第十七章 勾股定理 评估测试卷（含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册

第十七章 勾股定理评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2024武汉洪山区期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,若AC=1,AB=2,则BC的长是 (　　)
A.1 B. C.2 D.
2.下列定理中,没有逆定理的是 (　　)
A.等腰三角形的两个底角相等 B.对顶角相等
C.两直线平行,同位角相等 D.直角三角形的两个锐角互余
3.如图,在平面直角坐标系中,有两点的坐标分别为(2,0)和(0,3),则这两点之间的距离是 (　　)
A. B. C.13 D.5
4.若3,4,a为勾股数,则a的值为 (　　)
A. B.5 C.5或7 D.5或
5.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,AD为△ABC的高,则AD的长为 (　　)
A. B. C. D.
6.(2025汝州期末)在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,A,B,C三点均在正方形的格点上,则下列结论错误的是 (　　)
A.S△ABC=10 B.∠BAC=90°
C.AB=2 D.点A到直线BC的距离是2
7.如图,长方形ABCD的顶点A,B在数轴上,点A表示-1,AB=3,AD=1.若以点A为圆心,对角线AC长为半径作弧,交数轴的正半轴于点M,则点M所表示的数为 (　　)
A.-1 B. C.+1 D.+2
8.如图,25 m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为7 m.若梯子的顶端沿墙下滑4 m,则梯足将向左移 (　　)
A.4 m B.6 m C.8 m D.10 m
9.(2024淄博中考)《九章算术》中提到:“今有户高多于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其大意如下:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)若设门的高和宽分别是x尺和y尺,则下面所列方程组正确的是(　　)
A. B.
C. D.
10.下列条件中,不能判断△ABC为直角三角形的是 (　　)
A.BC=6,AC=10,AB=8 B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.BC∶AC∶AB=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C
11.(2024南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形的面积为5,(m+n)2=21,则大正方形的面积为 (　　)
A.12 B.13
C.14 D.15
12.如图是一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为4 m, m和 m,A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A上有一只蚂蚁想到点B去吃可口的食物,则它所走的最短路线的长度为 (　　)
A.3.5 m B.4.5 m C.5 m D.5.5 m
二、填空题(本大题有4个小题,每小题3分,共12分)
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E.若CD=2,BC=6,则BE=　　　　.
14.在Rt△ABC中,AB=3BC=3,则AC的长为　　　　.
15.如图,已知钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面的渔线BC的长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面的渔线B'C'的长为8 m,则BB'的长为　　　　m.
16.(2024常州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)如图,一只蚂蚁在底面半径为10 cm、高为20π cm的圆柱下底面的点A处,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物.求蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程.
18.(6分)如图,已知在△ABD中,AB=8,AD=17,∠ABD=90°,BC=9,CD=12.求△BCD的面积.
19.(6分)如图,在四边形ABCD中,已知∠B=90°,∠ACB=30°,AB=3,AD=10,CD=8.求∠BCD的度数.
20.(10分)小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度,通过如图勘测,得到如下记录:①测得水平距离BC的长为12 m;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为13 m;③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD的长为1.5 m.
(1)求风筝到地面的距离(线段AD的长).
(2)如果小龙想要风筝沿CA方向再上升4 m,BC和CD的长度不变,那么他应该再放出　　　　m的风筝线.
21.(10分)如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由村庄C到取水点A的路现在已经不通,该村庄为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一直线上),并新建一条路CH,测得CB= km,CH=3 km,HB=2 km.
(1)CH是不是从村庄C到河边的最近路 请通过计算加以说明.
(2)新路CH比原路CA短多少千米
22.(10分)为了满足市民健身需求,市政部门在某公园的东门C和西门A之间修建了四边形ABCD循环步道.如图,经勘测,点B在点A的正南方,点C在点A的正东方,DA⊥DC,且点D到点A,C的距离相等,已知AB=1 000 m,BC=2 600 m.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求A,C两点之间的长度.
(2)小庆准备从西门A跑步到东门C去见小渝,因A,C两点之间的道路施工不能通行,小庆决定选择一条较短线路,请计算说明小庆应选择A—B—C路线,还是A—D—C路线 (结果精确到1 m)
23.(10分)如图,A市接到台风警报时,台风中心位于距离A市52 km的B处(即AB=52 km),台风正以8 km/h的速度沿BC方向移动.已知A市到BC的距离AD=20 km.
