第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
勾股定理的逆定理的实际应用
1.如图,小邦乘坐高铁从南昌到淄博游玩,在距离铁轨200 m的点O处,观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车.当“和谐号”动车车头在点A处时,恰好位于点O处的北偏东30°方向,测得OA=300 m,10 s后(这时段动车的平均速度是50 m/s),动车车头到达点C处,测得OC=400 m.根据所学知识求得此时点C位于点O的 ( )
A.北偏西45°方向 B.北偏西30°方向
C.南偏东60°方向 D.北偏西60°方向
2.如图是某超市购物车的侧面简化示意图.测得支架AC=24 cm,CB=18 cm,两轮中心的距离AB=30 cm,则点C到AB的距离为 cm.
勾股定理及其逆定理的综合应用
3.如图,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD⊥AB于点D,则CD的长度是 ( )
A. B.
C.4 D.13
4.(2024洛阳期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是 .
5.(2024武威凉州区期末)如图,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC=
°.
6.某学校在校园某一区域内新建一块塑胶场地,供同学们课间活动使用,如图,已知AB=9 m,BC=
12 m,CD=17 m,AD=8 m,施工人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间的距离,就确定了
∠ABC=90°.
(1)请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离,以及确定∠ABC=90°的依据.
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元,请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元
1.如图,△ABC在每个边长都为1的小正方形网格中,顶点都在格点上.下列结论不正确的是 ( )
A.BC=5
B.△ABC的面积为5
C.∠BAC=90°
D.点A到BC的距离为
2.(2024黄石阳新县期中)如图,A,B,C,O四点都在3×3的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)的格点上,则∠AOB-∠BOC= °.
3.已知在平面直角坐标系中,点A(-4,0),B(3,0),C(0,3),点P在x轴上运动,当点P与A,B,C三点中任意两点构成直角三角形时,点P的坐标为 .
4.如图,有一块等腰三角形菜地,其中AC=BC=26,AB=20,E为AB的中点.现需要开辟一块空地△AEF用于堆肥,已知AF=8,EF=6.
(1)你能确定△AEF的形状吗 请说明理由.
(2)计算阴影部分的面积.
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=20 cm,D是边AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm.
(1)求AD的长.
(2)求△ABC中边BC上的高.
6.(几何直观)如图,在△ABC中,BC=16 cm,AC=20 cm,AB=12 cm,P是边BC上的一个动点,点P从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,设运动的时间为t s,若△ABP是以AB为腰的等腰三角形,求运动时间t.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2. 3.B
4.AB,CD,GH 5.45
6.解:(1)施工人员测量的是A,C两点之间的距离.确定∠ABC=90°的依据:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理).
(2)如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=9 m,
BC=12 m,
∴S△ABC==54(m2).
由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=152,
∴AC=15 m.
又∵AD=8 m,CD=17 m,
∴AC2+AD2=CD2.
∴△ACD是直角三角形.
∴S△ACD==60(m2).
∴S四边形ABCD=54+60=114(m2).
114×110=12 540(元).
答:该学校建成这块塑胶场地需花费12 540元.
课后提升
1.D 解析:A.∵BC2=32+42=25,∴BC=5.原结论正确,不符合题意;B.S△ABC=4×4-×1×2-×2×4-×3×4=5.原结论正确,不符合题意;C.∵AB2=12+22=5,AC2=22+42=20,BC2=25,∴AC2+AB2=BC2.∴∠BAC=90°.原结论正确,不符合题意;D.点A到BC的距离为2S△ABC÷BC=2×5÷5=2,原结论错误,符合题意.故选D.
2.45 解析:如图,找到点C关于OB的对应点D,连接OD,AD,则∠DOB=∠COB.∴∠AOB-∠BOC=∠AOB-
∠BOD=∠AOD.∵AO=AD==,
OD==,()2+()2=()2,∴△DAO是等腰直角三角形.
∴∠AOD=45°,即∠AOB-∠BOC=45°.
