18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图,DE∥BC,DF∥AC,EF∥AB,图中共有 个平行四边形.
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,BC=6,AB=3.求四边形ABCD的周长.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3.(2024南阳期末)在四边形ABCD中,AD=BC,添加一个条件: ,可得四边形ABCD是平行四边形.
4.将两个边长分别为2,3,4的全等三角形拼成四边形,可以拼得不同形状的平行四边形共
个.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5.如图,甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形,下列判断正确的是 ( )
甲:AB∥CD,AD=BC;乙:∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1.
A.甲可以,乙不可以
B.甲不可以,乙可以
C.两人都可以
D.两人都不可以
对角线互相平分的四边形是平行四边形
6.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=CO,若再添加一个条件,可判定四边形ABCD为平行四边形.请从①AD=CB;②AB=CD;③BO=DO这三个条件中选取一个作为添加条件.你选择的条件是 .(填序号)
7.如图,线段AC与BD相交于点O,分别过点B,D作AC的垂线,垂足分别为E,F,且BE=DF,AF=CE,依次连接点A,B,C,D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
1.(2024辽宁中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.有下列条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD.其中能够判定四边形ABCD是平行四边形的有 .(填序号)
3.(2024张家口张北县期末)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,分别过A,C两点作AG⊥BD,CH⊥BD,垂足分别为M,N,且分别交CD,AB于点G,H.
(1)求证:四边形AHCG是平行四边形.
(2)若DG=3,AH=2,AC=5,BD=8,求AB的长及△AOB的周长.
4.(推理能力)在平面直角坐标系中,已知点A(0,0),B(2,2),C(3,0),若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能为 ( )
A.(-1,2) B.(5,2)
C.(2,-2) D.(1,-2)
5.(几何直观)如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系,并说明理由.
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形.
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求BF的长.
【详解答案】
课堂达标
1.3
2.解:∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=∠D,
∴∠C+∠D=180°.
∴AD∥BC.
∴四边形 ABCD是平行四边形.
∴CD=AB=3,AD=BC=6.
∴四边形ABCD的周长为2×6+2×3=18.
3.AB=CD 4.3 5.B 6.③
7.证明:∵AC⊥BE,AC⊥DF,
∴∠BEO=∠DFO=90°.
在△BEO与△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(AAS).
∴EO=FO,BO=DO.
又∵AF=CE,
∴AF-FO=CE-EO.
∴AO=CO.
又∵BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC=,OD=BD=.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∴四边形OCED的周长为2(OC+OD)=2×(+)=8.故选C.
2.①②④⑤ 解析:①AB∥CD,AD∥BC,根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形;②AB=CD,AD=BC,根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形;③AB∥CD,AD=BC,不能判定四边形ABCD为平行四边形;④OA=OC,OB=OD,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形;⑤∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵∠BAD=∠BCD,∴∠ADC+∠BCD=180°.∴AD∥BC.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形.综上所述,能够判定四边形ABCD是平行四边形的有①②④⑤.
3.解:(1)证明:∵AG⊥BD,CH⊥BD,
∴∠AMB=90°,∠HNB=90°.
∴AG∥CH.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AH∥CG.
∴四边形AHCG是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,四边形AHCG是平行四边形,
∴AB=CD,CG=AH=2.
∵DG=3,
∴AB=CD=DG+CG=3+2=5.
∵对角线AC,BD交于点O,
∴AO=AC=×5=2.5,
BO=BD=×8=4.
∴△AOB的周长为AO+BO+AB=2.5+4+5=11.5.
4.C 解析:分三种情况:①BC为对角线时,点D的坐标为(5,2);②AB为对角线时,点D的坐标为(-1,2);③AC为对角线时,点D的坐标为(1,-2).综上所述,点D的坐标可能是(5,2)或(-1,2)或(1,-2).故选C.
5.解:(1)BE=CD.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
∴BE=CD.
(2)证明:由(1)知,BE=AB,
∵BF平分∠ABE,
∴AF=EF.
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS).
∴DF=CF.
∴四边形ACED是平行四边形.
(3)由(1)知,BE=AB,
又∵∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形.
∴AE=AB=4.
∵BF⊥AE,
∴AF=EF=AE=2.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得
BF===2.第2课时 平行四边形的判定2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.如图是嘉淇不完整的推理过程.
∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. ∵( ), ∴四边形ABCD是平行四边形.
小明为保证嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列正确的是 ( )
A.∠B+∠C=180° B.AB=CD
C.∠A=∠B D.AD=BC
2.(2024安康期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线AC上,连接BE,DF,∠AEB=∠CFD,AF=CE.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形判定方法的灵活运用
3.如图,下列给出的条件中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 .(填序号)
①∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD;②AD=BC,AD∥BC;③AB=CD,∠ABC=∠ADC;④OA=OC,OB=OD.
4.如图,在四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是 .
(2)添加了条件后,求证:四边形AECF为平行四边形.
平行四边形的性质与判定的综合运用
5.如图,在 ABCD中,AB⊥AC,点E,F分别在边BC和AD上,EF∥AB,交AC于点P.若CD=6,AC=8,
CE=7,则AF的长为 .
