22.5菱形
第1课时 菱形及其性质
菱形边和角的性质
1.(2024临夏州中考)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(-,4)
C.(-2,4) D.(-4,)
2.(2024福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.
求证:BE=DF.
菱形对角线的性质
3.如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= ( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
4.(2024济宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则菱形的边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
5.(2024绥化中考)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. B.6 C. D.12
6.如图,在菱形ABCD中,E是AB上一点,连接DE交对角线AC于点F,连接BF.
求证:∠FBC=∠AED.
7.如图,四边形ABCD是菱形,∠ADB=30°,AC=6.
(1)求∠ABC,∠BCD的度数.
(2)求BC,BD的长.
1.如图,E为菱形ABCD的对角线AC上的动点,以EA,EB为邻边作平行四边形AFBE.若AB=15,AC=18,则EF的最小值为 ( )
A.24 B.12
C.20 D.10
2.对于问题:“如图,在边长为7的菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ADO=30°,把一个大小为120°的∠AMN的顶点M放在线段OD上(不与点O,D重合),一边经过点A,另一边与射线BC交于点N,求MN的整数值.”甲的答案:2或3;乙的答案:4或5;丙的答案:6.下列判断正确的是 ( )
A.只有甲的答案对
B.只有乙的答案对
C.甲、乙的答案合在一起才完整
D.乙、丙的答案合在一起才完整
3.(2024广安中考)如图,菱形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF.
求证:∠DEF=∠DFE.
4.如图,菱形ABCD的边长为8,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°,且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积.
(2)求证:AE=EF.
5.(推理能力)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,M,N分别是边BC,CD上的两个动点,∠MAN=60°,连接MN.
(1)△AMN是等边三角形吗 如果是,请证明;如果不是,请说明理由.
(2)在M,N运动的过程中,四边形CMAN的面积是否发生变化 若不变化,求出面积的值;若变化,说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.C
2.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴BE=DF.
3.D 4.A 5.A
6.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD.∴∠AED=∠FDC.
∵直线AC是菱形ABCD的对称轴,且点F在AC上,
∴△CDF与△CBF关于直线AC对称.
∴∠FBC=∠FDC.
∴∠FBC=∠AED.
7.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO=3,BO=DO,
AD∥BC,∠ABC=∠ADC=
2∠ADB=60°,AC⊥BD.
∴∠BCD=180°-∠ADC=120°.
(2)∵∠ADB=∠BDC=30°,
∠COD=90°,OC=3,
∴CD=2OC=6,DO==3.
∴BC=CD=6,BD=2DO=6.
课后提升
1.B 解析:如图,连接EF,BD,BD与AC交于点O.由题意,得AO=AC=9,AO⊥BO,∴BO==12.∵四边形AFBE是平行四边形,∴AC∥BF.∴当EF⊥AC,即EF=OB时,EF最小,此时,最小值为12.故选B.
2.D 解析:如图,连接MC.∵四边形ABCD是边长为7的菱形,∴AC⊥BD,∠CDM=∠ADM,AD=7,∠ABC=∠ADC.∴∠AOD=90°.∵∠ADO=30°,∴AO=AD=3.5.∵菱形ABCD是轴对称图形,DB所在的直线是菱形的对称轴,
∴MC=AM,∠MCB=∠MAB.∵∠ABC=∠ADC=2∠ADO=60°,∠AMN=120°,∴∠MAB+∠MNB=360°-120°-60°=180°.∵∠MNC+∠MNB=180°,∴∠MNC=∠MAB.∴∠MNC=∠MCB.∴MN=MC.∴MN=MA.∵OA
3.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C.
∵BE=BF,
∴AB-BE=BC-BF.
∴AE=CF.
在△DAE和△DCF中,
∴△DAE≌△DCF(SAS).
∴DE=DF.
∴∠DEF=∠DFE.
4.(1)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=8,AC⊥BD,BD=2OB.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=BA=8,BO==4.
∴BD=8.
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×8×8=32.
(2)证明:如图,连接EC.
∵BD垂直平分AC,
∴EA=EC.
∴∠EAC=∠ECA.
∵DA=DC,∴∠DAC=∠DCA.
∴∠EAC+∠DAC=∠ECA+∠DCA.
∴∠DAE=∠DCE.
∵∠AEF=120°,∠ADC=∠ABC=60°,
∴∠EAD+∠F=360°-∠AEF-∠ADC=180°.
∵∠ECD+∠ECF=180°,
∴∠F=∠ECF.
∴EF=EC.
∴AE=EF.
5.解:(1)△AMN是等边三角形.
证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D=60°,AB=BC=CD=AD.
∴△ABC,△ACD都是等边三角形.
∴AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACD=∠MAN=60°.
