18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质
菱形的性质
1.(2024济宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则菱形的边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.已知下列选项中的图形均为菱形,所标数据错误的是 ( )
A B
C D
3.如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD.若∠1=25°,则∠2的度数为 ( )
A.25° B.65° C.75° D.85°
4.已知菱形对角线的长度分别为6 cm,8 cm,那么该菱形的周长为 cm.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADC=60°,AC=10,E是AD的中点,则OE的长是 .
6.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC.
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
菱形的面积
7.已知菱形的周长为20 cm,两条对角线的比为3∶4,则菱形的面积为 ( )
A.48 B.24 C.12 D.384
8.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=16,BD=12.求菱形的高DH.
1.(2024临夏州中考)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(-,4) C.(-2,4) D.(-4,)
2.(2024青岛中考)如图,在菱形ABCD中,BC=10,面积为60,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则EO= .
3.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若∠B=45°,BC=2,则GH的最小值为 .
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为边AD的中点,OE=5,OB=8,则菱形ABCD的面积为 .
5.如图,在 ABCD中,O为BD的中点,点E在AD上,连接EO并延长交BC于点F,连接BE,DF.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形.
(2)若AB=3,AD=6,∠BAD=135°,当四边形BEDF为菱形时,求AE的长.
6.(推理能力)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,∠MAN=60°,连接MN.
(1)△AMN是等边三角形吗 若是,请证明;若不是,请说明理由.
(2)在点M,N运动的过程中,四边形CMAN的面积是否发生变化 若不变化,请求出面积的值;若变化,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.D 3.B
4.20 5.5
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵BE=AB,
∴BE=CD,BE∥CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BD=EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,
∴BD∥CE.
∴∠ABO=∠E=50°.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
∴AOB=90°.
∴∠BAO=90°-∠ABO=40°.
7.B
8.解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OD=OB=BD=6,OA=OC=AC=8.
∴AB===10.
∵DH⊥AB,
∴菱形ABCD的面积=AB·DH=
AC·BD.
∴DH==.
课后提升
1.C 解析:如图,过点C作CN⊥x轴于点N.
∵点C的坐标为(3,4),
∴ON=3,CN=4.
∴OC==5.
∵四边形ABOC是菱形,
∴AC=OC=5,AC∥BO.
∴点A的坐标为(-2,4).故选C.
2. 解析:∵四边形ABCD为菱形,BC=10,面积为60,AE⊥BC,∴AB=BC=10,AO=CO,BC·AE=60,即10AE=60.∴AE=6.在Rt△ABE中,BE===8,∴EC=BC-BE=2.∴在Rt△AEC中,AC==
=2.∵EO是Rt△AEC斜边上的中线,∴EO=AC=.
3. 解析:如图,连接AF.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=2.∵G,H分别为AE,EF的中点,∴GH是△AEF的中位线.∴GH=AF.当AF⊥BC时,AF最小,此时GH最小,则∠AFB=90°,∵∠B=45°,∴∠BAF=45°.∴△ABF是等腰直角三角形.由勾股定理,得AF2+BF2=AB2,∴AF=BF=AB=×2=.∴GH=AF=.∴GH的最小值为.
4.96 解析:∵菱形的对角线AC,BD交于点O,OB=8,∴OA=OC,OB=OD,BD=2OB=16,AC⊥BD.∵E为边AD的中点,OE=5,∴AD=2OE=10.∴AO===6.∴AC=2OA=12.∴S菱形ABCD=AC·BD=×12×16=96.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD.
∴∠ADB=∠CBD.
又∵O为BD的中点,
∴BO=OD.
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA).
∴DE=BF.
又∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)如图,过点B作BH⊥AD,交DA的延长线于点H.
∵∠BAD=135°,
∴∠BAH=45°.
∴BH=HA.
在Rt△ABH中,∵AB=3,
∴BH=HA=3.
设AE=x.
∵四边形BEDF为菱形,
∴EB=ED=6-x.
在Rt△BHE中,BH2+HE2=BE2,
∴32+(3+x)2=(6-x)2.
解得x=1.
∴AE=1.
6.解:(1)△AMN是等边三角形.
证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD.
∴△ABC,△ACD都是等边三角形.
∴AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACD=∠MAN=60°.
∴∠BAM=∠CAN.
在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(ASA).
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)四边形CMAN的面积不发生变化.
