第2课时 一次函数的图象和性质
画一次函数图象
1.作出函数y=-2x+3的图象.
一次函数图象的平移
2.要得到一次函数y=-2x-4的图象,可把直线y=-2x ( )
A.向下平移4个单位长度
B.向上平移4个单位长度
C.向左平移4个单位长度
D.向右平移4个单位长度
3.若直线y=kx+2是由直线y=-2x-1平移得到的,则k的值为 ,即将直线y=-2x-1沿y轴向 平移 个单位长度.
一次函数的图象和性质
4.(2024保定易县期末)在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+3的图象是 ( )
A B
C D
5.一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x的增大而减小,则k的取值范围是 ( )
A.k>0 B.k<0
C.k>3 D.k<3
6.(2024兰州中考)一次函数y=2x-3的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.下列有关一次函数y=-4x-2的说法中,正确的是 ( )
A.y随x的增大而增大
B.函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)
C.当x>0时,y>-2
D.函数图象经过第二、第三、第四象限
8.在平面直角坐标系中,画一次函数y=-3x+3的图象时,通常过点 和 画一条直线.
9.若点A(-1,y1)和点B(2,y2)在一次函数y=-3x+b的图象上,则y1 (填“>”“<”或“=”)y2.
10.已知一次函数y=2x-3.
(1)画出函数图象.
(2)观察图象,写出函数图象两个不同类型的特征.
1.若一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,则下列选项正确的是 ( )
A.k<0,b>0 B.k<0,b<0
C.k<0,b≤0 D.k<0,b≥0
2.(新定义)定义新运算:m n=-mn+n,则对于函数y=x 2,下列说法正确的是 ( )
A.y随x的增大而减小
B.该函数的图象经过点(-2,-4)
C.当0
D.该函数的图象不经过第四象限
3.已知一次函数y=-x+3,当-3≤x≤4时,y的最大值是 ,最小值是 .
4.将直线y=2x先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到的函数解析式为 .
5.已知一次函数y=(2m+4)x+(3-m).
(1)当y随x的增大而增大时,求m的取值范围.
(2)若函数图象经过第一、第二、第三象限,求m的取值范围.
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
6.(2024石家庄期中)已知一次函数y=2x+4.
(1)图象与x轴的交点A的坐标是 ,与y轴的交点B的坐标是 .
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象.
(3)求△AOB的面积.
7.(推理能力)如图,一次函数y=2x+2的图象为直线l,菱形AOBA1,A1O1B1A2,A2O2B2A3,…,按图中所示的方式放置,顶点A,A1,A2,A3,…均在直线l上,顶点O,O1,O2,…均在x轴上,求点B2 024的纵坐标.
【详解答案】
课堂达标
1.解:∵当x=0时,y=3;当y=0时,x=,∴函数y=-2x+3的图象经过点(0,3),(,0).其图象如图:
2.A 3.-2 上 3 4.C 5.D 6.B 7.D
8.(1,0) (0,3) 9.>
10.解:(1)对于y=2x-3,当x=0时,y=-3;
当y=0时,x=.
函数图象如图:
(2)由函数图象可知,
特征一:函数图象经过第一、第三、第四象限;
特征二:y随x的增大而增大.
课后提升
1.D 解析:∵一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限,即图象经过第一、第二、第四象限或第二、第四象限,∴k<0,b≥0.故选D.
2.A 解析:∵m n=-mn+n,∴y=x 2=-2x+2.A.y随x增大而减小,正确,故本选项符合题意;B.当x=-2时,y=-2×
(-2)+2=6,∴该函数的图象经过点(-2,6).原说法错误,故本选项不符合题意;C.当03. 1 解析:∵一次函数y=-x+3,∴y随x的增大而减小.∵-3≤x≤4,∴当x=-3时,y取得最大值,此时y=-×(-3)+
3=;当x=4时,y取得最小值,此时y=-×4+3=1.
4.y=2x+7 解析:将直线y=2x先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到的函数解析式为y=2(x+2)+3,即y=2x+7.