1.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 ( )
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
2.如图1,在 ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案为 ( )
图1
取BD的中点O,作BN=NO,OM=MD
作AN⊥BD于点N,CM⊥BD于点M
作AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD
图2
A.甲、乙、丙 B.甲、乙
C.甲、丙 D.乙、丙
3.如图,B是线段AC的中点,且AB=EF,点E在线段DF上,AD交CE于点G,∠A=∠D,连接BF.
(1)求证:四边形BCEF是平行四边形.
(2)已知BC=2,连接FG,若FG平分∠BFD,求EG的长.
4.如图,在平面直角坐标系中,有一个四边形ABCD,其顶点坐标分别为A(2,3),B(6,3),C(8,-1),D(4,-1).
(1)求证:四边形ABCD为平行四边形.
(2)G为AC与BD的交点,BE为∠ABD的平分线,DF为∠BDC的平分线.求证:∠BEC=∠AFD.
5.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别是(-3,0),(0,6),动点P从点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时动点C从点B出发,沿射线BO的方向以每秒2个单位长度的速度运动.以CP,CO为邻边构造 PCOD.在线段OP的延长线上有一动点E,且满足PE=AO.
(1)当点C在线段OB上运动时,求证:四边形ADEC为平行四边形.
(2)当点P运动的时间为 s时,求此时四边形ADEC的周长.
【详解答案】
课堂达标
1.B
2.解:∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.
∵∠AEB=CFD,
∴△ABE≌△CDF(ASA).
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.③
4.解:(1)AE=CF(答案不唯一)
(2)证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF.
∵AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
5.3
课后提升
1.C 解析:①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;①③可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形;①④可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形.∴有4种选法能使四边形ABCD为平行四边形.故选C.
2.A 解析:方案甲:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,∴OB=OD,OA=OC.∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM.∴四边形ANCM为平行四边形.故方案甲正确.方案乙:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABN=
∠CDM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°.在△ABN和△CDM中,∴△ABN≌△CDM(AAS).
∴AN=CM.又∵AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.故方案乙正确.方案丙:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD.∴∠ABN=∠CDM.∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,∴∠BAN=∠DCM.在△ABN和△CDM中,∴△ABN≌△CDM(ASA).∴AN=CM,∠ANB=∠CMD.∵∠ANB+∠ANM=
180°,∠CMD+∠CMN=180°,∴∠ANM=∠CMN.∴AN∥CM.∴四边形ANCM为平行四边形.故方案丙正确.故选A.
3.解:(1)证明:∵B是线段AC的中点,
∴AB=BC.
∵AB=EF,∴BC=EF.
∵∠A=∠D,
∴AC∥FD.
∴BC∥EF.
∴四边形BCEF是平行四边形.
(2)由(1)知,四边形BCEF是平行四边形,
∴BF∥CE,BC=EF.
∴∠BFG=∠FGE.
∵FG平分∠BFD,
∴∠BFG=∠GFE.
∴∠FGE=∠GFE.
∴EG=EF.∴EG=BC.
∵BC=2,∴EG=2.
4.证明:(1)∵点A(2,3),B(6,3),C(8,-1),D(4,-1),
∴AB∥x轴∥CD,AB=6-2=4,CD=8-4=4.
∴AB=CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)由(1)可知,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,∠ABD=∠BDC.
∵BE为∠ABD的平分线,DF为∠BDC的平分线,
∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠BDC.
∴∠ABE=∠CDF.
∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠AFD=∠DCF+∠CDF,
∴∠BEC=∠AFD.
5.解:(1)证明:如图,连接CD交AE于点F.
∵四边形PCOD是平行四边形,
∴CF=DF,OF=PF.
∵PE=AO,
∴AF=EF.
又∵CF=DF,
∴四边形ADEC为平行四边形.
(2)当点P运动的时间为 s时,
OP=,OC=6-2×=3,
∵OA=3,
∴OE=OP+PE=OP+OA=.
由勾股定理,得AC==3,CE==.
∵四边形ADEC为平行四边形,
∴四边形ADEC的周长为(3+)×2=6+3.第3课时 三角形的中位线
三角形的中位线
1.(2024兰州中考)如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18 m,由此估测A,B两点之间的距离约为( )
A.18 m B.24 m
C.36 m D.54 m
2.(2024哈尔滨南岗区期中)已知三角形的各边长分别为6 cm,8 cm,10 cm,则连接各边中点所成三角形的周长为 ( )
A.24 cm B.18 cm
C.14 cm D.12 cm
3.如图,G,E,D是分别是AD,AC,BC的中点,BC=6,连接EG,则EG= .
4.(2024海南中考)如图是跷跷板示意图,支柱OM经过AB的中点O,OM与地面CD垂直于点M,OM=40 cm,当跷跷板的一端A着地时,另一端B离地面的高度为 cm.
5.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠EPF=140°,则∠EFP的度数是 .
6.如图,在△ABC中,中线BE,CD交于点O,F,G分别是OB,OC的中点,连接DF,FG,EG,DE.
