22.1平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线的性质
1.(2024唐山路北区期末)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,图中一定相等的线段有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=7,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线长的和是( )
A.32 B.28 C.16 D.46
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O.若AC=2AB,∠BAO=94°,则∠AOD的度数为 ( )
A.157° B.147° C.137° D.127°
4.(2024邯郸月考)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若AD=5,AC=10,BD=6,则△BOC的周长为 ( )
A.13 B.16 C.18 D.21
5.如图, ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则 ABCD的面积是 ( )
A.12 B.16 C.24 D.32
6.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F,AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=52°,求∠ACB的度数.
(2)求证:AE=CF.
7.(2024遵化期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O任意作直线分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:△AEO≌△CFO.
(2)若CD=10,AD=8,OE=3,求四边形AEFD的周长.
1.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,则下列说法正确的是 ( )
A.AO=BO B.∠ABC=∠ADC
C.∠BAC=∠ADC D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD相交于点O,则OA的长的取值范围是 ( )
A.2
C.13.(2024邯郸成安县期末)如图, ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若 ABCD的周长为18,则△ABE的周长为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.18
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,连接AF.
(1)求证:BE=DF.
(2)若EF⊥AC,△ADF的周长是13,则平行四边形ABCD的周长为 .
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是边AB上一点,仅用无刻度的直尺在CD边上作点F,使得CF=AE.
(1)作出满足题意的点F,简要说明你的作图过程.
(2)依据你的作图,求证:CF=AE.
6.(几何直观)如图1,在 ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,过点O的动直线EF分别交AD于点E,交BC于点F.
(1)OE OF.(填“>”“<”或“=”)
(2)如图2,若动直线EF分别与AD,CB的延长线相交于点E,F,则(1)中的结论还成立吗 如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,连接AF,CE,求证:AF=CE.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C
6.(1)解:∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=52°,∴∠EAO=38°.
∵CA平分∠DAE,
∴∠DAC=∠EAO=38°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ACB=∠DAC=38°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS)
∴AE=CF.
7.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,OA=OC.
∴∠OAE=∠OCF.
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA).
(2)解:∵△AEO≌△CFO,
∴CF=AE,OE=OF.
∴DF+AE=DF+CF=CD=10.
又∵EF=2OE=6,
∴四边形AEFD的周长=AD+DF+AE+EF=8+10+6=24.
课后提升
1.B
2.C 解析:∵AB=3,BC=5,∴5-33.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC.∵ ABCD的周长为18,∴AB+AD=9.∵OE⊥BD,∴OE是线段BD的中垂线.∴BE=ED.∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=9.故选B.
4.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OB=OD.
∴∠ABD=∠CDB.
在△OBE和△ODF中,
∴△OBE≌△ODF(ASA).
∴BE=DF.
(2)26
5.(1)解:如图,连接EO并延长,交CD于点F,则点F为所求.
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO,AB∥CD,
∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE=CF.
6.(1)=
(2)解:(1)中的结论还成立.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,
∵∠AEO=∠CFO,∠AOE=∠COF,OA=OC,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF.
(3)证明:如图,
由(2)知△AOE≌△COF,∴AE=CF.
又∵∠AEF=∠CFE,EF=FE,
∴△AEF≌△CFE,∴AF=CE.22.1平行四边形的性质
第1课时 平行四边形及其边角性质
平行四边形的有关概念
1.如图 ,在 ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且EF∥AB,则图中平行四边形共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.对于平行四边形ABCD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是 ( )
A.平行四边形ABCD可表示为“ ACDB”
B.平行四边形ABCD可表示为“ABCD”
C.AD∥BC,AB∥CD
D.对角线为AC,BO
平行四边形的边、角的性质
3.下列说法正确的是 ( )
A.平行四边形邻边相等
B.平行四边形对边平行
C.平行四边形对角互补
D.平行四边形既是中心对称图形,也是轴对称图形
4.(2024石家庄桥西区期末)在 ABCD中,∠B=40°,则∠D的度数为 ( )
A.40° B.50°
C.90° D.140°
5.如图,在 ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
6.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB=3,∠B=60°,则AD的长是 ( )
A.4 B.5 C.3 D.6
7.如图,E是平行四边形ABCD的边BC上一点,且AB=BE,连接AE并延长,与DC的延长线交于点F.如果∠F=70°,那么∠B的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
8.如图, ABCD的顶点A,C分别在直线EF,GH上,且EF∥GH,∠FAD=26°,则∠BCG的度数为 ( )
A.34° B.24° C.30° D.26°
9.(2024广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
10.(2024泸州中考)如图,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2.
