18.1平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
平行四边形边、角的性质
1.在 ABCD中,∠B=40°,则∠D的度数为 ( )
A.40° B.50° C.90° D.140°
2.在 ABCD中,AB=2 cm,BC=3 cm,则 ABCD的周长为 ( )
A.10 cm B.8 cm
C.6 cm D.5 cm
3.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较大的内角是 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
4.(2024广州中考)如图,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3.若BA平分∠EBC,则DE= .
5.(2024唐山路南区期末)在 ABCD中,若∠A+∠C=280°,则∠A= °, ∠B= °.
6.(2024泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2.
平行线间的距离
7.如图,直线a∥b,则直线a,b之间的距离是 ( )
A.线段CD的长度
B.线段AC的长度
C.线段AB的长度
D.线段BD的长度
8.直线a,b,c是三条平行直线.已知a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离为( )
A.2 cm B.3 cm
C.7 cm D.3 cm或7 cm
9.如图,a,b是两条平行线,则甲、乙两平行四边形的面积关系是 ( )
A.S甲>S乙 B.S甲C.S甲=S乙 D.无法确定
10.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,FG=6 cm,则AB与CD间的距离为 cm.
1.如图,在 ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则 ABCD的周长是( )
A.16 B.14
C.20 D.24
2.(2024石家庄桥西区期末)如图,直线AB∥CD,P是直线AB上一个动点,当点P的位置发生变化时,△PCD的面积 ( )
A.向左移动变小 B.向右移动变小
C.始终不变 D.无法确定
3.如图,将 ABCD沿AC折叠,点D恰好落在DC延长线上的点D'处,AD'交BC于点E.若∠BAD'
=40°,则∠BAD的度数为 ( )
A.142° B.140° C.138° D.135°
4.如图,在平面直角坐标系中,若 ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(2,3),(1,-1),(7,-1),则点D的坐标是 .
5.在 ABCD中,边BC上的高为4,AB=5,AC=2,则线段BC的长是 .
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,E为BC的中点,AE=2BE.点P在BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF.
(1)若AD=4,则线段AB的长为 .
(2)求证:AF+EF=DF.
7.如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF.
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
8.(推理能力)如图,在 ABCD中,BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,分别交AC于点E,F.已知平行四边形ABCD的周长为48.
(1)求证:BE=DF.
(2)过点E作EM⊥AB于点M,若EM=6,求△ACD的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.A 3.D
4.5 5.140 40
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠1=∠2.
7.A 8.D 9.C 10.6
课后提升
1.C 解析:∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∵在 ABCD中,AD∥BC,∴∠ADE=∠CED.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.在 ABCD中,AD=6,BE=2,∴AD=BC=6.∴CE=BC-BE=6-2=4.∴CD=AB=CE=4.∴ ABCD的周长为6+6+4+4=20.故选C.
2.C 解析:∵直线AB∥CD,P是直线AB上一个动点,∴无论点P怎么移动,点P到CD的距离不变.∴△PCD的底不变,高不变,面积也不变.故选C.
3.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.根据折叠的性质,得AD=AD',∠D=∠D',∠DAC=∠D'AC,
AB∥DD'.∴∠D'=∠BAD'=40°=∠D.在△ADD'中,∠DAD'=180°-∠D-∠D'=100°,∴∠BAD=∠BAD'+∠DAD'=
40°+100°=140°.故选B.
4.(8,3) 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,AD=BC,AD∥BC,CD∥AB.∵ ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(2,3),(1,-1),(7,-1),∴BC=6,BC∥x轴.∴AD=6.∴点D的坐标为(8,3).
5.5或1 解析:①如图1,∵在 ABCD中,边BC上的高AE=4,AB=5,AC=2,
∴EC==2,BE==3.∴BC=BE+EC=5.
图1 图2
②如图2,∵在 ABCD中,边BC上的高AE=4,AB=5,AC=2,∴EC==2,BE==3.∴BC=BE-CE=3-2=1.综上所述,线段BC的长为5或1.
