-2)※的结果为 ( )
A.3 B.-2
C.3 D.2
5.计算:
(1)-()2+(π+)0-+|-2|.
(2)-2+(+2)÷.
(3)(3-2)2-(+)×().
6.已知x=2-,y=2+.
(1)求x+y和xy的值.
(2)求x2+y2-3xy的值.
(3)若x的小数部分是a,y的整数部分是b,求ax-by的值.
7.(2024武威凉州区期末)如图,李明家有一块长方形空地ABCD,长BC为m,宽AB为m,现要在空地中挖一个长方形的水池(即图中阴影部分),其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为(+1)m,宽为(-1)m.
(1)求长方形空地ABCD的周长(结果化为最简二次根式).
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg,且每平方米产草莓15 kg,若李明家将所种的草莓全部销售完,销售收入为多少元
8.(推理能力)观察下列一组等式,回答问题.
①(+1)×(-1)=1;
②(+)×()=1;
③(+)×()=1;
④(+)×()=1;
…
(1)观察以上规律,请写出第个等式(n为正整数).
(2)利用上面的规律,计算:
+++…+.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.B 3.- 4.5
5.解:(1)原式=×3-=2-=.
(2)原式=3-2÷2=3-=2.
6.C 7.4-2
8.解:(1)(+3)2=()2+2××3+32=7+6+9=16+6.
(2)(2-3)×(2+3)=(2)2-(3)2=12-18=-6.
(3)(2-)×(2+)-()2=8-3-2=3.
课后提升
1.B 解析:∵9<13<16,∴3<<4.∴2<6-<3.∴6-的整数部分是x=2,小数部分是y=6--2=4-.
∴(2x+)y=(4+)(4-)=16-13=3.故选B.
2.D 解析:∵x=-1,∴x2+2x+2 024=x2+2x+1+2 023=(x+1)2+2 023=(-1+1)2+2 023=2+2 023=2 025.故选D.
3.A 解析:(-2)2 024×(+2)2 024=[(-2)×(+2)]2 024=[()2-22]2 024=(3-4)2 024=(-1)2 024=1.故选A.
4.A 解析:原式=(-2)2×-(-2)×-3=4+2-3=3.故选A.
5.解:(1)原式=-3+1-3+2-=-3.
(2)原式=2-+3+2=3+3.
(3)原式=9-12+20-(5-2)=9-12+20-3=26-12.
6.解:(1)∵x=2-,y=2+,
∴x+y=2-+2+=4,
xy=(2-)×(2+)=4-3=1.
(2)由(1)得x+y=4,xy=1,
∴x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5×1=11.
(3)∵1<3<4,
∴<<,即1<<2.
∴-2<-<-1.
∴0<2-<1,3<2+<4.
∵x的小数部分是a,
∴a=2-.
∵3<2+<4,y的整数部分是b,
∴b=3.
∴ax-by=(2-)×(2-)-3(2+)=4-4+3-6-3=1-7.
7.解:(1)长方形空地ABCD的周长为
2×(+)=2×(6+4)=20(m).
答:长方形空地ABCD的周长为20 m.
(2)种草莓的面积为-(+1)×(-1)=48-(10-1)=39(m2),
39×15×8=4 680(元).
答:销售收入为4 680元.
8.解:(1)由题可得,第个等式为
(+)(-)=1.
(2)原式=-1+-+-+…+-=-1=10-1=9.16.3二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减法运算
被开方数相同的最简二次根式
1.(2024鞍山期末)下列二次根式中,能与合并的是 ( )
A. B.
C. D.
2.若最简二次根式与可以合并,则a的值为 ( )
A.- B. C.1 D.-1
3.下列各组式子中,化简后被开方数相同的一组是 ( )
A.与 B.与
C.与2 D.与
二次根式的加减
4.若+=,则M= ( )
A.5 B.10 C.20 D.25
5.下列计算正确的是 ( )
A.2+=3 B.5+=5
C.2=2 D.+=
6.计算+的结果是 ( )
A. B.2
C.5 D.7
7.化简:-3的结果是 .
8.(2024南充高坪区期中)已知某三角形三条边的长分别为 cm, cm, cm,则它的周长为 cm.
9.计算:
(1)2-+3.
(2).
(3)+3.
1.若2与可以合并成一项,则n可以为 ( )
A.6 B.12 C.15 D.45
2.若a+=,则表示实数a的点会落在数轴的 ( )
A.线段①上 B.线段②上
C.线段③上 D.线段④上
3.化简的结果是 ( )
A. B.- C.2 D.-2
4.(2024沧州孟村县月考)要使+=b(a,b为整数且a≠0),则a的最小值为 ,此时b= .
5.(新定义)我们规定运算符号“△”的意义如下:当a>b时,a△b=a+b;当a≤b时,a△b=a-b,其他运算符号的意义不变.计算:(△)-(2△3)= .
6.(2024上海浦东新区月考)若等腰三角形的两边长分别为2和5,则这个等腰三角形的周长是 .
7.计算:
(1)(+)-().
(2)-6+2x.
(3) +6-2x.
(4)6-2+ -4.
8.先化简,再求值:-x-4y+,其中x=,y=27.
9.(运算能力)嘉淇准备完成题目“计算:-■-(3-4)”时,发现“■”处的数字印刷不清楚.
(1)他把“■”处的数字猜成4,请你计算-4-(3-4)的结果.
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到这个题的正确答案是3.”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C
7. 8.9
9.解:(1)2-+3=2+2.
(2)-= - =- .
(3)-+3-=5-2+3-4=8-6.
课后提升
1.D 解析:当n=6时,2与不可以合并成一项,A选项不符合题意;当n=12时,2与=2不可以合并成一项,B选项不符合题意;当n=15时,2与不可以合并成一项,C选项不符合题意;当n=45时,2与=3可以合并成一项,D选项符合题意.故选D.
2.B 解析:∵a+=,∴a=-=3-2=.∵<<,∴1<<2,即1
3.D 解析:∵=,=,∴-=-=-1-(+1)=-1--1=-2.故选D.
4.10 4 解析:∵=2与b可以合并,∴与可以合并.∵a为整数且a≠0,∴中的a的最小值为10.∴=.此时+=2+2=4.∴b=4.
5.-+4 解析:∵当a>b时,a△b=a+b;当a≤b时,a△b=a-b,>,2<3,∴(△)-(2△3)=+-(2-3)=-+4.
6.10+2 解析:2+2<5,根据三角形的两边之和大于第三边可知,等腰三角形的腰长为5,底边长为2,∴这个等腰三角形的周长为5+5+2=10+2.
7.解:(1)原式=2+3-2+5=7+.
(2)原式=2-+2=3.
(3)原式=×3+6×-2=2+-2=.
(4)原式=6×2-2×3+×2-4×=12-6+-2=6-.
8.解:∵x=>0,y=27>0,
∴原式=5--4+=.
当x=,y=27时,
原式===3.
9.解:(1)-4-(3-4)=4-4×-3×+4×=
4--+2=3+.
(2)设“■”处的数字为a,则
-a-(3-4)=4-a×-3×+4×=4--+2=3+(2-).
∵这个题的正确答案是3,
∴2-=0.解得a=8.
∴“■”处的数字是8.