1.如图, ABCD的周长是28 cm,△ABC的周长是22 cm,则AC的长为 ( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.12 cm
2.(2024邯郸月考)如图所示,平行四边形ABCD中,AB=10 cm,BC=20 cm,BC边上的高是8 cm.EF是AD和BC的平行线,图中阴影部分的面积是 ( )
A.75 cm2 B.80 cm2
C.85 cm2 D.90 cm2
3.如图,O为原点, ABCD的顶点A(0,4),B(-5,-1),C(0,-1),则点D的坐标为 ( )
A.(5,5) B.(4,5)
C.(5,4) D.(4,4)
4.如图,在 ABCD中,AB=3,∠ABC与∠BCD的平分线交于点E,若点E恰好在AD边上,则CE2+BE2的值为 ( )
A.12 B.16
C.24 D.36
5.如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E.若∠C=70°,则∠BAE= °.
6.(2024邢台月考)如图,在平行四边形ABCD中,E为BC上一点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,AD=DF,连接DE.
(1)求证:AE平分∠BAD.
(2)若E为BC的中点,∠B=60°,AD=5,求平行四边形ABCD的周长.
7.(推理能力)如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,AE=3,EB=5,DE=4.
(1)求证:∠DEA=90°.
(2)求CE的长.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D
7.B 8.D 9.5
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠1=∠2.
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,BC=AD.∴AB+BC+CD+AD=2(AB+BC).∵ ABCD的周长是28 cm,∴2(AB+BC)=28 cm.∴AB+BC=14 cm.∵△ABC的周长是22 cm,∴AB+BC+AC=22 cm.∴AC=8 cm.故选C.
2.B 解析:由题意可知,四边形AEFD、四边形EBCF都是平行四边形,设平行四边形AEFD边AD和平行四边形EBCF的边BC边上的高分别为h1,h2,则图中阴影部分的面积=BC·h2+AD·h1.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∴图中阴影部分的面积=BC(h1+h2).∵h1+h2=8 cm,∴图中阴影部分的面积=×20×8=80(cm2).故选B.
3.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵B(-5,-1),C(0,-1),∴BC=0-(-5)=5.∴AD=5.
∵A(0,4),∴点D的坐标为(5,4).故选C.
4.D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=3,∴DC=AB=3,AD∥BC,AB∥CD,∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=
∠BCE,∠ABC+∠DCB=180°.∵∠ABC与∠BCD的平分线交于点E,点E恰好在AD边上,∴∠ABE=∠CBE=
∠ABC,∠DCE=∠BCE=∠DCB,∴∠AEB=∠ABE,∠DEC=∠DCE,∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠DCB)=90°.
∴AE=AB=3,DE=DC=3,∠BEC=180°-(∠CBE+∠BCE)=90°.∴BC=AD=AE+DE=3+3=6.∴CE2+BE2=BC2=62=36.故选D.
5.50 解析:∵BD=CD,∠C=70°,∴∠DBC=∠C=70°,∠BDC=180°-2×70°=40°.∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠ABE=∠BDC=40°.∵AE⊥BD,∴∠BAE=90°-40°=50°.
6.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,即AB∥DF.
∴∠BAE=∠F.
∵AD=DF,∴∠DAE=∠F.
∴∠BAE=∠DAE.
∴AE平分∠BAD.
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵AD=5,∴BC=5.
∵E为BC的中点,
∴BE=BC=×5=.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA.
∵∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB.
∴△ABE为等腰三角形.
又∵∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形.
∴AB=BE=.∴CD=AB=.
∴平行四边形ABCD的周长为2AD+2AB=2×5+2×=15.
7.(1)证明:∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD.
∴∠BEC=∠DCE.
∴∠BEC=∠BCE.
∴BC=BE=5.
∴AD=5.
∵EA=3,ED=4,32+42=52,
∴EA2+ED2=AD2.
∴△ADE是直角三角形,
且∠DEA=90°.
(2)解:由(1)可知,∠DEA=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠CDE=∠DEA=90°,CD=AB=AE+EB=3+5=8.
在Rt△EDC中,由勾股定理,得CE==4,
即CE的长为4.