第2课时 矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图,在 ABCD中,在不添加任何辅助线的情况下,添加以下条件,能使 ABCD是矩形的是( )
A.AD⊥AB B.AB=BC C.AB∥CD D.∠A=∠C
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.
求证:四边形ADCE是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
3.已知四边形ABCD中,AC=BD,再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形,这个条件可以是( )
A.AC⊥BD
B.∠ABC=90°
C.AC与BD互相平分
D.AB=BC
4.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,连接BE,BE,CD的延长线相交于点F,连接AF,BD.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形.
(2)若∠BEA+2∠C=180°,求证:四边形ABDF是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
5.(2024高碑店期末)下列各图中,是矩形的是 ( )
A B
C D
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,AE平分∠BAC的外角,且∠AEB=90°.
求证:四边形ADBE是矩形.
1.依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是 ( )
A B
C D
2.(2024泰安期末)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.对于下列条件:①∠1+∠3=90°;②BC2+CD2=AC2;③∠1=∠2;④AC⊥BD.其中能判定四边形ABCD是矩形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点,连接EF,FG,GH,HE.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
4.如图,线段AB的端点B在直线MN上,过线段AB上的一点O作MN的平行线,分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C,D,连接AC,AD.添加一个适当的条件:当 时,四边形ACBD是矩形.
5.(2024兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
6.(推理能力)如图,在△ABC中,O是AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=4,CF=3,则EF的长为 .
(3)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并证明你的结论.
【详解答案】
课堂达标
1.A
2.证明:∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AE=BD.
∵D为BC的中点,
∴CD=BD.
∴CD∥AE,CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.
∴四边形ADCE是矩形.
3.C
4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∴∠BAE=∠FDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△BEA和△FED中,
∴△BEA≌△FED(ASA).
∴AB=DF.
又∵AB∥DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAE=∠C.
∵∠BEA+∠BAE+∠ABE=180°,
∠BEA+2∠C=180°,
∴∠BAE+∠ABE=2∠C.
∴∠BAE=∠ABE.
∴AE=BE.
由(1)知,四边形ABDF是平行四边形,
∴BE=BF.
∵AE=AD,
∴BF=AD.
∴四边形ABDF是矩形.
5.D
6.证明:如图.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2.
∵AE是∠BAF的平分线,
∴∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠3=90°,即∠DAE=90°.
∵AB=AC,∠1=∠2,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°.
∵∠AEB=90°,
∴∠DAE=∠ADB=∠AEB=90°.
∴四边形ADBE是矩形.
课后提升
1.A 解析:A.∵AD=BC=4,AB=CD=3,
∴四边形ABCD是平行四边形.不能判定为矩形,故选项A符合题意;B.∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形.故选项B不符合题意;C.∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°.∴AD∥BC.∵AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.故选项C不符合题意;D.∵AB=CD=3,AD=BC=4,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC=5,∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.故选项D不符合题意.故选A.
2.C 解析:①∵∠1+∠3=90°,∴∠ABC=90°.∴ ABCD是矩形.故①正确;②∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.∵BC2+CD2=AC2,∴BC2+AB2=AC2.∴∠ABC=90°.∴ ABCD是矩形.故②正确;③∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD.∵∠1=∠2,∴OA=OB.∴AC=BD.∴ ABCD是矩形.故③正确;
④∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴不能判定四边形ABCD是矩形.故④错误.综上所述,能判定四边形ABCD是矩形的条件有3个.故选C.
3.12 解析:在△DAC中,∵H,E分别为DC,DA的中点,∴HE是△DAC的中位线.∴HE∥AC,HE=AC=×8=4.同理可知,GF∥AC,GF=AC=4;HG∥BD∥EF,HG=EF=BD=×6=3.∴四边形EFGH是平行四边形.∵HE∥AC,EF∥BD,且BD⊥AC,∴HE⊥EF.∴四边形EFGH是矩形.∴四边形EFGH的面积为HE·EF=4×3=12.
4.O是AB的中点(答案不唯一) 解析:添加条件:O是AB的中点.∵CD∥MN,
∴∠OCB=∠CBM.∵BC平分∠ABM,∴∠OBC=∠CBM.∴∠OCB=∠OBC.
∴OC=OB.同理可证OB=OD,∴OB=OC=OD.∵O是AB的中点,∴OA=OB.∴四边形ACBD是平行四边形.
∵CD=OC+OD,AB=OA+OB,
∴AB=CD.∴平行四边形ACBD是矩形.
5.解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC 的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°.
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,
∴BD=CD=BC=2.
由(1)知,四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°.
∴在Rt△AEC中,由勾股定理,得
AC==.
∵EF⊥AC,
∴由三角形的面积公式,得
S△AEC=AC·EF=AE·CE.
∴EF===.
6.解:(1)证明:∵MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠FCD=∠OFC.
∴OE=OC,OC=OF.
∴OE=OF.
(2)5
(3)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
证明:∵AO=CO,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECA+∠ACF=∠ACB+ACD=∠BCD=90°,
∴四边形AECF是矩形.18.2特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
矩形的四个角都相等,对边平行且相等
1.(2024南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上.若∠2=41°,则∠1的度数为( )
A.41° B.51° C.49° D.59°
2.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分∠BED.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求DE的长.