(1)台风中心从点B移到点D经过多长时间
(2)如果在距台风中心25 km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长
24.(14分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC的边AB,BC上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1 cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为每秒2 cm,它们同时出发,设出发的时间为t s.
(1)当t=2时,求PQ的长.
(2)求出发时间为几秒时,△PQB是等腰三角形.
(3)若点Q沿B→C→A方向运动,则当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
【详解答案】
1.B　解析:∵∠C=90°,AC=1,AB=2,
∴BC===.故选B.
2.B　解析:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.A.等腰三角形的两个底角相等,它的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形;B.对顶角相等,它的逆命题是如果两个角相等,那么它们是对顶角,∵如果两个角相等,但它们不一定是对顶角,∴“对顶角相等”没有逆定理;C.两直线平行,同位角相等,它的逆定理是同位角相等,两直线平行;D.直角三角形的两个锐角互余,它的逆定理是两个锐角互余的三角形是直角三角形.故选B.
3.A　解析:∵设点A(2,0),B(0,3),
∴OA=2,OB=3.∴AB===.故选A.
4.B　解析:∵3,4,a为勾股数,∴当a最大时,a==5,能构成勾股数;当4时最大时,a==,不能构成勾股数.综上所述,a的值为5.故选B.
5.D　解析:由题可得S△ABC=3×3-1×3×-2×3×-1×2×=,BC==.∴AD×=.解得AD=.故选D.
6.A　解析:A.S△ABC=4×4-×3×4-×1×2-×2×4=5,本选项结论错误,符合题意;B.∵AC2=12+22=5,AB2=22+42=20,
BC2=32+42=25,∴AC2+AB2=BC2.∴∠BAC=90°.本选项结论正确,不符合题意;C.∵AB2=20,∴AB=2.本选项结论正确,不符合题意;D.设点A到直线BC的距离为h,则×2=×5×h,解得h=2.本选项结论正确,不符合题意.故选A.
7.A　解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠ABC=90°,BC=AD=1.∵AB=3,∴AC===.
∴AM=AC=.∵点A表示-1,∴点M表示的数为-1.故选A.
8.C　解析:在Rt△ABC中,已知AB=25 m,BC=7 m,则由勾股定理,得AC==24(m).∵梯子的顶端沿墙下滑4 m,∴AA1=4 m.∵AC=AA1+CA1,∴CA1=24-4=20(m).∵在Rt△A1B1C中,A1B1=AB=25 m,且A1B1为斜边,∴由勾股定理,得CB1==15(m).∴BB1=CB1-CB=15-7=8(m).∴梯足将向左移8 m.故选C.
9.D　解析:设门的高是x尺,宽是y尺.
由题意,得故选D.
10.B　解析:A.∵BC=6,AC=10,AB=8,
∴AB2+BC2=82+62=100,AC2=102=100.∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形.故A不符合题意;B.∵∠A∶
∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°×=75°.∴△ABC不是直角三角形.故B符合题意;C.∵BC∶AC∶AB=3∶4∶5,∴设BC=3k,则AC=4k,AB=5k.∵AC2+BC2=16k2+9k2=25k2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故C不符合题意;D.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C==90°.∴△ABC是直角三角形.故D不符合题意.故选B.
11.B　解析:由题意可知,中间小正方形的边长为m-n,∴(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5①.∵(m+n)2=21,
∴m2+n2+2mn=21②.①+②,得2(m2+n2)=26.∴大正方形的面积为m2+n2=13.故选B.
12.C　解析:如图,将台阶展开为长方形,线段AB恰好是直角三角形的斜边,
则AC=4 m,BC=(+)×3=3(m).
在Rt△ABC中,
AB===5(m),
∴蚂蚁所走的最短路线的长度为5 m.故选C.
13.2　解析:∵AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD=2.∵BC=6,∴BD=BC-CD=6-2=4.∴BE==2.
14.2或　解析:∵AB=3BC=3,
∴AB=3,BC=1.
①当AB为斜边时,
AC===2;
②当AB为直角边时,
AC===.
综上所述,AC的长为2或.
15.2　解析:在Rt△ABC中,AC=10 m,BC=6 m,∴AB===8(m).在Rt△AB'C'中,AC'=AC=10 m,
B'C'=8 m,∴AB'===6(m).∴BB'=AB-AB'=8-6=2(m).
16.　解析:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,∴CD=AC=3.∴BD==5.∵将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,∴CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=∠C=90°.∴BF=BD-DF=2,∠BFE=∠EFD=90°.设CE=x,则EF=x,BE=BC-CE=4-x.在Rt△BFE中,由勾股定理,得BE2=EF2+BF2,即(4-x)2=x2+22.解得x=.∴CE=.