3.(0,0)或(,0)或(-3,0)
解析:∵点P,A,B在x轴上,∴P,A,B三点不能构成三角形.设点P的坐标为(m,0).当△PAC为直角三角形时,
①∠APC=90°,易知点P在原点处,坐标为(0,0);②∠ACP=90°,∴AC2+PC2=AP2.∴42+32+m2+32=(4+m)2.解得m=.∴点P的坐标为(,0).当△PBC为直角三角形时,①∠BPC=90°,易知点P在原点处,坐标为(0,0);②∠BCP=
90°,∴BC2+PC2=BP2.∴32+32+m2+32=(3-m)2.解得m=-3.∴点P的坐标为(-3,0).综上所述,点P的坐标为(0,0)或(,0)或(-3,0).
4.解:(1)△AEF是直角三角形.理由如下:
∵AB=20,E为AB的中点,
∴AE=BE=AB=10.
∵AF=8,EF=6,82+62=102,
∴AF2+EF2=AE2.
∴△AEF是直角三角形.
(2)如图,连接CE.
∵AC=BC=26,AB=20,E为AB的中点,
∴CE⊥AB,AE=BE=10.
∴CE==24.
∴S阴影=S△ABC-S△AEF
=AB·CE-AF·EF
=×20×24-×8×6
=240-24
=216.
5.解:(1)∵BC=20 cm,CD=16 cm,BD=12 cm,
∴BD2+CD2=BC2.
∴∠BDC=90°.
∴∠ADC=90°.
设AD=x cm,则AC=AB=(x+12)cm.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得
AD2+CD2=AC2,即x2+162=(x+12)2.
解得x=.∴AD= cm.
(2)由(1),得AB=AC=+12=(cm),
如图,过点A作AE⊥BC于点E,则AE是△ABC中边BC上的高.
∵AB=AC,BC=20 cm,
∴BE=CE=BC=10 cm.
在Rt△AEB中,由勾股定理,
得AE==
=(cm).
∴△ABC中边BC上的高是 cm.
6.解:∵BC=16 cm,AC=20 cm,AB=12 cm,
∴BC2+AB2=AC2.
∴∠B=90°.
如图1,当AB=PB=12 cm时,
∴t=12÷2=6(s).
图1 图2
如图2,当AP=AB=12 cm时,
BC+PC=16+20-12=24(cm),∴t=24÷2=12(s).
如图3,当AB=BP=12 cm时,
图3
过点B作BD⊥AC于点D,则AD=PD.
∵S△ABC=×AB×BC=×AC×BD,
∴12×16=20BD.∴BD=9.6 cm.
在Rt△ADB中,由勾股定理,得
AD===7.2(cm).
∴AP=2AD=14.4 cm.
∴t=(16+20-14.4)÷2=10.8(s).
综上所述,运动时间t为6 s或12 s或10.8 s.17.2勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是 ( )
A.3,3,3 B.1,,
C.45,45,90 D.8,16,17
2.(2024北京西城区开学)已知a,b,c分别是三角形的三边长,若满足+|b-5|+(c-4)2=0,则三角形的形状是 ( )
A.底与边不相等的等腰三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
3.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D都在小正方形的顶点上,则以AB,CD,EF=2为边的三角形的形状为 .
4.若一个三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高是 cm.
5.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC=15,CD=12,AD=16.
(1)求BD的长.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
逆命题、逆定理
6.下列说法中正确的有 ( )
①每一个命题都有逆命题;
②每一个定理都有逆定理;
③真命题的逆命题都是真命题;
④假命题的逆命题都是假命题.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.直角三角形的两锐角互余
B.若三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形
C.全等三角形的对应角相等
D.互为相反数的两数之和为0
8.(1)命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 .
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为 .
勾股数
9.(2024廊坊开学)下列各组数中,是勾股数的为 ( )
A.5,12,13 B.0.3,0.4,0.5
C.6,7,8 D.1,2,
1.(2024济宁期末)△ABC的三边长分别为a,b,c,有下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=5∶6∶7;③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13.其中能判断△ABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中,以AB为一边作直角三角形ABC,要求顶点C在格点上,则图中不符合条件的点是 ( )
A.C1 B.C2
C.C3 D.C4
3.(2024岳阳期末)下列说法:①“两直线平行,同位角相等”与“同位角相等,两直线平行”互为逆定理;②命题“如果两个角相等,那么它们都是直角”的逆命题为假命题;③命题“如果-a=5,那么a=-5”的逆命题为“如果-a≠-5,那么a≠-5”,其中正确的有 ( )
A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个
4.若a,15,8是一组勾股数,则a的值为 .