5.解:(1)根据题意,得2m+4>0.
解得m>-2.
(2)根据题意,得
解得-2(3)将m=1代入y=(2m+4)x+(3-m),
得y=6x+2.
当x=-1时,y=6×(-1)+2=-4;
当x=2时,y=6×2+2=14.
∵k=6>0,
∴y随x的增大而增大.
∴y的取值范围是-4≤y≤14.
6.解:(1)(-2,0) (0,4)
(2)函数图象如图所示.
(3)S△AOB=OA·OB=×2×4=4.
7.解:∵一次函数y=2x+2,当x=0时,y=2,
∴点A1(0,2).
设直线l与x轴交于点M.
当y=0时,2x+2=0,解得x=-1.
∴点M(-1,0).
∵四边形AOBA1是菱形,
∴A1O1与A1M关于y轴对称,OA1与AB互相垂直平分.
∴点O1(1,0),AB∥x轴,且AB是△MA1O1的中位线,
∴点B(,1).
同理,O1A2与A1B1互相垂直平分.
把x=1代入y=2x+2,得y=4.
∴点A2(1,4).
∵O1A2垂直平分A1B1,
∴点O2(3,0),B1(2,2).
把x=3代入y=2x+2,得y=8.
∴点A3(3,8).
∵O2A3垂直平分A2B2,∴点B2(5,4).
……
以此类推,点Bn的纵坐标是2n.
∴点B2 024的纵坐标为22 024.19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
一次函数的概念
1.有下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1.其中一次函数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024乌鲁木齐新市区期末)若y=(k-3)x|k|-2+5是一次函数,则k的值为 .
列一次函数解析式
3.一个矩形的长为3,宽为a,周长为C,则C与a之间的函数解析式为 ( )
A.C=3a B.C=2a+6
C.C=a+3 D.C=3a2
4.甲、乙两地间的路程为118 km,汽车从甲地驶往乙地,它的平均速度是75 km/h,则汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是 .
1.有下列函数:①y=πx;②y=8x-6;③y=;④y=-8x;⑤y=5x2-4x+1.其中一次函数有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.把方程3x-2y=1写成y是x的一次函数的形式是 ,当x=-1时,y的值为 .
3.一水池的容积是90 m3,现蓄水10 m3,用水管以5 m3/h的速度向水池注水,直到注满为止.写出蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数解析式: .(写出自变量t的取值范围)
4.已知y=(m-2)x+|m|-2.
(1)当m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是一次函数
(2)当m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是正比例函数
5.等腰三角形的周长为30 cm.
(1)若底边长为x cm,腰长为y cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围.
(2)若腰长为x cm,底边长为y cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围.
6.(抽象能力)如图,在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P,点P由点A(起点)出发,沿着折线A→B→C→D向点D(终点)移动,设点P移动的路程为a,△DAP的面积为S,试写出S关于a的函数解析式.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.-3 3.B
4.s=-75t+118
课后提升
1.B 解析:在①y=πx;②y=8x-6;③y=;④y=-8x;⑤y=5x2-4x+1中,是一次函数的有①y=πx;②y=8x-6;④y=-8x,共3个.故选B.
2.y=1.5x-0.5 -2 解析:由3x-2y=1,可得y=1.5x-0.5,把x=-1代入y=1.5x-0.5,得y=-2.
3.V=10+5t(0≤t≤16) 解析:由题意,得V=10+5t.∵水池的容积是90 m3,∴10+5t≤90.∴t≤16.又∵t≥0,∴0≤t≤16.
∴蓄水量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数解析式为V=10+5t(0≤t≤16).
4.解:(1)由题意,得m-2≠0.解得m≠2.
(2)由题意,得|m|-2=0,且m-2≠0.解得m=-2.
5.解:(1)∵等腰三角形的周长为30 cm,底边长为x cm,腰长为y cm,
∴y与x的关系式为x+2y=30,
即y=-x+15.
∵2y>x,∴-x+30>x.∴x<15.