求证:DF=EG.
7.如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接BE,过点C作CF∥BE,交DE的延长线于点F.若DE=1,求DF的长.
1.如图,F,G,H分别是边AD,BD,BC的中点,且AB=CD,∠ABD=30°,∠BDC=80°,则∠GHF= ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
2.如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,E,F分别是边AD,BC的中点.若CD=2AB=4,∠ABC=2∠C=60°,则EF的长为 .
3.(2024沧州盐山县期末)如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点,F是CB延长线上一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12,DE=4.
(1)求证:DE=BF.
(2)求四边形DEFB的周长.
4.在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点,连接EF.
(1)如图1,BE的延长线与边AC相交于点D,求证:EF=(AC-AB).
(2)如图2,请直接写出线段AB,AC,EF之间的数量关系.
图1 图2
5.(推理能力)(1)【课本再现】
如图1,DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BC,且DE=BC.
【定理证明】
证明:如图2,延长DE至点F,使得EF=DE,连接CF.请你根据小乐添加的辅助线,写出完整的证明过程.(不再添加新的辅助线)
(2)【知识应用】
如图3,在四边形ABCD中,AB=6,CD=8,∠BAC=30°,∠ACD=120°,E,F,M分别是AD,BC,AC的中点,求EF的长.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.D
3. 4.80 5.20°
6.证明:∵BE,CD都是△ABC的中线,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,DE=BC.
∵F,G分别是OB,OC的中点,
∴FG是△OBC的中位线.
∴FG∥BC,FG=BC.
∴DE∥FG,DE=FG.
∴四边形DEGF是平行四边形.
∴DF=EG.
7.解:∵D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,BC=2DE=2.
∵CF∥BE,EF∥BC,
∴四边形FEBC为平行四边形.
∴EF=BC=2.
∴DF=EF+DE=3.
课后提升
1.A 解析:∵F,G,H分别是边AD,BD,BC的中点,∴FG,GH分别是△ABD,△BDC的中位线.∴GF=AB且GF∥AB,
GH=CD且GH∥CD.∴∠FGD=∠ABD=30°,∠BGH=∠BDC=80°.∴∠HGE=180°-80°=100°.
∴∠FGH=100°+30°=130°.又∵AB=CD,∴GF=GH.∴∠GHF=∠GFH=×(180°-∠FGH)=25°.故选A.
2. 解析:∵∠ABC=2∠C=60°,∴∠C=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°.∴∠BDC=180°-30°-30°=120°.如图,取BD的中点G,连接EG,FG,
∵E,F分别是AD,BC的中点,∴EG∥AB,EG=AB,FG∥CD,FG=CD.∴∠EGD=∠ABD=30°,∠FGD=180°-
∠BDC=60°.∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=90°.∵CD=2AB=4,∴AB=2.∴EG=AB=1,FG=CD=2.∴在Rt△EFG中,EF===.
3.解:(1)证明:∵D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE为△ABC的中位线.
∴DE∥BC,DE=BC.
∵CF=3BF,∴BF=BC.
∴DE=BF.
(2)∵D是AC的中点,AC=12,
∴CD=AC=6.
∵DE=4,∴BC=2BF=2DE=8.
由勾股定理,得
DB===10.
∵DE=BF,DE∥BC,即DE∥BF,
∴四边形DBFE为平行四边形.
∴四边形DEFB的周长为2×(4+10)=28.
4.解:(1)证明:∵AE⊥BE,
∴∠AED=∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∠DAE+∠ADE=90°.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠ABE=∠ADE.
∴AB=AD.
∵AE⊥BE,
∴BE=DE.
∵F是BC的中点,
∴BF=FC.
∴EF=DC=(AC-AD)=(AC-AB).
(2)EF=(AB-AC).
解法提示:如图,延长AC交BE的延长线于点P.
∵AE⊥BE,
∴∠AEP=∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∠PAE+∠APE=90°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠PAE.
∴∠ABE=∠APE.
∴AB=AP.
∵AE⊥BP,
∴BE=PE.
∵F是BC的中点,
∴BF=FC.
∴EF=PC=(AP-AC)=(AB-AC).
5.解:(1)证明:∵DE是△ABC的中位线,
∴E为AC的中点,D为AB的中点.
∴AE=CE,AD=BD.
在△AED和△CEF中,
∴△AED≌△CEF(SAS).
∴AD=CF,∠EAD=∠ECF.
∴AB∥CF.
∵AD=BD,∴BD=CF.
∴四边形DBCF为平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∵DE=FE=DF,
∴DE∥BC,DE=BC.
(2)∵E,M分别是AD,AC的中点,
∴EM是△ADC的中位线.
∴EM=CD=4,EM∥CD.
∴∠EMC+∠ACD=180°.
∵∠ACD=120°,
∴∠EMC=60°.
同理可得,MF=AB=3,MF∥AB.
∴∠CMF=∠BAC.
∵∠BAC=30°,
∴∠CMF=30°.
∴∠EMF=∠CMF+∠EMC=90°.
∴EF===5.