矩形的对角线相等
3.(2024甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:CD=CE.
(2)若∠E=60°,求∠DOC的度数.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5.(2024邯郸邯山区期末)如图,嘉嘉利用刻度直尺(单位:cm)测量三角形纸片的尺寸,点B,C分别对应刻度尺上的刻度2和8,D为BC的中点.若∠BAC=90°,则AD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
6.如图,∠ACB=90°,∠A=20°,D是AB的中点,则∠DCB的度数是 .
1.(2024成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
2.(2024唐山丰润区期末)如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(2,4),则AC的长是 ( )
A.2 B.4 C.2 D.2
3.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,BC=8,则△BOE的周长为( )
A.10 B.8+2 C.8+2 D.14
4.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,BE∶DE=1∶3,则∠EAD= .
5.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F,若两阴影三角形的面积分别是3,4,则矩形ABCD的面积是 .
6.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是边BC上一点,∠DAE的平分线交BC的延长线于点F,交CD于点G.
(1)求证:EF=AE.
(2)连接EG,当EG⊥AE时,求CF的长.
7.(推理能力)如图,在矩形ABCD中,AD=4,AB=6,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是CD,DA延长线上的点,且DE=3,AF=2,连接EF,G是EF的中点.连接OE,交AD于点H,连接GH.
(1)猜想:H是OE的中点吗 并加以证明.
(2)求GH的长.
【详解答案】
课堂达标
1.C
2.解:(1)△BEC是等腰三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠BCE=∠DEC.
∵EC平分∠BED,
∴∠BEC=∠DEC.
∴∠BEC=∠BCE.
∴BE=BC.
∴△BEC是等腰三角形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD=1,BC=AD.
∵∠ABE=45°,
∴∠AEB=45°.
∴AE=AB=1.
∴BE==.
由(1)知,BE=BC=,
∴AD=BC=.
∴DE=AD-AE=-1.
3.C
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AB=CE.
∴CD=CE.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD.
∵四边形ABEC是平行四边形,
∴BE=AC.
∴BD=BE.
∵∠E=60°,
∴△BDE是等边三角形.
∴∠DBE=60°.
∵AC∥BE,
∴∠DOC=∠DBE=60°.
5.A 6.70°
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA=AC.∴AC⊥BD,∠ACB=
∠ACD不一定成立,AC=BD一定成立,AB=AD一定不成立.故选C.
2.D 解析:如图,连接OB,过点B作BM⊥x轴于点M.
∵点B的坐标是(2,4),
∴OM=2,BM=4.
由勾股定理,得
OB==2.
∵四边形OABC是矩形,
∴AC=OB=2.故选D.
3.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,∴∠BAD=∠ABC=90°,AB=CD=6,AD=BC=8.∵O是AC的中点,E是AD的中点,∴OE=CD=3,AE=AD=4.在Rt△ABE中,AE=4,AB=6,根据勾股定理,得BE===2.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC===10.∵O是AC的中点,∴BO=AC=5.∴△BOE周长为BO+OE+BE=5+3+2=8+2.故选C.
4.60° 解析:∵四边形ABCD为矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵BE∶DE=1∶3,∴BO=AO=2OE.∵AE⊥BD,
∴∠EAO=30°.∴∠AOE=60°.∴∠OAD=∠ODA=∠AOE=30°.∴∠EAD=∠EAO+∠OAD=30°+30°=60°.
5.28 解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴OD=OB,OA=OC,AD=BC,AD∥BC.
∴S△ABD=2×S△AOD.∵S矩形ABCD=BC·AB,S△ABD =AD·AB=BC·AB,∴S矩形ABCD=2×S△ABD.
∴S矩形ABCD=4×S△AOD.∵AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC.
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(AAS).∴S△OAE=S△OCF.
∴S△OAD=S阴影=3+4=7.
∴S矩形ABCD=4×7=28.
6.解:(1)证明:∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠DAF=∠F.
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAF=∠EAF.
∴∠F=∠EAF.
∴EF=AE.
(2)∵EG⊥AE,
∴∠AEG=90°.
∵在矩形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∴∠AEG=∠D.
∵∠EAG=∠DAG,AG=AG,
∴△AEG≌△ADG(AAS).
∴AE=AD=10.
∵在Rt△ABE中,AB=8,AE=10,
∴BE===6.
∵EF=AE=AD=BC,
∴EC+CF=EC+BE.
∴CF=BE=6.
7.解:(1)H是OE的中点.
证明:如图,取AD的中点N,连接ON.
∵在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∴BO=DO,∠DAB=90°,AB∥CD.
又∵N是AD的中点,
∴AN=DN=AD=2,ON∥AB,ON=AB=3.
∴ON∥CD,ON=DE=3,
∠ANO=∠DAB=90°.
∴∠NOH=∠DEH.
在△NHO和△DHE中,
∴△NHO≌△DHE(AAS).
∴EH=OH.
∴H是OE的中点.
(2)如图,连接OF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°.
∵ON∥DC,
∴∠FNO=∠ADC=90°.
∵AD=4,N是AD的中点,
∴AN=AD=2.
∵AF=2,
∴FN=AN+AF=4.
在△FON中,∠FNO=90°,ON=3,FN=4,
由勾股定理,得OF==5.
∵G是EF的中点,H是OE的中点,
∴GH=OF=.