∴自变量的取值范围是0(2)∵等腰三角形的周长为30 cm,腰长为x cm,底边长为y cm,
∴y与x的关系式为y=-2x+30.
∵2x>y,∴2x>-2x+30.解得x>7.5.
又∵2x<30,∴x<15.
∴自变量的取值范围是7.56.解:当0当1当2综上所述,S关于a的函数解析式为S=第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式
1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则该函数的解析式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=-2x-1 D.y=x
2.(2024广州期中)一次函数y=kx+b在平面直角坐标系中的图象如图所示,这条直线的函数解析式为 ( )
A.y=2x+4 B.y=-2x+4
C.y=4x+2 D.y=-4x-2
3.经过两点(2,3),(-1,-3)的一次函数的解析式为 ( )
A.y=x+1 B.y=x-2
C.y=2x-1 D.y=-2x+1
4.在下面的表格中,y是x的一次函数,那么这个函数的解析式是 ,其中a= ,
b= .
x -2 -1 0 a
y -3 b -1 0
5.如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象互相平行,且经过点A,则一次函数y=kx+b的解析式为 .
6.(2024哈尔滨南岗区期中)已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9).
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)当y=8时,求x的值.
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积
7.(2024河间期末)已知O为坐标原点,等腰三角形OAB的面积为3,其底边OB在x轴上,且点B的坐标为(2,0),点A在第四象限,则OA所在的直线的解析式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
8.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点A(6,-3)和点B(-2,5).
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
1.直线y=2x+1如图所示,过点P(2,1)作与它平行的直线y=kx+b,则 ( )
A.k=2,b=3 B.k=2,b=-3
C.k=2,b=-1 D.k=-2,b=-3
2.一个一次函数的图象经过点A(0,-3),且和x轴交于点B,如果该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为6,那么该一次函数的解析式为 ( )
A.y=x-3 B.y=x-3
C.y=x-3或y=-x-3 D.y=x-3或y=-x-3
3.(2024衡水枣强县月考)如图,将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点A,B,则直线l的解析式为 .
4.如图,在平面直角坐标系中, ABCO的顶点O(0,0),点A在x轴的正半轴上,∠COA的平分线OD交CB于点D(3,4),则直线OC的解析式为 .
5.(2024秦皇岛青龙县期末)如图,在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(-1,2).
(1)求直线OB的解析式.
(2)求直线AB的解析式,并直接写出直线AB与y轴的交点C的坐标.
(3)求△OCB的面积.
6.(模型观念)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-2x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,直线l2经过△OAB的顶点B,且将△OAB的面积分为1∶3的两部分,求直线l2的解析式.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.A 3.C
4.y=x-1 1 -2 5.y=2x-4
6.解:(1)设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵y=kx+b的图象过点(3,5)与(-4,-9),
∴解得
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1.
(2)当y=8时,8=2x-1,
∴x=4.5.
7.B
8.解:(1)设这个一次函数的解析式为
y=kx+b(k≠0).
∵一次函数的图象经过点A(6,-3)和点B(-2,5),
∴代入得解得
∴这个一次函数的解析式是y=-x+3.
(2)y=-x+3,
当x=0时,y=3,
当y=0时,x=3,
∴函数y=-x+3的图象与坐标轴的交点坐标分别为(0,3)和(3,0).
∴该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是
×3×3=4.5.
课后提升
1.B 解析:∵直线y=kx+b与直线y=2x+1平行,∴k=2.∵点P(2,1)在直线y=kx+b上,∴2k+b=1.
∴b=-2k+1=-2×2+1=-3.故选B.
2.C 解析:∵S△AOB=×3×OB=6,∴OB=4.∴点B(4,0)或(-4,0).∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,-3),∴b=-3.将点B代入,得4k-3=0或-4k-3=0.解得k=或-.∴一次函数的解析式为y=x-3或y=-x-3.故选C.
3.y=x+1 解析:由题图可知,点A,B的坐标分别是(0,1),(4,3),设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0).将点A,B的坐标代入直线l的解析式,得解得∴直线l的解析式为y=x+1.