5.(2024唐山路南区期末)如图,已知AC=4,BC=3,BD=12,AD=13,∠ACB=90°,则阴影部分的面积为 .
6.如图,在△ABC中,AD,AE分别是高和角平分线.
(1)若∠BAC=86°,∠C=32°,求∠DAE的度数.
(2)若AB=15,AC=20,AD=12,求证:∠BAC是直角.
7.(推理能力)阅读下列内容:设a,b,c分别是一个三角形的三条边长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三条边长间的关系来判断这个三角形的形状:①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③a2请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三条边长分别是2,3,4,则该三角形是 三角形.
(2)若一个三角形的三条边长分别是6,8,x,且这个三角形是直角三角形,则x的值为 .
(3)若一个三角形的三条边长a=,b=,c=,其中a是最长边,请判断这个三角形的形状,并写出你的判断过程.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.B
3.直角三角形 4.12
5.解:(1)在Rt△BCD中,
∵∠BDC=90°,CD=12,BC=15,
∴BD===9.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,CD=12,AD=16,
∴AC===20.
∵AD=16,BD=9,
∴AB2=(AD+BD)2=252=625.
∵AC=20,BC=15,
∴AC2+BC2=400+225=625.
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
6.A 7.C
8.(1)对应边相等的两个三角形是全等三角形
(2)两个角相等的三角形是等腰三角形
9.A
课后提升
1.C 解析:①∵∠A=∠B-∠C,∴∠A+∠C=∠B.又∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°.故①是直角三角形;②
∵∠A∶∠B∶∠C=5∶6∶7,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°.故②不是直角三角形;③
∵a2=(b+c)(b-c),即a2=b2-c2,∴a2+c2=b2,符合勾股定理的逆定理.故③是直角三角形;④∵a∶b∶c=5∶12∶13,∴a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理.故④是直角三角形.综上所述,能判断△ABC是直角三角形的条件有3个.故选C.
2.D 解析:∵AB2=10,A=5,B=5,∴AB2=A+B.∴△ABC1是直角三角形.∵A=10,AB2=10,B=20,
∴B=A+AB2.∴△ABC2是直角三角形.∵AB2=10,A=20,B=10,∴A=AB2+B.∴△ABC3是直角三角形.∵A=16,B=18,AB2=10,∴B≠A+AB2.∴△ABC4不是直角三角形.∴图中不符合条件的点是C4.故选D.
3.B 解析:①“两直线平行,同位角相等”与“同位角相等,两直线平行”互为逆定理,本说法正确;②命题“如果两个角相等,那么它们都是直角”的逆命题是“如果两个角都是直角,那么这两个角相等”为真命题,本说法错误;③命题“如果-a=5,那么a=-5”的逆命题为“如果a=-5,那么-a=5”,本说法错误.故选B.
4.17
5.24 解析:如图,连接AB.
∵∠ACB=90°,
AC=4,BC=3,
∴AB==
=5.∵BD=12,AD=13,∴AB2+BD2=52+122=169,AD2=132=169.∴AB2+BD2=AD2.∴△ABD是直角三角形,∠ABD=90°.∴S阴=S△ABD-S△ABC=AB·BD-AC·BC=×5×12-×4×3=30-6=24.
6.解:(1)∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=∠BAC=43°.
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-∠C=58°.
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=58°-43°=15°.
(2)证明:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴BD===9,
CD===16.
∴BC=BD+DC=9+16=25.
∵AB2+AC2=152+202=625,BC2=625,
∴AB2+AC2=BC2.
∴∠BAC=90°,即∠BAC是直角.
7.解:(1)钝角
(2)10或2
(3)∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+>0,
∴a2>b2+c2.
∴这个三角形是钝角三角形.
