第十七章 勾股定理 专题训练二 利用勾股定理解决最短路径问题 （含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 专题训练二 利用勾股定理解决最短路径问题 （含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 174.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-16 13:43:08 | ||
图片预览
文档简介
专题训练二 利用勾股定理解决最短路径问题
平面中的最短路径问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,BD=13,P是线段BC上的一动点,则PD的最小值是 ( )
A.6 B.5 C.13 D.12
2.如图,已知D,E分别是等边三角形ABC中边BC,AB上的中点,AB=6,F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.3
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为边AC上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为 .
4.【问题提出】
(1)如图1,某牧马人要从A地前往B地,途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水,经测量A点到河边的距离AC为300 m,B点到河边的距离BD为900 m,且点C,D间的距离为900 m,请计算该牧马人运动的最短路径长.
【问题探究】
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AC的垂直平分线分别交边AB,AC于点E,F,△ABC的面积为24,若D是边BC的中点,M是线段EF上的一动点,请求出△CDM周长的最小值.
【问题解决】
(3)如图3,某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD,∠C=∠ADC=90°,AD=70 m,CD=60 m,BC=110 m,在AB的中点处有一个出货口M,在BC上有一个质检口N,点D为货物包装口.为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率,现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口N到包装口D的距离ND之和最短(即MN+ND最短).已知出货口M到CD的距离为90 m,请根据要求计算出MN+ND的最小值.
图1 图2 图3
几何体中的最短路径问题
5.(传统文化)华表是一种中国传统建筑形式,天安门前耸立着高大的汉白玉华表,每根华表重约20 000公斤.如图,在底面周长约为3 m带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底向柱顶(从点A到点B)均匀地盘绕3圈,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12 m,则雕刻在华表上的巨龙至少长 ( )
A.3 m B.20 m C.15 m D.9 m
6.如图,用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中,最短路径的长是 ( )
A. B.+
C.3 D.4
7.(2024德州齐河县月考)如图,一段楼梯高BC是6 m,斜边AC长10 m,在楼梯上铺地毯,地毯至少长 m.
8.(新情境)H·E·杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者.“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上,它是杜登尼最有名的谜题之一.如图,在一个30英尺×12英尺×12英尺的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的地方,苍蝇则在对面墙的中间离地板1英尺的地方.苍蝇是如此害怕,以至于无法动弹.试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是多少
9.(2024赣州期中)如图1,圆柱的底面直径为6 cm,高为12 cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米.
(1)图2是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AA'C'C,点B在线段CC'上,求CC'的长(π取3).
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径,并求出最短路径的长度.
图1 图2
【详解答案】
1.B 解析:如图,过点D作DE⊥BC于点E,则PD的最小值是DE的长.
∵∠A=90°,BD平分∠ABC,
∴AD=DE.
∵AB=12,BD=13,
∴AD==5.
∴DE=5,即PD的最小值是5.故选B.
2.D 解析:如图,连接CE交AD于点F,连接BF.
∵△ABC是等边三角形,D,E是边BC,AB的中点,∴AD垂直平分BC,CE垂直平分AB.∴BF=CF,BE=AE=AB=3.
∴BF+EF=CF+EF=CE时,BF+EF的值最小.∵CE===3,∴BF+EF的最小值为3.故选D.
3. 解析:如图,作点B关于AC的对称点B',过点B'作B'D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD有最小值,为B'D的长,连接AB'.
根据对称的性质知,BP=B'P,BC=B'C,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5.∵AC=AC,
∠ACB=∠ACB',BC=B'C,∴△ABC≌△AB'C(SAS).∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC,即AB·B'D=2×BC·AC.
∴5B'D=2×3×4=24.∴B'D=,即PB+PD的最小值为.
4.解:(1)如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'交直线l于点P,连接PA,此时PA+PB的值最小,最小值为线段BA'的长.过点B作BT⊥AA'交A'A的延长线于点T.由对称的性质可知,A'C=AC=300 m,
在Rt△A'BT中,BT=CD=900 m,CT=BD=900 m,
∴A'T=A'C+CT=300+900=1 200(m).
∴BA'===1 500(m).
∴该牧马人运动的最短路径长为1 500 m.
图1 图2
(2)如图2,连接AD,AM.