6.解:(1)2
解析:∵点E为BC的中点,∴BC=2BE.
∵AE=2BE,∴AE=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,AD=4,
∴AD=BC=4.
∴AE=AD=4,BE=AE=2.
∵AE⊥BC,
∴AB===2.
(2)证明:如图,过点A作AH⊥AF交DP于点H,
则∠DAE=∠FAH=90°.
∴∠DAE-∠EAH=∠FAH-∠EAH,
即∠DAH=∠EAF.
∵∠1+∠EAD+∠ADP=180°,∠2+∠EFD+∠AEF=180°,
且∠1=∠2,∠DAE=∠EFD=90°,
∴∠ADF=∠AEF.
∵∠DAH=∠EAF,AD=AE,
∴△ADH≌△AEF(ASA).
∴DH=EF,AH=AF.
在Rt△AFH中,∠FAH=90°.
由勾股定理,得FH2=AF2+AH2.
∴FH=AF.
∵DF=FH+HD,
∴DF=AF+EF.
∴AF+EF=DF.
7.解:(1)证明:在 ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠CDE=∠F.
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE.
∴∠ADF=∠F.∴AD=AF.
(2)∵AD=AF=6,AB=3,
∴BF=AF-AB=3.
如图,过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H.
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°.
∵∠H=90°,
∴∠ADH=30°.
∴AH=AD=3.
∴DH==3.
∴S△ADF=AF·DH=×6×3=9.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∠ABC=∠ADC.
∴∠DAC=∠BCA.
∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ADF=∠ADC,∠CBE=∠ABC.
∴∠ADF=∠CBE.
又∵AD=CB,
∴△ADF≌△CBE(ASA).
∴DF=BE.
(2)如图,过点E作EN⊥BC于点N.
∵BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BC,
∴EM=EN=6.
∵ ABCD的周长为48,
∴AB+BC=24.
∴S△ACD=S△ABC=S△ABE+S△BCE=×AB·EM+×BC·EN=×6×24=72.
∴△ACD的面积为72.第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相平分
1.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,则下列说法正确的是 ( )
A.AO=BO B.AO=CO
C.∠BAC=∠ADC D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长不可以是 ( )
A.1 cm B.3 cm C.5 cm D.4 cm
3.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD= .
4.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任意作一条直线分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)若AB=8,BC=6,OE=3,求四边形BCFE的周长.
平行四边形的面积
5.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=10,AB=4,则 ABCD的面积是 ( )
A.12 B.12 C.24 D.30
6.(2024汉中城固县期末)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF,GH过点O,且点E,H在边AB上,点G,F在边CD上.若 ABCD的面积为20,则阴影区域的面积为 .
7.如图,已知 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD=12,BD=10,AC=26.
(1)求△ADO的周长.
(2)求证:△ADO是直角三角形.
1.如图, ABCD的面积为24 m2,BD⊥AB,CD=4 cm,则OB的长为 ( )
A.4 cm B.6 cm
C.3 cm D.无法确定
2.(2024潜江月考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且∠ADC
=60°,AB=BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②OE⊥AC;③BD=AB;④S四边形OECD=S△OCD.其中成立的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.已知 ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(-2,-3),则点D的坐标为 .
4.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是 .
5.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O任意作一条直线分别交AD,BC于点F,E.
(1)求证:OF=OE.
(2)若AC⊥CD,四边形ABEF的周长为20,OE=2,BC∶AB=5∶3,求AC的长.
6.(几何直观)如图,在 ABCD中,EF过对角线的交点O,且与边AB,CD分别相交于点E,F.
(1)判断图形的面积关系:S四边形AEFD= S四边形ABCD.
(2)若AB=5,AD=3,OF=1.3,求四边形BCFE的周长.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.A 3.10
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD.
∴∠FCO=∠EAO,∠CFO=∠AEO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)∵△AOE≌△COF,
∴OE=OF,AE=CF.