4.y=-x 解析:∵四边形ABCO是平行四边形,∴BC∥OA.∴∠CDO=∠AOD.
如图,设BC与y轴交于点E.
∵点D(3,4),
∴DE=3,OE=4.
∵OD平分∠AOC,
∴∠COD=∠AOD.
∴∠CDO=∠COD.
∴CD=CO.
设CE=x,则CD=CO=3+x.
∵CE2+OE2=OC2,
∴x2+42=(3+x)2.解得x=.
∴CE=.∴点C(-,4).
设直线OC的解析式为y=kx(k≠0).
∵点C(-,4)在直线OC上,
∴4=-k,解得k=-.
∴直线OC的解析式为y=-x.
5.解:(1)设直线OB的解析式为y=kx(k≠0).
将点B(-1,2)代入,得-k=2.
解得k=-2.
∴直线OB的解析式为y=-2x.
(2)设直线AB的解析式为y=mx+b(m≠0).
将点A(-3,0),B(-1,2)代入,
得解得
∴直线AB的解析式为y=x+3.
直线AB与y轴的交点C的坐标为(0,3).
(3)S△OCB=OC·|xB|=×3×1=.
6.解:∵l1:y=-2x+4,
∴当x=0时,y=4;当y=0时,x=2.
∴点A(0,4),B(2,0).∴OA=4.
设直线l2与y轴交于点E,l2的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵直线l2将△OAB的面积分为1∶3的两部分,如图.
分以下两种情况讨论:
①当=3时,
则OE1=OA=1.
∴点E1(0,1).
将点B,E1的坐标代入
y=kx+b,
得解得
∴直线l2的解析式为y=-x+1.
②当3=时,
则OE2=OA=3,∴点E2(0,3).
将点B,E2的坐标代入y=kx+b,
得解得
∴直线l2的解析式为y=-x+3.
综上所述,直线l2的解析式为y=-x+1或y=-x+3.第4课时 一次函数的实际应用
一次函数的简单应用
1.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为 ( )
A.20 kg B.25 kg C.28 kg D.30 kg
2.(2024湖北中考)铁的密度为7.9 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)与它的体积V(单位:cm3)之间的函数关系式为m=7.9V,当V=10 cm3时,m的值为 g.
3.(2024张家口宣化区期末)已知A,B两地相距4 800 m,甲从A地出发步行到B地,20 min后乙从B地出发骑自行车到A地,设甲步行的时间为x min,甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m、y2 m,
y1,y2与x的函数关系图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)直接写出y1,y2关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(2)甲出发后多少分钟两人相遇,相遇时乙离A地多少米
分段函数的应用
4.自来水公司采用分段收费标准收水费,每月收取的水费y(元)与用水量x(t)之间的函数关系如图所示.琪琪家5月份用水14 t,应收水费 ( )
A.22元 B.33元 C.39元 D.42元
5.如图1是一个深50 cm的圆柱形容器,底部放入一个长方体铁块,现在以一定的速度向容器内注水,图2是容器顶部离水面的距离y(cm)随时间x(min)的变化图象.
(1)放入的长方体的高度为 cm.
(2)求BC所在直线的函数解析式.
(3)求该容器注满水所用的时间.
图1 图2
1.(2024邯郸期末)某超市为了满足人们的需求,计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售,甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示.该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有),其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍.设购进甲种粽子m个,两种粽子全部售完时获得的利润为w元.
项目 进价/(元/个) 售价/(元/个)
甲种粽子 10 12
乙种粽子 12 15
(1)求w与m的函数解析式,并求出m的取值范围.
(2)超市应如何进货才能获得最大利润,最大利润是多少元
2.小明从学校步行去美术馆,同时小红骑车从美术馆回学校,两人都沿同一条路直线运动,小红回到学校停留3 min后又以同样的速度去美术馆,小明的速度是80 m/min,如图是两人与学校的距离s(m)与小明的运动时间t(min)之间的关系图象.