17.解:圆柱的侧面展开图如图所示.
∵圆柱的底面半径为10 cm,高为20π cm,
∴AC=2π×10÷2=10π(cm),BC=20π cm.
在Rt△ABC中,∠C=90°,
则由勾股定理,得
AB==10π cm.
答:蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是10π cm.
18.解:∵AB=8,AD=17,∠ABD=90°,
∴BD==15.
∵BC=9,CD=12,
∴BC2+CD2=BD2.
∴△BCD是直角三角形,∠C=90°.
∴S△BCD=CD·BC=×12×9=54.
19.解:∵∠B=90°,∠ACB=30°,AB=3,
∴AC=2AB=6.
在△ACD中,∵AD=10,CD=8,AC=6,
∴AC2+CD2=62+82=100,AD2=102=100.
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+90°=120°.
20.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC===5(m).
∵CD=1.5 m,
∴AD=AC+CD=5+1.5=6.5(m).
答:风筝到地面的距离(线段AD的长)为6.5 m.
(2)2
21.解:(1)CH是从村庄C到河边的最近路.
理由如下:
∵CB= km,CH=3 km,HB=2 km,
∴CB2=CH2+HB2.
∴△BCH为直角三角形,∠BHC=90°.
∴CH⊥AB.
∴CH是从村庄C到河边的最近路.
(2)设AC=x km,则AB=x km,AH=(x-2)km.
在Rt△ACH中,AH2+CH2=AC2,
即(x-2)2+32=x2,
解得x=3.25.
∴AC=3.25 km.
∴AC-CH=3.25-3=0.25(km).
答:新路CH比原路CA短0.25 km.
22.解:(1)由题意,得∠BAC=90°.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1 000 m,
BC=2 600 m,
∴AC===2 400(m).
答:A,C两点之间的长度为2 400 m.
(2)由(1),得AC=2 400 m.
∵DA⊥DC,AD=CD,
∴∠ADC=90°.
∴AC2=AD2+CD2=2 4002.
∴AD=CD=1 200 m.
∴A—B—C路线的长为
AB+BC=1 000+2 600=3 600(m),
A—D—C路线的长为AD+DC=1 200+1 200=2 400≈3 394(m).
∵3 394<3 600,
∴小庆应选择A—D—C路线.
23.解:(1)由题意,得在△ABD中,∠ADB=90°,AB=52 km,AD=20 km.
∴BD==48 km.
∵台风以8 km/h的速度沿BC方向移动,
∴48÷8=6(h).
答:台风中心从点B移到点D经过6 h.
(2)如图,以点A为圆心,以25 km为半径画弧,交BC于点P,Q,连接AP,AQ,则A市在点P开始受到影响,离开点Q恰好不受影响.
由题意,得AP=25 km.在Rt△ADP中,
PD==15(km),
∵AP=AQ,∠ADB=90°,
∴DP=DQ.
∴PQ=2PD=30 km.
∴30÷8=3.75(h).
答:A市受到台风影响的时间是3.75 h.
24.解:(1)当t=2时,BQ=2×2=4(cm),
BP=AB-AP=8-2×1=6(cm).
∵∠B=90°,
∴PQ===2(cm).
(2)根据题意,得BQ=2t cm,BP=(8-t)cm.
∵△PQB是等腰三角形,
∴BQ=BP,即2t=8-t.解得t=.
∴出发时间为 s时,△PQB是等腰三角形.
(3)分三种情况讨论:
①当CQ=BQ时,如图1所示.
∴∠C=∠CBQ.
　图1
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,
∠A+∠C=90°.
∴∠A=∠ABQ.
∴AQ=BQ.
∴AQ=CQ.
∵∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,
∴AC===10(cm).
∴CQ=AQ=AC=5 cm.
∴BC+CQ=11 cm.
∴11÷2=5.5(s).
②当CQ=BC时,如图2所示.
∴BC+CQ=12 cm.
∴12÷2=6(s).
图2　 　　图3
③当BC=BQ时,如图3所示.
过点B作BE⊥AC于点E,则CE=EQ.
∵S△ABC=AB·BC=BE·AC,
∴BE===4.8(cm).
∴CE==3.6 cm.
∴CQ=2CE=7.2 cm.
∴BC+CQ=13.2 cm.
∴13.2÷2=6.6(s).
综上所述,当运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s时,△BCQ为等腰三角形.