专题训练一 二次根式的运算与化简求值技巧 （含答案）2024-2025学年数学人教版八年级下册

专题训练一　二次根式的运算与化简求值技巧
二次根式的运算
1.计算:
(1)++.
(2)(+)×().
(3).
(4)(4-4+3)÷2.
2.(2024泰安泰山区期中)计算:
(1)2×÷3.
(2)()-(+).
(3)(+2)×(-2)-|-2|.
(4)(2 )÷+(2+1)2.
3.计算:
(1)(-3)0-+(-1)2+()-1.
(2)(+2)×(-2)+.
4.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上形如,的式子,这样的式子我们可以将其进一步化简:==,==2+2,这种化简的方法叫做分母有理化.请利用分母有理化解答下列问题:
(1)化简:=　　　　,=　　　　.
(2)长方形的面积为2+2,一边长为+2,求这个长方形的周长.
(3)当a>b>0时,化简:.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
二次根式的化简求值
5.先化简,再求值:x(-x)+(x+)·(x-),其中x=.
6.(2024上海杨浦区月考)已知a+b=-3,ab=1,求a+b的值.
7.先化简,再求值:÷(x+)·(+),其中x=2+,y=2-.
8.(新定义)对于任意实数a,b,定义一种运算“ ”如下:a b=a2-b2.如: =()2-()2=3-2=1.
(1)2 =　　　　,2 =　 .
(2)已知(m+) (2-m)=3,求(m+)-(2-m)的值.
9.先化简,再求值:a+,其中a=1 007.如图是小亮和小芳的解答过程.
(1)　　　　的解法是错误的.
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:　 .
(3)先化简,再求值:a+2,其中a=-2 024.
【详解答案】
1.解:(1)++=5+3+2=10.
(2)(+)×(-)=()2-()2=2-3=-1.
(3)==5.
(4)(4-4+3)÷2=(4-4×+3×2)÷2=(4-2+6)÷2=(4+4)÷2=2+2.
2.解:(1)2÷3=8=.
(2)(-)-(+)=2-4--5=-9.
(3)(+2)×(-2)-|-2|=5-4-(2-)=5-4-2+=-1+.
(4)(2-)÷+(2+1)2=2-+8+4+1=2-+8+4+1=+9.
3.解:(1)原式=1-3+(3-2+1)+2=1-3+3-2+1+2=5-3.
(2)原式=3-4+3=2.
4.解:(1)　3-3
(2)长方形的另一边长为
==6-2,
∴周长为2×(+2+6-2)=16-2.
答:这个长方形的周长为16-2.
(3)当a>b>0时,
-=-==.
5.解:原式=x-x2+x2-5=x-5.
当x=时,原式=-5=2-5.
6.解:∵ab=1>0,a+b=-3<0,
∴a<0,b<0,a2+b2=(a+b)2-2ab=7.
∴a+b=a·+b·=--=-(+)=-=-7.
7.解:÷(x+)·(+)=·=··=-.
当x=2+,y=2-时,
原式=-=-1.
8.解:(1)1　3
(2)∵(m+) (2-m)=3,
∴(m+)2-(2-m)2=3.
∴[(m+)+(2-m)][(m+)-(2-m)]=3.
∴(m++2-m)[(m+)-(2-m)]=3.
∴3[(m+)-(2-m)]=3.
∴(m+)-(2-m)=.
9.解:(1)小亮
(2)=-a(a<0)
(3)a+2=a+2=a+2(3-a)=6-a.
当a=-2 024时,
原式=6+2 024=2 030.