第十七章 勾股定理 专题训练三 勾股定理中的数学思想方法（含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册
文档属性
| 名称 | 第十七章 勾股定理 专题训练三 勾股定理中的数学思想方法（含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-16 00:00:00 | ||
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文档简介
专题训练三 勾股定理中的数学思想方法
实际问题中结合勾股定理列方程
1.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计) ( )
A.14 m B.15 m C.16 m D.17 m
2.(2024朔州期末)如图,学校有一块直角三角形菜地,∠ABC=90°,BC=12 m.为方便劳作,准备在菜地中间修建一条小路.测量发现,∠ADE=∠AED,BD=EF=1 m,CF=8 m,则AE的长为 ( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
3.(2024上饶余干县期末)如果直角三角形的周长是24 cm,相邻两直角边长之比为3∶4,那么斜边长为 cm.
4.(新情境)2023中国红色旅游博览会在于都举办,全国各地游客追随而来,纷纷走进长征源头、红色圣地于都,开展红色主题研学活动,开启红色文化之旅.在江西馆门口离地面一定高度的墙上点D处,装有一个由传感器控制的迎宾门铃,人只要移动到距该门口2.4 m及2.4 m以内时,门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音.如图,一个身高1.6 m的学生刚走到点B处(学生头顶在点A处),门铃恰好自动响起,此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等.
(1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米
(2)若该生继续向前走1.4 m,此时迎宾门铃距离该生头顶多少米
共高的双直角三角形中边的数量关系
5.(2024周口西华县月考)如图,在△ABC中,AB=10,BC=9,AC=5,则边BC上的高为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.7
6.如图,在△ABC中,AB=,BC=8,AC=5.求△ABC的面积.
利用图形的折叠找两边的数量关系
7.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( )
A.4 B.5
C. D.
8.(2024西安灞桥区开学)如图,将长方形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F,其中AB=3,AD=2,则DF的长为 ( )
A. B.1 C. D.
9.(2024徐州中考)如图,将长方形纸片ABCD沿边EF折叠,使点D在边BC的中点M处.若AB=4,BC=6,则CF= .
10.(2024宁波期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E,F在边AB上,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD延长线上的点B'处.
(1)求∠ECF的度数.
(2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和△ABC的面积.
利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系
11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,4)和(3,0),C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,在运动的过程中,当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,点C的坐标为 .
【详解答案】
1.D 解析:如图,过点C作CB⊥AD于点B.
设旗杆的高度为x m,
则AC=AD=x m,
AB=(x-2)m,BC=8 m.
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即(x-2)2+82=x2.
解得x=17.∴旗杆的高度为17 m.故选D.
2.B 解析:∵∠ADE=∠AED,∴AD=AE.设AE=x m,则AD=x m.
∴AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+EF+CF=(9+x)m.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即(x+1)2+122=(9+x)2.解得x=4.∴AE=4 m.故选B.
3.10 解析:设直角三角形两直角边长分别为3x cm,4x cm,则斜边长为=5x(cm).∴直角三角形的周长为3x+4x+5x=12x=24.∴x=2.∴斜边长为5×2=10(cm).
4.解:(1)由题意知,AD=CD,BC=2.4 m,AB=1.6 m,∠ABC=∠DCB=90°,
如图1,过点A作AE⊥CD于点E,
则CE=AB=1.6 m,AE=BC=2.4 m.
设迎宾门铃距离地面x m,
则AD=CD=x m,DE=(x-1.6)m.
在Rt△AED中,由勾股定理,得
AE2+DE2=AD2,
即2.42+(x-1.6)2=x2.
解得x=2.6.
答:迎宾门铃距离地面2.6 m.
图1 图2
(2)如图2,MN为该生向前走1.4 m后的位置,则AN=1.4 m.
∴NE=AE-AN=2.4-1.4=1(m).
由(1)可知,DE=2.6-1.6=1(m),
在Rt△NED中,由勾股定理,得
DN===(m).
答:此时迎宾门铃距离该生头顶 m.
5.A 解析:如图,过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D.
在Rt△ADB与Rt△ADC中,分别由勾股定理,
得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2.
设AD=x,BD=y,
则解得
∴边BC上的高AD为6.故选A.
6.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
设DC=x,则BD=8-x.
∵△BAD为直角三角形,
∴AD2=AB2-BD2=()2-(8-x)2.
