22.4矩形
第2课时 矩形的判定
利用定义法判定矩形
1.(开放性试题)如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC和AC边的中点,请添加一个条件:
,使四边形BEFD为矩形.(写出一个即可)
2.(2024长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.
求证:四边形ABCD是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形
3.依据所标数据,下列四边形不一定为矩形的是 ( )
4.如图,在 ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.
求证:(1)△ABE≌△CDF.
(2)四边形AECF是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形
5.(2024泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
6.如图,C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形.
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
1.下面是甲、乙两名同学的作业(题中△ABC为等腰三角形,AB=AC).
甲:1.过点A作AD⊥BC,垂足为D. 2.延长BA到N,作∠CAN的平分线AE. 3.过点C作CE⊥AE,垂足为E;四边形ADCE为矩形. 乙:1.过点A作AD⊥BC,垂足为D. 2.以A为圆心,BD长为半径画弧;以B为圆心,AD长为半径画弧. 3.两弧交于AD上方一点E,连接BE,AE;四边形ADBE为矩形.
对于两人的作业,下列说法正确的是 ( )
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为斜边BC上的一个动点,过点P分别作PE⊥AB于点E,作PF⊥AC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 .
3.(2024兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
4.如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
(1)求证:AF与DE互相平分.
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形 请说明理由.
5.(推理能力)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形 请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.AB⊥BC(答案不唯一)
2.证明:∵O是边AB的中点,
∴OA=OB.
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(ASA).
∴DA=CB.
∵∠A=∠B=90°,∴DA∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
3.A
4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=
∠AFC=90°.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)∵AD∥BC,
∴∠EAF=∠AEB=90°.
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°.
∴四边形AECF是矩形.
5.D
6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
∵C是BE的中点,∴BC=CE.
∴AD=CE.
又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC.
∵AB=AE,∴DC=AE.
又∵四边形ACED是平行四边形,
∴四边形ACED是矩形.
课后提升
1.A 解析:甲的作业,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAC,∠ADC=90°.∵AE平分∠CAN,∴∠CAE=∠CAN.
∴∠CAD+∠CAE=(∠BAC+∠CAN).∴∠DAE=∠BAN=×180°=90°.∵CE⊥AE,∴∠E=90°.∴四边形ADCE是矩形.∴甲的作业正确.乙的作业,由题意,知AD=BE,AE=BD,∴四边形ADBE是平行四边形.∵AD⊥BC,∴∠ADB =90°.∴四边形ADBE是矩形.∴乙的作业正确.故选A.
2. 解析:连接AP,如图所示.∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP.∵P为斜边BC上的一个动点,∴线段EF的最小值为线段AP的最小值,当AP⊥BC时,AP最小.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则由勾股定理可得BC==5,∴由等面积法可得S△ABC= AB·AC=BC·AP,即3×4=5AP,解得AP=.故线段EF的最小值为.
3.(1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD,
∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°.
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:∵在△ABC中,AB=AC,
D是BC的中点,BC=4,
∴BD=CD=BC=2.
由(1)可知,四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理,得
AC=.
∵EF⊥AC,
由三角形的面积公式,得
S△AEC=AC·EF=AE·CE,
∴EF=.
4.(1)证明:点D是AB的中点,
∴AD=AB.
∵E是AC的中点,F是BC的中点,
∴EF是△ABC的中位线.
∴EF∥AB,EF=AB.∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
(2)解:当AF=BC时,四边形ADFE为矩形.
理由如下:∵线段DE为△ABC的中位线,∴DE=BC.
∵AF=BC,∴AF=DE.
又∵四边形ADFE是平行四边形,
∴四边形ADFE为矩形.
5.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC.
∴∠ABE=∠CDF.
∵E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=OB,DF=OD.
∴BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA.
∵E是OB的中点,
∴AG⊥OB.
∴∠OEG=∠AEO=90°.
同理,CF⊥OD.
∴∠AEO=∠CFO=90°.
∴AG∥CF.∴EG∥CF.
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线.
∴OE∥CG.∴EF∥CG.
∴四边形EGCF是平行四边形.
又∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.22.4矩形
第1课时 矩形及其性质
矩形边和角的性质
1.(2024辽宁中考)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,∠AEB为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
2.如图,矩形OABC的顶点O与原点重合,点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(-8,6),D为边BC上一动点,连接OD,若线段OD绕点D顺时针旋转90°后,点O恰好落在AB边上的点E处,则点E的坐标为 ( )
A.(-8,2) B.(-8,3) C.(-8,3.5) D.(-8,4)
3.如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,F,G,H分别是BE,BC,CE的中点,AF=3,则GH的长为 .
4.(2024无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,DE.
求证:(1)△ABE≌△DCE.
(2)∠EAD=∠EDA.
矩形对角线的性质
5.(2024成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是AB,AO的中点,且AC=8,则EF的长度为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.(2024甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB=30°,BC=4.
(1)求证:∠AOD=120°.
(2)求AC的长.
1.(2024河北中考)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
2.如图,在矩形OABC中,点B的坐标是(2,4),则AC的长是 ( )
A.2 B.4 C.2 D.2
3.(2024牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,E是BC边的三等分点,连接DE,P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为 .
4.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且BE=CF.
求证:(1)△ABE≌△DCF.
(2)四边形AEFD是平行四边形.
5.如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,BN⊥AM,垂足为点N.
(1)求证:△ABN≌△MAD.
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
6.(几何直观)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证:DB=DE.
(2)若∠AOB=60°,BD=4,求四边形BCDE的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.C
2.D 解析:由题意可得,AB⊥x轴,BC⊥y轴,∠B=∠BCO=90°,AO=BC=8,AB=CO=6.由旋转可得,DE=OD,
∠EDO=90°.又∵∠B=∠OCD=90°,∴∠EDB+∠CDO=90°=∠COD+∠CDO.∴∠EDB=∠DOC.∴△DBE≌
△OCD(AAS).∴BD=OC=6,BE=CD=BC-BD=2,∴AE=AB-BE=4.∴点E的坐标为(-8,4).故选D.
3.3 解析:在矩形ABCD中,∠BAD=90°.∵F为BE的中点,AF=3,∴BE=2AF=6.∵G,H分别为BC,EC的中点,
∴GH=BE=3.
4.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△DCE中,
∴△ABE≌△DCE(SAS).
(2)∵△ABE≌△DCE,
∴AE=DE.∴∠EAD=∠EDA.
5.C 6.A 7.C
8.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO=AC,
BO=DO=BD.
∴BO=CO.∴∠OBC=∠OCB.
∵∠ACB=30°,∴∠OBC=30°.
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°,
∴∠BOC=120°.
∴∠AOD=∠BOC=120°.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°.∵∠ACB=30°,
∴AB=AC,即AC=2AB.
∵AB2+BC2=AC2,BC=4,
∴AB=4,∴AC=8.
课后提升
1.B 解析:设A(a,b),AB=m,AD=n.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=n,AB=CD=m,∴D(a,b+n),B(a+m,b), C(a+m,b+n).∵,而,∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.
2.D 解析:如图,连接OB,过点B作BM⊥x轴于点M.∵点B的坐标是(2,4),∴OM=2,BM=4,由勾股定理,得OB==2.∵四边形OABC是矩形,∴AC=OB.∴AC=2.故选D.
3.13或 解析:当CE>BE时,如图1,∵四边形ABCD为矩形,∴O是BD的中点.∵P是DE的中点,∴BE= 2OP=6,CP=PE=PD.∵E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18.∵矩形ABCD的面积是90,∴BC× CD=90.∴CD=5.∴DE==13.∴PC+PE=DE=13.当CE4.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
∴∠DCF=180°-∠DCB=90°=∠ABC.
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF(SAS).
(2)∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
∴BC=EF=AD.
又∵AD∥EF,
∴四边形AEFD是平行四边形.
5.(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,
∴∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∴△ABN≌△MAD(AAS).
(2)解:∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD.∵AD=2,∴BN=2.
又∵AN=4,∴在Rt△ABN中,
AB==2,
∴=2×2=4,
×2×4=4.
∴=4-8.
6.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AC=BD,AB∥CD.
又∵DE∥AC,
∴四边形ACDE是平行四边形.
∴DE=AC,CD=AE.
∴DE=BD.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=4,AO=CO,BO=DO.
∴AO=BO=2.
又∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=AO=2=CD=AE.
∴AD==2.
∴四边形BCDE的面积=×2×2+2×2=6.