∵AB=AC,D是边BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=CD=BC=3.
∵S△ABC=×BC×AD=24,BC=6,
∴AD=8.
∵EF垂直平分线段AC,
∴MA=MC.
∴MD+MC=AM+MD≥AD=8.
∴MD+MC的最小值为8.
∴△CDM周长的最小值为8+3=11.
(3)如图3,延长DC到点R,使得CR=CD=60 m,连接MR,NR,过点M作MQ⊥CD于点Q,则MQ=90 m.
图3
∵∠BCD=90°,CD=CR,
∴BC垂直平分DR.
∴ND=NR.
∴MN+ND=MN+NR≥MR.
∵M是AB的中点,
∠ADC=∠BCD=90°,MQ⊥DC,
∴AM=BM,AD∥MQ∥BC.
∴DQ=CQ=CD=30 m.
∴QR=CQ+CR=90 m.
∴MR===90(m).
∴MN+DN≥90 m.
∴MN+ND的最小值为90 m.
5.C 解析:将华表展开如图.
12÷3=4(m),则AC=CD=DB==5(m),巨龙长5×3=15(m).故选C.
6.A 解析:将几何体表面展开,如图,连接AB,在图1中,AB==.
图1 图2
在图2中,AB==,
∵>,
∴最短路径的长是.故选A.
7.14 解析:∵△ABC是直角三角形,BC=6 m,AC=10 m,
∴AB===8(m).
∴如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要的地毯长为AB+BC=8+6=14(m).
8.解:由题意,得长方体房间有三种展开方式,如图所示(用A代表蜘蛛,用B代表苍蝇):
方案一
方案二
方案三
方案一:AB=1+30+12-1=42(英尺);
方案二:AB==2(英尺);
方案三:AB==40(英尺).
∵40<42<2,
∴蜘蛛按方案三爬行到苍蝇处才是最短的路线,最短路径长是40英尺.
9.解:(1)由圆柱的侧面展开图可知CC'的长为圆柱底面圆的周长,
∴CC'=π·6=3×6=18(cm).
(2)蚂蚁爬行的最短路径为线段AB,如图.
由题意,知AC=12 cm,BC=CC'=9 cm,∠C=90°,
由勾股定理,得
AB===15(cm).
答:最短路径的长度为15 cm.
平面中的最短路径问题
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,BD=13,P是线段BC上的一动点,则PD的最小值是 ( )
A.6 B.5 C.13 D.12
2.如图,已知D,E分别是等边三角形ABC中边BC,AB上的中点,AB=6,F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.3
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为边AC上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为 .
4.【问题提出】
(1)如图1,某牧马人要从A地前往B地,途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水,经测量A点到河边的距离AC为300 m,B点到河边的距离BD为900 m,且点C,D间的距离为900 m,请计算该牧马人运动的最短路径长.
【问题探究】
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AC的垂直平分线分别交边AB,AC于点E,F,△ABC的面积为24,若D是边BC的中点,M是线段EF上的一动点,请求出△CDM周长的最小值.
【问题解决】
(3)如图3,某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD,∠C=∠ADC=90°,AD=70 m,CD=60 m,BC=110 m,在AB的中点处有一个出货口M,在BC上有一个质检口N,点D为货物包装口.为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率,现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口N到包装口D的距离ND之和最短(即MN+ND最短).已知出货口M到CD的距离为90 m,请根据要求计算出MN+ND的最小值.
图1 图2 图3
几何体中的最短路径问题
5.(传统文化)华表是一种中国传统建筑形式,天安门前耸立着高大的汉白玉华表,每根华表重约20 000公斤.如图,在底面周长约为3 m带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底向柱顶(从点A到点B)均匀地盘绕3圈,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12 m,则雕刻在华表上的巨龙至少长 ( )
A.3 m B.20 m C.15 m D.9 m
6.如图,用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中,最短路径的长是 ( )
A. B.+
C.3 D.4
7.(2024德州齐河县月考)如图,一段楼梯高BC是6 m,斜边AC长10 m,在楼梯上铺地毯,地毯至少长 m.
8.(新情境)H·E·杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者.“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上,它是杜登尼最有名的谜题之一.如图,在一个30英尺×12英尺×12英尺的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的地方,苍蝇则在对面墙的中间离地板1英尺的地方.苍蝇是如此害怕,以至于无法动弹.试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是多少
9.(2024赣州期中)如图1,圆柱的底面直径为6 cm,高为12 cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米.
