第2课时 正比例函数的图象和性质
正比例函数的图象
1.在下列图象中,函数y=x的大致图象是 ( )
A B
C D
2.(2024承德兴隆县期末)若一个正比例函数的图象经过点A(3,-6),则这个正比例函数的解析式为( )
A.y=-2x B.y=2x
C.y=3x D.y=-6x
3.在同一平面直角坐标系内画出正比例函数y=4x和y=x的图象.
正比例函数的性质
4.若函数y=(m+1)是正比例函数,且图象经过第一、第三象限,则m的值是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.3
5.(2024石家庄正定县期末)关于函数y=x,下列结论中正确的是 ( )
A.函数的图象必经过点(1,3)
B.函数的图象经过第二、第四象限
C.y随x的增大而增大
D.不论x取何值,总有y>0
6.已知函数y=kx(k≠0,k为常数)的函数值y随x的增大而减小,那么这个函数图象可能经过的点是( )
A.(0.5,1) B.(2,1)
C.(-2,4) D.(-2,-2)
7.(2024山西中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在正比例函数y=3x的图象上,若x1
A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.y1≥y2
8.(开放性试题)写一个图象经过第二、第四象限的正比例函数: .
9.若在正比例函数y=(m-1)中,y随x的增大而增大,则m的值为 .
10.已知函数y=(2m-9)x|m|-5是正比例函数,分别根据下列条件求m的值:
(1)y随x的增大而增大.
(2)图象经过第二、第四象限.
1.若y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,如果点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,那么a和b的大小关系是 ( )
A.ab
C.a≤b D.a≥b
2.对于正比例函数y=3x,当2≤x≤4时,y的最大值为 .
3.(2024哈尔滨南岗区开学)如图,已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3.
(1)求正比例函数的解析式.
(2)点P在x轴上,若要使△AOP的面积为5,求点P的坐标.
4.(抽象能力)用描点法画出函数y=2x,y=-2x,y=x与y=-x的图象如图.
根据图象回答问题:
(1)观察图象并写出正比例函数图象的特点: .
(2)画正比例函数y=kx(k≠0)的图象,只要找出几个点就可以了 为什么
(3)观察上述正比例函数的图象可知:
①y=2x和y=x的图象都经过第 象限,从左向右看,y的值随x的增大而 .哪一个图象与x轴正方向所成的锐角较大,由此你得到什么结论
②y=-2x和y=-x的图象都经过第 象限,从左向右看,y的值随x的增大而 .哪一个图象与x轴正方向所成的锐角较大,由此你得到什么结论
(4)在同一平面直角坐标系中,正比例函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图所示,利用(3)中的结论,直接写出a,b,c,d的大小关系: (用“<”连接).
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.A
3.解:直线y=4x过点(0,0),(1,4);直线y=x过点(0,0),(4,1).
在同一平面直角坐标系中画出函数图象如图.
4.A 5.C 6.C 7.B
8.y=-2x(答案不唯一) 9.3
10.解:(1)∵正比例函数y=(2m-9)x|m|-5,y随x的增大而增大,
∴2m-9>0,且|m|-5=1.
解得m=6.
(2)∵正比例函数y=(2m-9)x|m|-5的图象经过第二、第四象限,
∴2m-9<0,且|m|-5=1.
解得m=-6.
课后提升
1.B 解析:∵y=(m-2)x+m2-4是y关于x的正比例函数,∴∴m=-2.∴正比例函数的解析式为y=-4x.∵k=-4<0,∴y随x的增大而减小.又∵点A(m,a)和点B(-m,b)在该函数的图象上,且m<-m,∴a>b.故选B.
2.12 解析:∵在正比例函数y=3x中,k=3>0,∴y随x的增大而增大.∵2≤x≤4,∴当x=4时,y最大=3×4=12.
3.解:(1)∵点A的横坐标为3,AH⊥x轴,
∴OH=3.
∵△AOH的面积为3,
∴×3×AH=3.∴AH=2.
∴点A的纵坐标为-2.
∴点A的坐标为(3,-2).
∵正比例函数y=kx的图象经过点A,
∴3k=-2.解得k=-.
∴正比例函数的解析式是y=-x.
(2)∵△AOP的面积为5,点A的坐标为(3,-2),
∴OP×2=5.∴OP=5.
∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0).
4.解:(1)经过原点的直线
(2)画正比例函数y=kx(k≠0)的图象,只要找出两个点就可以了,因为两点确定一条直线.
(3)①一、第三 增大
y=2x的图象与x轴正方向所成的锐角较大.
结论:当k>0时,k值越大,直线与x轴正方向所成的锐角越大.
②二、第四 减小
y=-2x的图象与x轴正方向所成的锐角较大,
结论:当k<0时,k的绝对值越大,直线与x轴正方向所成的锐角越大.
(4)b19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
正比例函数及其相关概念
1.下列函数中,y是x的正比例函数的是( )
A.y=2x-1 B.y=2x2
C.y=x D.y=
2.(2024西安开学)下面各选项中的两种量,成正比例关系的是 ( )
A.平行四边形面积一定,它的底和高
B.已知y=3+x,y和x
C.正方体的表面积与它的一个面的面积
D.已知9∶x=y∶4,y和x
求正比例函数的解析式
3.已知小球从点A运动到点B,速度v(m/s)是时间t(s)的正比例函数,3 s时小球的速度是6 m/s,那么速度v与时间t之间的关系式是 ( )
A.v= B.v=
C.v=3t D.v=2t
4.已知y与x之间成正比例关系,且当x=-1时,y=3.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当x=2时,求y的值.
1.(2024长沙雨花区期末)若函数y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,则k的值为( )
A.-2 B.±2
C.2 D.
2.据测试:拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05 mL.小康同学洗手后,没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小康离开x min后,水龙头滴出y mL的水,y与x之间的函数解析式是 .
3.在y=y1-2y2中,y1与x成正比例关系,y2与(x+1)成正比例关系,且当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)若点(a,7)在这个函数图象上,求a的值.
4.(模型观念)已知△ABC的底边BC长为8,当边BC上的高从小到大变化时,△ABC的面积也随之变化.
(1)写出△ABC的面积y与边BC上的高x之间的函数解析式,并指明它是不是正比例函数.
(2)列表格表示当x由5变到10时(每次增加1),y的相应值.
(3)观察表格,请回答:当x每增加1时,面积y如何变化
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.C 3.D
4.解:(1)∵y与x之间成正比例关系,
∴设y与x之间的函数解析式为y=kx(k≠0).
把x=-1,y=3代入y=kx,得k=-3.
∴y与x之间的函数解析式为y=-3x.
(2)把x=2代入y=-3x,
得y=-3×2=-6.
课后提升
1.C 解析:∵y=(k+2)x+k2-4是正比例函数,∴k+2≠0且k2-4=0.解得k=2.故选C.
2.y=5x 解析:由题意,得y=100×0.05x,
即y=5x.
3.解:(1)设y1=k1x(k1≠0),y2=k2(x+1)(k2≠0),
则y=k1x-2k2(x+1).
根据题意,得解得
∴y与x的函数解析式为
y=x-2×(-)(x+1)=2x+1.
(2)把x=a,y=7代入y=2x+1,
得2a+1=7.
解得a=3.
4.解:(1)由题意,得△ABC的面积y与边BC的高x之间的函数解析式为
y=BC·x=×8×x=4x.
它是正比例函数.
(2)列表如下:
x … 5 6 7 8 9 10 …
y … 20 24 28 32 36 40 …
(3)由(2)可知,当x每增加1时,面积y增加4.