∵△BAM≌△CAN,
∴S△BAM=S△CAN.
∴S四边形CMAN=S△ABC.
∴四边形CMAN的面积不发生变化.
如图,过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠B=60°,
∴∠BAE=90°-∠B=30°.
∴BE=AB=1.
∴在Rt△ABE中,AE==.
∴S△ABC=BC·AE=×2×=.
∴S四边形CMAN=.第2课时 菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.(2024邯郸月考)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA.求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=DA,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵“ ”,
∴四边形ABCD是菱形.
在以上证明过程中,“ ”可以表示的是 ( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC
C.AB=BC D.AB∥DC
2.如图,在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD,AC平分∠BAD.
求证:四边形ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.如图,在 ABCD中,AC,BD是两条对角线,如果添加一个条件,可推出 ABCD是菱形,那么这个条件可以是 ( )
A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BC
4.(2024保定期末)如图, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,E,F是线段BD上的两点,连接AE,EC,CF,FA,已知∠AEB=∠CFD.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AB=BC,求证:四边形AECF是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
5.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相平分的平行四边形是菱形
1.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是 ( )
A.AC=BD B.∠ADB=∠CDB
C.∠ABC=∠DCB D.AD=BC
2.(开放性试题)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,AE=FB.只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).
3.(2024广西中考)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
4.如图,已知BD为 ABCD的对角线.BD的垂直平分线分别交AD,BC,BD于点E,F,O,连接BE,DF.
求证:四边形BEDF为菱形.
5.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)连接AF,CE.当BD与AC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形 请说明理由.
6.(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB.
(2)求证:四边形ADCF是菱形.
(3)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.C
2.证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB∥CD.
∴∠BAC=∠ACD.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC.
∴∠ACD=∠DAC.
∴CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
3.C
4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴BE=DF.
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
由(1)知,四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF是菱形.
5.B
课后提升
1.B 解析:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.∵OA=OC,∴△AOB≌△COD(AAS).∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴∠ABC=∠ADC.A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形.故选项A不符合题意;B.
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.∵∠ADB=∠CDB,∴∠ADB=∠ABD.∴AD=AB.∴四边形ABCD是菱形.故选项B符合题意;C.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵∠ABC=∠DCB,∴∠ABC=∠DCB=ADC=90°.∴四边形ABCD是矩形.故选项C不符合题意;D.当AD=BC时,不能判定四边形ABCD是菱形.故选项D不符合题意.故选B.
2.AE=AB(答案不唯一) 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB.∵AE=FB,∴四边形AEFB是平行四边形.又∵AE=AB,∴四边形AEFB是菱形.
3.8 解析:如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
∴∠AEB=∠AFD=90°.
∵两张纸条的宽度均为3 cm,
∴四边形ABCD为平行四边形,且AE=AF=3 cm.
∵∠ADF=∠ABE=60°,
∴△ADF≌△ABE(AAS).
∴AD=AB.
∴四边形ABCD是菱形.
在Rt△ADF中,∠ADF=60°,AF=3 cm,∴∠DAF=30°.∴AD=2DF.∴在Rt△AFD中,AF2+DF2=AD2.
∴32+DF2=4DF2.∴DF=.∴AD=2 cm.∴四边形ABCD的周长为2×4=8(cm).
4.证明:∵EF垂直平分BD,
∴BE=DE,BF=DF,
∠BOE=∠DOE=90°.
∴∠EBO=∠EDO.
∵∠BEO+∠EBO=∠DEO+∠EDO=90°,
∴∠BEF=∠DEF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DE∥BF.
∴∠DEF=∠BFE.
∴∠BEF=∠BFE.
∴BE=BF.∴DE=BE=BF=DF.
∴四边形BEDF为菱形.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADB=∠CBD.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)当AC⊥BD时,四边形AFCE是菱形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
∵△ADE≌△CBF,
∴AE=CF,∠AED=∠CFB.
∴AE∥CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AC⊥BD,即AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形.
6.解:(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中,
∴△AEF≌△DEB(AAS).
(2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,
∴AF=DB.
∵D是BC的中点,
∴DB=DC.∴AF=DC.
∵AF∥BC,即AF∥DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BC=DC.
∴四边形ADCF是菱形.
(3)如图,连接DF.
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∴DF=AB=4.
∵四边形ADCF是菱形,
∴S菱形ADCF=AC·DF=×3×4=6.