(1)学校与美术馆的距离为 m.
(2)求小红停留再出发后s与t的函数解析式.
(3)请求出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间.
3.(应用意识)繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具,某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种道具按40元/件的价格出售,设繁花歌舞团购买甲种道具x件,付款y元,y与x之间的函数关系如图所示.
(1)求当0≤x≤60和x>60时,y与x的函数解析式.
(2)若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件,且甲种道具的数量不少于乙种道具数量的,乙种道具的数量不少于35件,如何分配甲、乙两种道具的购进量,才能使繁花歌舞团付款的总金额w(元)最少
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.79
3.解:(1)y1=80x(0≤x≤60),
y2=-120x+7 200(20≤x≤60).
解法提示:设y1=k1x(k1≠0).
将点(60,4 800)代入y1=k1x,得60k1=4 800.
解得k1=80.
∴y1=80x(0≤x≤60).
设y2=k2x+b(k2≠0).
将点(20,4 800),(60,0)代入y2=k2x+b,
得解得
∴y2=-120x+7 200(20≤x≤60).
(2)令y1=y2,则80x=-120x+7 200,
解得x=36.
∴y2=-120×36+7 200=2 880.
∴甲出发36 min后两人相遇,相遇时乙离A地2 880 m.
4.C
5.解:(1)20
(2)设BC所在直线的解析式为
y=kx+b(k≠0).
∵该直线经过点B(3,30),C(9,20),
∴解得
∴BC所在直线的函数解析式为
y=-x+35.
(3)当y=0时,-x+35=0.
解得x=21.
∴该容器注满水所用的时间为21 min.
课后提升
1.解:(1)设购进甲种粽子m个,则购进乙种粽子(200-m)个.
根据题意,得w=(12-10)m+(15-12)·(200-m)=-m+600.
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍,
∴m≥2(200-m).解得m≥.
∴≤m<200且m为正整数.
∴w与m的函数解析式及m的取值范围是
w=-m+600(≤m<200且m为正整数).
(2)∵在w=-m+600中,-1<0,
∴w随m的增大而减小.
∵≤m<200且m为正整数,
∴当m=134时,w的值最大,
w最大=-134+600=466,
此时200-m=200-134=66.
∴超市应购进甲种粽子134个、乙种粽子66个才能获得最大利润,最大利润是466元.
2.解:(1)1 600
(2)由图可得,小红的速度是
1 600÷2=800(m/min),
∵小红停留后以同样的速度前往美术馆,
∴当她到达美术馆时t=5+2=7(min).
设小红停留再出发后s与t的函数解析式为
s=kt+b(k≠0).
把点(5,0)和(7,1 600)代入s=kt+b,得
解得
∴小红停留再出发后s与t的函数解析式为
s=800t-4 000.
(3)小红从美术馆回学校的途中,
设t1 min时两人相遇.
由题意,得80t1+800t1=1 600.
解得t1=.
小红从学校去美术馆的途中,
设t2 min时两人相遇.
由题意,得80t2=800t2-4 000.
解得t2=.
∴小明和小红在途中相遇时小明的运动时间是 min或 min.
3.解:(1)当0≤x≤60时,设y=k1x(k1≠0).
根据题意,得60k1=2 640.
解得k1=44.∴y=44x.
当x>60时,设y=k2x+b(k2≠0).
根据题意,得
解得
∴y=38x+360.
∴综上所述,y与x的函数解析式为
y=
(2)设购进甲种道具a件,则购进乙种道具(120-a)件.
∵甲种道具的数量不少于乙种道具数量的,乙种道具的不少于35件,
∴解得75≤a≤85.
∵a>60,
∴w=38a+360+40(120-a)=38a+360+4 800-40a=-2a+5 160.
∵-2<0,∴w随a的增大而减小.
∴当a=85时,w最小,
乙种道具购进120-85=35(件).
答:购进甲种道具85件、乙种道具35件,才能使繁花歌舞团付款的总金额w(元)最少.