21.4一次函数的应用
第1课时 含一个一次函数的应用
一个一次函数的应用
1.(2024山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则y与x之间的关系式为 ( )
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
2.某地3月人日均用水量随日期的变化情况如图所示.若该地10日、15日的人均用水量分别为18 kg和15 kg,并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量不高于9 kg时,政府将向当地居民送水,那么政府应开始送水的日期为( )
A.23日 B.24日
C.25日 D.26日
3.如图,在同一直线上,甲、乙两人分别从A,B两点同时向右出发,甲、乙均为匀速,图2表示两人之间的距离y(m)与所经过的时间t(s)之间的函数关系图像,若乙的速度为1.5 m/s,则经过30 s,甲自点A移动了 ( )
A.45 m B.7.2 m
C.52.2 m D.57 m
4.一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3 min时,再打开出水管排水,8 min时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为 .
5.(2024上海中考)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额为1 000万元,当投入90万元时销售额为5 000万元.所以投入80万元时,销售额为
万元.
6.(2024广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少 并求出最少总费用.
1.(跨学科)某种藤类植物四个阶段的平均长度y(cm)与生长时间x(天)的函数图像如图所示,当藤蔓长度大约在115 cm时,植物进入浆果生长期,此时植物的生长天数是( )
A. 90 B.95 C.140 D.143
2.某人购进一批苹果到集贸市场零售,已知卖出的苹果质量y(kg)与售价x(元)之间的函数关系如图所示,若成本为5元/kg,现以8元/kg的价格卖出,能挣 ( )
A.55元 B.155 元
C.165元 D.440元
3.(2024天津中考)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家.如图,图中x表示时间,y表示离家的距离.图像反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.6
②张华从文化广场返回家的速度为 km/min;
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数表达式.
(2)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.64.(应用意识)如图1,某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间具有函数关系h=-x+6,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)的函数关系如图2所示.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
(3)在下行过程中是否存在某一时刻,两人竖直高度相差1 m 若存在,求出此时的下行时间;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 解析:蛇的体长y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数,设y=kx+b,把x=6时,y=45.5;x=8时,y=60.5代入,得解得∴y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5.故选A.
2.C 解析:设x日时,人日均用水量为y kg,直线对应的函数表达式为y=kx+b.根据题意,得解得所以y=-x+24.当y≤9时,-x+24≤9,解得x≥25.根据实际情况,应在25日开始送水.故选C.
3.C 解析:设甲与乙的距离为y m,则关于t的函数为y=kt+b(k≠0),将(0,12),(50,0)代入,得解得∴函数表达式为y=-0.24t+12(0≤t≤50).则30 s后,y=4.8.设甲自A点移动的距离为s m,则y+s=12+1.5×30,解得s=52.2,∴甲自A点移动52.2 m.故选C.
4. 解析:设出水管每分钟排水x L.由题图可知,进水管每分钟进水10 L,则80-5x=20,∴x=12.∵8 min后的放水时间为(min),8+(min),∴a=.
5.4 500 解析:设y=kx+b,∵当投入10万元时销售额为1 000万元,当投入90万元时销售额为5 000万元,
∴解得∴y=50x+500,当x=80时,y=50×80+500=4 500.
6.解:(1)设A种花卉的单价为x元/株,B种花卉的单价为y元/株.
由题意,得
解得
答:A种花卉的单价为3元/株,B种花卉的单价为5元/株.
(2)设采购A种花卉m株,则B种花卉(10 000-m)株,总费用为W元.
由题意,得W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000,
∵m≤4(10 000-m),
解得m≤8 000.
在W=-2m+50 000中,
∵-2<0,
∴W随m的增大而减小,
∴当m=8 000时W的值最小,
W=-2×8 000+50 000=34 000,
此时10 000-m=2 000.
答:当采购A种花卉8 000株,B种花卉2 000株时,总费用最少,最少费用为34 000元.
课后提升
1.B 解析:设202.C 解析:设卖出的苹果质量y(kg)与售价x(元)之间的函数表达式是y=kx+b.该函数图像过点(5,100),(10,25),
∴解得即卖出的苹果质量y(kg)与售价x(元)之间的函数表达式是y=-15x+175(5≤x≤10).当x=8时,y=-15×8+175=55,∴这天销售苹果的盈利是55×(8-5)=165(元).故选C.
3.解:(1)①由图像可填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.15 0.6 0.6 1.5
②0.075
③y=
解法提示:张华从家到画社的速度为=0.15(km/min),张华从画社到文化广场的速度为=0.15(km/min),
当0≤x≤4时,y=0.15x;
当4当19∴当0≤x≤25时,y与x的函数表达式为
y=
(2)从画社到文化广场的途中(0.6解法提示:爸爸的速度为
=0.075(km/min),
∴设张华出发x min时和爸爸相遇,
根据题意,得0.15(x-19)+0.6=0.075(x-8),
解得x=22,
∴0.15×(22-19)+0.6=1.05(km).