∴四边形BCFE的周长为BE+CF+BC+EF=BE+AE+BC+2OE=AB+BC+2OE=8+6+2×3=20.
5.C 6.5
7.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=AC,OB=OD=BD.
∵AC=26,BD=10,
∴OA=13,OD=5.
∵AD=12,
∴△AOD的周长为OD+AD+OA=5+12+13=30.
(2)证明:由(1)知,OA=13,OD=5,AD=12,
∵52+122=132,
∴在△AOD中,OD2+AD2=OA2.
∴△AOD是直角三角形.
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4 cm,OB=OD.∵ ABCD的面积为24 cm2,∴AB·BD=24 cm2.∴BD=6 cm.∵OB=OD,∴OB=BD=3 cm.故选C.
2.D 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∠ADC=60°,∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,OB=OD,AO=CO.∴∠DAE=∠AEB,∠BAD=∠BCD=180°-60°=120°.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=∠BAD=60°.∴∠BAE=∠AEB=60°.∴△ABE为等边三角形.∴AB=BE=AE.∵BC=AD=2AB,∴EC=BE=AE.∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°.∴∠CAD=120°-60°-30°=30°.故①正确;∵EC=AE,AO=CO,∴OE⊥AC.故②正确;∵∠BAD=120°,∠CAD=30°,∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°.设AB=x,则BC=2x.在Rt△BAC中,AC==x,∴AO=AC=x.
∴在Rt△ABO中,BO==x.∴BD=2BO=x.∴BD=AB.故③正确;∵∠BAC=90°,BC=2AB,AB=BE,∴E是BC的中点.∴S△BEO=S△BCO=S△BCD.∴S△BEO∶S△BCD=1∶4.∴S四边形OECD∶S△BCD=3∶4.∴S四边形OECD∶S ABCD=3∶8.∵S△OCD∶S ABCD=1∶4,∴S四边形OECD∶S△OCD=3∶2.∴S四边形OECD=S△OCD.故④正确.故选D.
3.(0,3)或(4,3) 解析:当点B在点A的右边时,如图1,∵AB与x轴平行且AB=2,点A(-2,-3),∴点B(-2+2,-3),即点B(0,-3).∵对角线AC的中点在坐标原点,∴点A,C关于原点对称.∵四边形ABCD为平行四边形,∴点B,D关于原点对称.∴点D(0,3).
图1 图2
当点B在点A的左边时,如图2,同理可得点B(-2-2,-3),即点B(-4,-3),则点D(4,3).故点D的坐标为(0,3)或(4,3).
4.3 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OB=OD.∴∠OBE=∠ODF.∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA).∴S阴影=S△AOD=S ABCD.∵AB=3,AC=4,BC=AD=5,∴AB2+AC2=BC2.∴△ABC是直角三角形.∴S ABCD=AB×AC=3×4=12.∴S阴影=S△AOD=S ABCD=3.
5.解:(1)证明:在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
∴OA=OC,AD∥BC.
∴∠OAF=∠OCE.
在△OAF和△OCE中,
∴△OAF≌△OCE(ASA).
∴OF=OE.
(2)∵△OAF≌△OCE,
∴AF=CE,OF=OE.
∴BE+AF=BE+CE=BC.
∵OE=2,
∴EF=2OE=4.
∵BC∶AB=5∶3,
设BC=5x,AB=3x.
∴四边形ABEF的周长为AB+BE+EF+AF=AB+BC+EF=3x+5x+4=20.
解得x=2.∴BC=10,AB=6.
在 ABCD中,AD=BC=10,CD=AB=6,
∵AC⊥CD,
∴AC==8.
6.解:(1)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△AOE和△COF,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF,OE=OF=1.3.
∴EF=2OF=2×1.3=2.6.
∵BC=AD=3,
∴四边形BCFE的周长为EF+BC+CF+BE=EF+BC+AE+BE=EF+BC+AB=2.6+3+5=10.6.
