22.2平行四边形的判定
第1课时 利用一组对边判定平行四边形
利用平行四边形的定义判定
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,若四边形ABCD是平行四边形,则还需要满足 ( )
A.∠A+∠B=180°
B.∠A+∠C=180°
C.∠B+∠C=180°
D.∠B+∠D=180°
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,BC=6,AB=3,求四边形ABCD的周长.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ( )
4.如图,若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后,可证明四边形ABCD为平行四边形,则这条线段为 ( )
A.a B.b C.c D.d
5.如图,在平行四边形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN.
求证:DM=BN.
6.(2024浙江中考)尺规作图问题:
如图1,E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图2,以C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连接AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦……我明白了!
(1)求证:AF∥CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.
1.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是 ( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①④
2.(2024辽宁中考)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ED∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
3.如图,已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,E为AB上一点,过点E作EF∥BC,交CD于点F,G为AD上一点,H为BC上一点,连接AH,CG,分别交EF于点M,N.若GD=BH,则图中的平行四边形有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
4.如图,在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点,延长MN至点P,连接PC,∠P+∠BCP=180°,要使四边形MBCP为平行四边形,甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案:
甲:添加BM=PC;
乙:添加BM∥PC;
丙:添加MP=BC.
其中正确的方案有 ( )
A.甲、乙 B.乙、丙
C.甲、丙 D.甲、乙、丙
5.(2024武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
6.(推理能力)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为点F,连接DF.
求证:(1)AC=EF.
(2)四边形ADFE是平行四边形.
【详解答案】
课堂达标
1.C
2.解:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=∠D,∴∠C+∠D=180°.
∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD=3,BC=AD=6.
∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18.
3.D 4.A
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵AM=CN,
∴AB-AM=CD-CN,
即BM=DN.
又∵BM∥DN,
∴四边形MBND是平行四边形.
∴DM=BN.
6.(1)证明:根据小明的作法知,
CF=AE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
又∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF∥CE.
(2)解:以A为圆心,CE长为半径画弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.
故小丽的作法有问题.
课后提升
1.B 解析:∵只有③④两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,∴带③④两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选B.
2.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC=,OD=BD=.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∴四边形OCED的周长=2(OC+OD)=2×=8.故选C.
3.D 解析:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,AD∥BC.又∵EF∥BC,∴EF∥BC∥AD.∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形.∵GD=BH,AD=BC,∴AG=CH.又∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形.又∵EF∥BC∥AD,∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形,∴共有6个平行四边形.故选D.
4.B 解析:∵∠P+∠BCP=180°,∴MP∥BC.甲:添加BM=PC后,一组对边平行,另一组对边相等,不能证明四边形MBCP为平行四边形;乙:添加BM∥PC后,满足两组对边平行,能证明四边形MBCP为平行四边形;丙:添加MP=BC后,满足一组对边平行且相等,能证明四边形MBCP为平行四边形.综上可知,只有乙、丙方案才正确.故选B.
5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,
∴AD-AF=BC-CE.
∴DF=BE.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:BE=CE.(答案不唯一)
6.证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC.
∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AE=AB,AB=2AF,∴AF=BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL).
∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°=∠AFE.
∴EF∥AD.
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.22.2平行四边形的判定
第2课时 利用两组对边、对角线判定平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.如图,已知△ABD,用尺规进行如下操作:①以点B为圆心,AD长为半径画弧;②以点D为圆心,AB长为半径画弧;③两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC.可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段EF与AD,BC分别交于点E,F.若AB=CD=4,AD=BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为 .
3.如图,四边形AECF是平行四边形,D,B分别在AF,CE的延长线上,连接AB,CD,∠B=∠D.
求证:(1)△ABE≌△CDF.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.(2024济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件: ,使四边形ABCD是平行四边形.
5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
6.如图,AB,CD相交于点E且互相平分,F是BD延长线上一点,∠FAC=2∠BAC.求证:AC+DF=AF.
1.(2024河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠3. ∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴ ① . 又∵∠4=∠5,MA=MC, ∴△MAD≌△MCB( ② ). ∴MD=MB. ∴四边形ABCD是平行四边形.
以上解答过程正确,①②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
2.(2024乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
3.如图1,平行四边形ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是 ( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙 D.甲、乙都不是
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于
点E.
(1)请写出BE与CD的数量关系: .
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形.
(3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,则BF的长是 .
5.(推理能力)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在 ABCD的外面,点E在点F的右边),连接AE,CE,CF,AF.
(1)若DE=OD,BF=OB,求证:四边形AFCE为平行四边形.
(2)若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE还是平行四边形吗 请写出结论并说明理由.
(3)若DE= OD,BF= OB,四边形AFCE还是平行四边形吗 请写出结论并证明.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.12
3.证明:(1)∵四边形AECF是平行四边形,
∴∠AEC=∠AFC,AE=CF,AF=CE.
∵∠AEC+∠AEB=180°,
∠AFC+∠CFD=180°,
∴∠AEB=∠CFD.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)由(1),知△ABE≌△CDF,
∴AB=CD,BE=DF.
又∵AF=CE,
∴AF+DF=CE+BE,
即AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.OB=OD(答案不唯一)
5.解:四边形ABFC是平行四边形.
证明:∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠CFE.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
∴AE=FE.
又∵BE=CE,
∴四边形ABFC是平行四边形.
6.证明:如图,连接AD,BC.
∵AB,CD相交于点E且互相平分,
∴四边形ACBD是平行四边形.
∴AC=BD,AC∥BD.
∴∠BAC=∠ABF.
∵∠FAC=2∠BAC,
∴∠FAB=∠BAC.
∴∠ABF=∠FAB.
∴AF=BF.
∵AC+DF=BD+DF=BF,
∴AC+DF=AF.
课后提升
1.D 2.D
3.C 解析:方案甲:连接AC,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,∴OB=OD,OA=OC.
∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM.∴四边形ANCM为平行四边形.故方案甲正确.方案乙:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABN=∠CDM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD.在△ABN和
△CDM中,∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM.
又∵AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形,故方案乙正确.故选C.
4.(1)BE=CD
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∴∠BAE=∠AEB.
∴BE=AB.
∴BE=CD.
(2)证明:由(1),知BE=AB.
∵BF平分∠ABE,
∴AF=EF.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(ASA).
∴DF=CF.
又∵AF=EF,
∴四边形ACED是平行四边形.
(3)2
解析:由(1)知BE=AB,
又∵∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形.
∴AB=AE=4.
∵BF⊥AE,
∴AF=EF=AE=2.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF==2.
5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵DE=OD,BF=OB,
∴DE=BF,
∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形.
(2)解:若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE是平行四边形.
理由如下:
∵DE=OD,BF=OB,OD=OB,
∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,
即OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
(3)解:若DE=OD,BF=OB,四边形AFCE为平行四边形.
证明如下:
∵DE= OD,BF= OB,OD=OB,
∴DE=BF,
∴OB+BF=OD+DE,即OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AFCE为平行四边形.