∴从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km.
4.解:(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b.
由题意,得
解得
即y关于x的函数表达式为
y=-x+6.
(2)当h=0时,0=-x+6,得x=20,当y=0时,0=-x+6,得x=30.∵20<30,∴甲先到达一楼地面.
(3)存在.∵因为甲、乙两人从二楼同时下行,甲先到达地面,
∴当-x+6-=1,
解得x=10;
当y=-x+6=1时,
解得x=25.
∴当下行10 s或25 s时两人竖直高度相差1 m.21.4一次函数的应用
第2课时 含两个一次函数的应用
利用两个一次函数解决实际问题
1.如图,已知A,B两地相距20 km,甲从A地出发到B地,一段时间后,乙从B地出发到A地,甲、乙两人离A地的距离s(km)与甲所用的时间t(h)之间的关系如图所示,则他们相遇时距离A地 ( )
A.8 km B.10 km C.12 km D.14 km
2.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多
kW·h.
3.如图,某铁道桥桥长AC=1 000 m,现有一列火车QB以固定的速度过桥.小明在距桥头A处100 m的点O固定激光测速仪,激光射线OP与桥AC交于点P(400,100);小聪在点M(500,0)处设置可转动的另一台测速仪,射出的激光线MQ(激光MQ)追踪火车头点Q,当火车头Q刚好在桥头时,车尾B的坐标为(-300,100),并测得整列火车完全在桥上的时间为14 s.
(1)火车行驶的速度为 m/s,火车从开始上桥到完全过桥共用 s.
(2)当车尾刚好经过点P时,求射线MQ所在直线的函数表达式,并求射线MQ、射线OP的交点
坐标.
(3)若火车头Q刚好在桥头时开始计时,请直接写出激光射线MQ与射线OP有交点的时长.
1.已知A,B两地相距4 km.上午8:00甲从A地出发步行到B地,8:20乙从B地出发骑自行车到A地,甲、乙两人离A地的距离y(km)与甲所用的时间x(min)之间的函数图像如图所示.由图中的信息可知,乙到达A地的时间为 ( )
A.8:30
B.8:35
C.8:40
D.8:45
2.如图,甲容器已装满水,高为20 cm的乙容器装有一定高度的水,由甲容器向乙容器注水,单位时间注水量一定,设注水时间为t(min),甲容器水面高为h1(cm),乙容器水面高度为h2(cm),其中h1-8 与t成正比例,且当t=2时,h1=6;h2与t成一次函数关系,部分对应值如表:
t/min 3 5
h2/cm 8 12
(1)分别写出h1,h2与t的函数关系式,并求出未注水时乙容器原有水的高度.
(2)当两个容器水面高度相同时,这个高度称为平衡高度,求甲、乙两个容器的平衡高度.
(3)当甲容器的水完全注入乙容器时,乙容器是否注满 若是,说明理由;若不是,需调整乙容器原有水的高度,求符合条件的乙容器原有水的高度.
3.小展在农村带领村民种植杂交奶莓,在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘.现有M、N两家果园可供采摘,这两家奶莓的品质相同,售价均为每千克30元,但是两家果园的采摘方案不同:
M果园:每人需购买20元的门票一张,采摘的奶莓按6折优惠;
N果园:不需要购买门票,采摘的奶莓按售价付款不优惠.
设小艺和爸爸、妈妈三个人采摘的奶莓数量为x kg,在M,N果园采摘所需总费用分别为yM,yN元,其函数图像如图所示:
(1)分别写出yM,yN与x之间的函数关系式.
(2)请求出图中点C的坐标.
(3)请根据函数图像,写出小艺一家选择哪家果园采摘更划算.
4.(应用意识)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a m/s的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6 s时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96 m时,进行了时长为t s的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(m)与无人机飞行的时间x(s)之间的函数关系如图所示.请结合图像解答下列问题:
(1)a= m/s,t= s.
(2)求线段MN所在直线的函数表达式.
(3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12 m (直接写出答案即可)
【详解答案】
课堂达标
1.B 解析:设s甲=kt,将(4,20)代入,得4k=20,解得k=5.∴s甲=5t.设s乙=k't+b,将(1,20),(3,0)代入,得解得∴s乙=-10t+30.由得
∴他们相遇时距离A地10 km.故选B.
2.12 解析:A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-48)÷200=0.16(kW·h),B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2(kW·h),∴l1图像的函数关系式为y1=80-0.16x,l2图像的函数关系式为y2=80-0.2x,当x=300时,y1=80-0.16×300=32,y2=80-0.2×300=20,32-20=12(kW·h),∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 kW·h.