∵△CAD为直角三角形,
∴AD2=AC2-DC2=52-x2.
∴()2-(8-x)2=52-x2.解得x=3.
∴AD==4.
∴S△ABC=BC·AD=×8×4=16.
7.A 解析:设BN=x.由折叠的性质可得DN=AN=9-x.∵D是BC的中点,∴BD=BC=3.在Rt△NBD中,BN2+BD2=DN2,即x2+32=(9-x)2,解得x=4.∴BN=4.故选A.
8.A 解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,AB=CD=3,BC=AD=2.由折叠的性质,得∠E=∠B=90°,
AE=AB=3,CE=BC=2,∴∠D=∠E,AD=CE.又∵∠AFD=∠CFE,∴△ADF≌△CEF(AAS).∴DF=EF,AF=CF.设DF=x,则AF=CF=3-x.∵在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,∴22+x2=(3-x)2.解得x=.∴DF=.故选A.
9. 解析:∵四边形ABCD是长方形,∴CD=AB=4,∠C=90°.∵M是BC的中点,∴CM=BC=×6=3.由折叠的性质,得MF=DF.设CF=x,则FD=4-x,
∴MF=4-x.∵在Rt△CMF中,MF2=MC2+FC2,∴(4-x)2=32+x2.解得x=.∴CF=.
10.解:(1)由折叠的性质,得∠ACE=∠DCE=∠ACD,∠BCF=∠B'CF=∠BCB'.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCB'=90°.
∴∠ECD+∠FCD=×90°=45°,
即∠ECF=45°.
(2)由折叠的性质,得∠DEC=∠AEC=90°,BF=B'F=1.
∴∠EFC=90°-∠ECF=45°=∠ECF.
∴EF=CE=4.
∴BE=EF+BF=4+1=5.
∴在Rt△BCE中,BC==.
设AE=x,则AB=x+5.
∵在Rt△ACE中,AC2=AE2+CE2,
在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2,
∴AE2+CE2=AB2-BC2,
即x2+42=(x+5)2-41.解得x=.
∴S△ABC=AB×CE=×(+5)×4=.
11.(0,) 解析:设点C的坐标为(0,a).当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,BC=AC,∴BC2=AC2,即32+a2=22+(4-a)2.解得a=.故点C的坐标为(0,).
实际问题中结合勾股定理列方程
1.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计) ( )
A.14 m B.15 m C.16 m D.17 m
2.(2024朔州期末)如图,学校有一块直角三角形菜地,∠ABC=90°,BC=12 m.为方便劳作,准备在菜地中间修建一条小路.测量发现,∠ADE=∠AED,BD=EF=1 m,CF=8 m,则AE的长为 ( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
3.(2024上饶余干县期末)如果直角三角形的周长是24 cm,相邻两直角边长之比为3∶4,那么斜边长为 cm.
4.(新情境)2023中国红色旅游博览会在于都举办,全国各地游客追随而来,纷纷走进长征源头、红色圣地于都,开展红色主题研学活动,开启红色文化之旅.在江西馆门口离地面一定高度的墙上点D处,装有一个由传感器控制的迎宾门铃,人只要移动到距该门口2.4 m及2.4 m以内时,门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音.如图,一个身高1.6 m的学生刚走到点B处(学生头顶在点A处),门铃恰好自动响起,此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等.
(1)请你计算迎宾门铃距离地面多少米
(2)若该生继续向前走1.4 m,此时迎宾门铃距离该生头顶多少米
共高的双直角三角形中边的数量关系
5.(2024周口西华县月考)如图,在△ABC中,AB=10,BC=9,AC=5,则边BC上的高为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.7
6.如图,在△ABC中,AB=,BC=8,AC=5.求△ABC的面积.
利用图形的折叠找两边的数量关系
7.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( )
A.4 B.5
C. D.
8.(2024西安灞桥区开学)如图,将长方形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F,其中AB=3,AD=2,则DF的长为 ( )
A. B.1 C. D.
9.(2024徐州中考)如图,将长方形纸片ABCD沿边EF折叠,使点D在边BC的中点M处.若AB=4,BC=6,则CF= .
10.(2024宁波期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E,F在边AB上,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD延长线上的点B'处.
(1)求∠ECF的度数.
(2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和△ABC的面积.
利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系
11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(2,4)和(3,0),C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,在运动的过程中,当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,点C的坐标为 .