(1)图2是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AA'C'C,点B在线段CC'上,求CC'的长(π取3).
(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径,并求出最短路径的长度.
图1 图2
【详解答案】
1.B 解析:如图,过点D作DE⊥BC于点E,则PD的最小值是DE的长.
∵∠A=90°,BD平分∠ABC,
∴AD=DE.
∵AB=12,BD=13,
∴AD==5.
∴DE=5,即PD的最小值是5.故选B.
2.D 解析:如图,连接CE交AD于点F,连接BF.
∵△ABC是等边三角形,D,E是边BC,AB的中点,∴AD垂直平分BC,CE垂直平分AB.∴BF=CF,BE=AE=AB=3.
∴BF+EF=CF+EF=CE时,BF+EF的值最小.∵CE===3,∴BF+EF的最小值为3.故选D.
3. 解析:如图,作点B关于AC的对称点B',过点B'作B'D⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD有最小值,为B'D的长,连接AB'.
根据对称的性质知,BP=B'P,BC=B'C,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5.∵AC=AC,
∠ACB=∠ACB',BC=B'C,∴△ABC≌△AB'C(SAS).∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC,即AB·B'D=2×BC·AC.
∴5B'D=2×3×4=24.∴B'D=,即PB+PD的最小值为.
4.解:(1)如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接BA'交直线l于点P,连接PA,此时PA+PB的值最小,最小值为线段BA'的长.过点B作BT⊥AA'交A'A的延长线于点T.由对称的性质可知,A'C=AC=300 m,
在Rt△A'BT中,BT=CD=900 m,CT=BD=900 m,
∴A'T=A'C+CT=300+900=1 200(m).
∴BA'===1 500(m).
∴该牧马人运动的最短路径长为1 500 m.
图1 图2
(2)如图2,连接AD,AM.
∵AB=AC,D是边BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=CD=BC=3.
∵S△ABC=×BC×AD=24,BC=6,
∴AD=8.
∵EF垂直平分线段AC,
∴MA=MC.
∴MD+MC=AM+MD≥AD=8.
∴MD+MC的最小值为8.
∴△CDM周长的最小值为8+3=11.
(3)如图3,延长DC到点R,使得CR=CD=60 m,连接MR,NR,过点M作MQ⊥CD于点Q,则MQ=90 m.
图3
∵∠BCD=90°,CD=CR,
∴BC垂直平分DR.
∴ND=NR.
∴MN+ND=MN+NR≥MR.
∵M是AB的中点,
∠ADC=∠BCD=90°,MQ⊥DC,
∴AM=BM,AD∥MQ∥BC.
∴DQ=CQ=CD=30 m.
∴QR=CQ+CR=90 m.
∴MR===90(m).
∴MN+DN≥90 m.
∴MN+ND的最小值为90 m.
5.C 解析:将华表展开如图.
12÷3=4(m),则AC=CD=DB==5(m),巨龙长5×3=15(m).故选C.
6.A 解析:将几何体表面展开,如图,连接AB,在图1中,AB==.
图1 图2
在图2中,AB==,
∵>,
∴最短路径的长是.故选A.
7.14 解析:∵△ABC是直角三角形,BC=6 m,AC=10 m,
∴AB===8(m).
∴如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要的地毯长为AB+BC=8+6=14(m).
8.解:由题意,得长方体房间有三种展开方式,如图所示(用A代表蜘蛛,用B代表苍蝇):
方案一
方案二
方案三
方案一:AB=1+30+12-1=42(英尺);
方案二:AB==2(英尺);
方案三:AB==40(英尺).
∵40<42<2,
∴蜘蛛按方案三爬行到苍蝇处才是最短的路线,最短路径长是40英尺.
9.解:(1)由圆柱的侧面展开图可知CC'的长为圆柱底面圆的周长,
∴CC'=π·6=3×6=18(cm).
(2)蚂蚁爬行的最短路径为线段AB,如图.
由题意,知AC=12 cm,BC=CC'=9 cm,∠C=90°,
由勾股定理,得
AB===15(cm).
答:最短路径的长度为15 cm.