3.解:(1)50 26
(2)∵火车的长度为300 m,P(400,100),
∴当车尾刚好经过点P时,火车头Q(700,100).
设射线MQ所在直线的函数表达式为y=k1x+b1(k1,b1为常数,且k1≠0).
将坐标M(500,0)和Q(700,100)分别代入y=k1x+b1,
得解得
∴射线MQ所在直线的函数表达式为y=0.5x-250.
设射线OP所在直线的函数表达式为y=k2x(k2为常数,且k2≠0).
将坐标P(400,100)代入y=k2x,
得400k2=100,解得k2=0.25,
∴射线OP所在直线的函数表达式为y=0.25x.
当射线MQ、射线OP相交时,
得解得
∴射线MQ、射线OP的交点坐标为(1 000,250).
(3)激光射线MQ与射线OP有交点的时长为18 s.
解法提示:当MQ∥OP时,射线MQ与射线OP无交点,设此时Q(a,100).
设当MQ∥OP时,射线MQ所在直线的函数表达式为y=0.25x+b.
将M(500,0)代入y=0.25x+b,
得0=0.25×500+b,
解得b=-125,
∴y=0.25x-125.
将Q(a,100)代入y=0.25x-125,得0.25a-125=100,解得a=900.
900÷50=18(s).
∴激光射线MQ与射线OP有交点的时长为18 s.
课后提升
1.C 解析:由题意,知题图中过点O的直线表示甲离A地的距离与时间的函数图像,因为该图像经过点(60,4),所以其函数关系式为y=x.故y=2时,x=30.当x>20时,设乙出发后离A地的距离与甲所用的时间的函数关系式为y=kx+b,将(30,2)和(20,4)代入y=kx+b中,得解得所以乙出发后离A地的距离与甲所用的时间的函数关系式为y=-x+8(x>20).令y=0,则x=40,即乙到达A地的时间为8:40.故选C.
2.解:(1)设h1-8=kt.
∵当t=2时,h1=6,
∴6-8=2k,解得k=-1.
∴h1-8=-t,即h1=-t+8.
设h2=mt+n.
由表格可得
解得
∴h2=2t+2.
令t=0,得h2=2,
∴未注水时乙容器原有水的高度为2 cm.
(2)当h1=h2时,-t+8=2t+2,
解得t=2,
此时-t+8=-2+8=6,即h1=h2=6,
∴甲、乙两个容器的平衡高度为6 cm.
(3)当甲容器的水完全注入乙容器时,乙容器不能注满.
在h1=-t+8中,令h1=0,得t=8,
在h2=2t+2中,令t=8,得h2=2×8+2=18.
∵乙容器高为20 cm,20>18,
∴当甲容器的水完全注入乙容器时,乙容器不能注满.
∵20-2×8=4(cm),
∴当甲容器的水完全注入乙容器时,乙容器刚好注满,则乙容器原有水的高度应为4 cm.
3.解:(1)∵M果园每人需购买20元的门票一张,采摘的奶莓按6折优惠,
∴在M果园采摘所需总费用与数量的关系为yM=20×3+0.6×30x=18x+60.
∵N果园不需要购买门票,采摘的奶莓按售价付款不优惠,
∴yN=30x.
(2)当yM=yN时,
解得x=5,∴y=30×5=150.
∴点C的坐标为(5,150).
(3)当yM解得x>5,
∴当采摘量大于5 kg时,到M果园更划算;
当yM=yN,即18x+60=30x,
解得x=5,
∴当采摘量为5 kg时,到两家果园所需总费用一样;
当yM>yN,即18x+60>30x,
解得x<5,
∴当采摘量小于5 kg时,到N果园更划算.
4.解:(1)8 20
(2)由题中图像知,N(19,96),
∵甲无人机的速度为8 m/s,
∴甲无人机匀速从0 m到96 m所用时间为96÷8=12(s).
∴甲无人机单独表演所用时间为19-12=7(s),6+7=13(s).
∴M(13,48).
设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b.
将M(13,48),N(19,96)分别代入,得
解得
∴线段MN所在直线的函数表达式为y=8x-56.
(3)2 s或10 s或16 s.
解法提示:由题中图像设A的坐标为(0,20),B的坐标为(6,48),同理,线段OB所在直线的函数表达式为y=8x,线段AN所在直线的函数表达式为y=4x+20,
线段BM所在直线的函数表达式为y=48,
当0≤x≤6时,
由题意,得|4x+20-8x|=12,
解得x=2或x=8(舍去);
当6由题意,得|4x+20-48|=12,
解得x=10或x=4(舍去);
当13由题意,得|8x-56-4x-20|=12,
解得x=16或x=22(舍去).
综上,两架无人机表演训练到2 s或10 s或16 s时,它们距离地面的高度差为12 m.