【详解答案】
1.D 解析:如图,过点C作CB⊥AD于点B.
设旗杆的高度为x m,
则AC=AD=x m,
AB=(x-2)m,BC=8 m.
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即(x-2)2+82=x2.
解得x=17.∴旗杆的高度为17 m.故选D.
2.B 解析:∵∠ADE=∠AED,∴AD=AE.设AE=x m,则AD=x m.
∴AB=AD+BD=(x+1)m,AC=AE+EF+CF=(9+x)m.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,即(x+1)2+122=(9+x)2.解得x=4.∴AE=4 m.故选B.
3.10 解析:设直角三角形两直角边长分别为3x cm,4x cm,则斜边长为=5x(cm).∴直角三角形的周长为3x+4x+5x=12x=24.∴x=2.∴斜边长为5×2=10(cm).
4.解:(1)由题意知,AD=CD,BC=2.4 m,AB=1.6 m,∠ABC=∠DCB=90°,
如图1,过点A作AE⊥CD于点E,
则CE=AB=1.6 m,AE=BC=2.4 m.
设迎宾门铃距离地面x m,
则AD=CD=x m,DE=(x-1.6)m.
在Rt△AED中,由勾股定理,得
AE2+DE2=AD2,
即2.42+(x-1.6)2=x2.
解得x=2.6.
答:迎宾门铃距离地面2.6 m.
图1 图2
(2)如图2,MN为该生向前走1.4 m后的位置,则AN=1.4 m.
∴NE=AE-AN=2.4-1.4=1(m).
由(1)可知,DE=2.6-1.6=1(m),
在Rt△NED中,由勾股定理,得
DN===(m).
答:此时迎宾门铃距离该生头顶 m.
5.A 解析:如图,过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D.
在Rt△ADB与Rt△ADC中,分别由勾股定理,
得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2.
设AD=x,BD=y,
则解得
∴边BC上的高AD为6.故选A.
6.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
设DC=x,则BD=8-x.
∵△BAD为直角三角形,
∴AD2=AB2-BD2=()2-(8-x)2.
∵△CAD为直角三角形,
∴AD2=AC2-DC2=52-x2.
∴()2-(8-x)2=52-x2.解得x=3.
∴AD==4.
∴S△ABC=BC·AD=×8×4=16.
7.A 解析:设BN=x.由折叠的性质可得DN=AN=9-x.∵D是BC的中点,∴BD=BC=3.在Rt△NBD中,BN2+BD2=DN2,即x2+32=(9-x)2,解得x=4.∴BN=4.故选A.
8.A 解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠D=90°,AB=CD=3,BC=AD=2.由折叠的性质,得∠E=∠B=90°,
AE=AB=3,CE=BC=2,∴∠D=∠E,AD=CE.又∵∠AFD=∠CFE,∴△ADF≌△CEF(AAS).∴DF=EF,AF=CF.设DF=x,则AF=CF=3-x.∵在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2,∴22+x2=(3-x)2.解得x=.∴DF=.故选A.
9. 解析:∵四边形ABCD是长方形,∴CD=AB=4,∠C=90°.∵M是BC的中点,∴CM=BC=×6=3.由折叠的性质,得MF=DF.设CF=x,则FD=4-x,
∴MF=4-x.∵在Rt△CMF中,MF2=MC2+FC2,∴(4-x)2=32+x2.解得x=.∴CF=.
10.解:(1)由折叠的性质,得∠ACE=∠DCE=∠ACD,∠BCF=∠B'CF=∠BCB'.
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCB'=90°.
∴∠ECD+∠FCD=×90°=45°,
即∠ECF=45°.
(2)由折叠的性质,得∠DEC=∠AEC=90°,BF=B'F=1.
∴∠EFC=90°-∠ECF=45°=∠ECF.
∴EF=CE=4.
∴BE=EF+BF=4+1=5.
∴在Rt△BCE中,BC==.
设AE=x,则AB=x+5.
∵在Rt△ACE中,AC2=AE2+CE2,
在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2,
∴AE2+CE2=AB2-BC2,
即x2+42=(x+5)2-41.解得x=.
∴S△ABC=AB×CE=×(+5)×4=.
11.(0,) 解析:设点C的坐标为(0,a).当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,BC=AC,∴BC2=AC2,即32+a2=22+(4-a)2.解得a=.故点C的坐标为(0,).