∴∠BAM=∠CAN.
在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(ASA).
∴AM=AN.
∵∠MAN=60°,
∴△AMN是等边三角形.
(2)四边形CMAN的面积不发生变化.理由如下:
∵△BAM≌△CAN,
∴S△BAM=S△CAN.
∴四边形CNAM的面积=S△ABC=×2×.
∴四边形CNAM的面积不发生变化.22.5菱形
第2课时 菱形的判定
利用定义法判定菱形
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 ( )
A.BE平分∠ABC B.AD=BD
C.BE⊥AC D.AB=AC
2.如图,在 ABCD中,E是对角线AC上的一点.连接BE,DE,BE=DE,∠BEC=∠DEC.
求证:四边形ABCD是菱形.
四条边相等的四边形是菱形
3.张师傅应客户要求加工4个菱形零件.在交付客户之前,张师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是 ( )
4.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C,连接AC,BC,AB,OC.若AB=2 cm,四边形OACB的面积为4 cm2,则OC的长为
cm.
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BE=DE.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,求证:四边形ABCD是菱形.
两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6.(2024通辽中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是 ( )
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
7.如图, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,E,F是线段BD上的两点,连接AE,EC,CF,FA,已知∠AEB=∠CFD.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若AB=BC,求证:四边形AECF是菱形.
1.如图,ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两位同学的作法
如下:
甲:连接AC,作AC的中垂线交AD,BC于点E,F,则四边形AFCE是菱形.
乙:分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边形ABEF是菱形.
关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 ( )
A.仅甲正确 B.仅乙正确
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
2.(2024广西中考)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
3.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形.
(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.
4.(2024哈尔滨中考)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.
(1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形.
(2)如图2,AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上,连接EG交AC于点F.若∠FEC=75°,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外).
5.(推理能力)如图,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点F,E是AC的中点,过点A作AD∥BC,交FE的延长线于点D.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形.
(2)△ABC满足什么条件时,四边形AFCD是菱形 请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A
2.证明:在△BEC和△DEC中,
∴△BEC≌△DEC(SAS).
∴BC=DC.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
3.C 4.4
5.证明:(1)在△ABE和△ADE中,
∴△ABE≌△ADE(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
(2)∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
由(1)可知,∠BAC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC.
∴AD=CD.
同理,AB=BC,
∵AB=AD,
∴AB=AD=CB=CD.
∴四边形ABCD是菱形.
6.D
7.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,AB=CD,
AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴BE=DF.
∴OB-BE=OD-DF,
即OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
由(1)可知,四边形AECF是平行四边形,
∴平行四边形AECF是菱形.
课后提升
1.C 解析:甲的作法正确,如图1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠ACB.∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.乙的作法正确.如图2,∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7.∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠5=∠6.∴∠1=∠3,∠5=∠7.∴AB=AF,AB=BE.∴AF=BE.∵AF∥BE,且AF=BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.故选C.
2.8 解析:如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AEB=∠AFD=90°.∵两张纸条宽度均为3 cm,∴四边形ABCD为平行四边形,且AE=AF=3 cm.∴∠ADF=∠ABE=60°.∴△ADF≌△ABE(AAS),∴AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,在Rt△ADF中,∠ADF=60°,AF=3 cm,AD=2 cm,四边形ABCD的周长为2×4=8(cm).
3.证明:(1)在 ABCD中,OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.∴∠BAC=∠DCA.
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC.∴DA=DC.
又∵OA=OC,∴DB⊥EF.
∴ EBFD是菱形.
4.(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO.
在△ADO和△CBO中,
∴△ADO≌△CBO(AAS).
∴OD=OB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:与线段CE相等的线段有AE,DE,AG,CF.
解法提示:由(1),知四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD.
∵AB=AC,
∴AB=BC=CD=AD=AC.
∴△ABC和△ADC为等边三角形.
∵CH⊥AD,∴AH=DH,
即CH为AD的垂直平分线.
∴AE=DE.
同理,CE=AE,∴AE=DE=EC.
∵△ADC为等边三角形,CH⊥AD,
∴∠ACH=∠ACD=30°.
∵∠FEC=75°,
∴∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°.
∴∠EFC=∠FEC.∴CF=CE.
∵△ABC和△ADC为等边三角形,
∴∠BAC=∠CAD=60°.
∵CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°.
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°.
∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°.
∴△AGE为等腰直角三角形.
∴AE=AG,∴AG=CE.
5.(1)证明:∵E是AC的中点,
∴AE=CE.∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠FCE.
在△EAD和△ECF中,
∴△EAD≌△ECF(ASA).
∴DE=FE.
∴四边形AFCD是平行四边形.
(2)解:当∠BAC=2∠ACB时,四边形AFCD是菱形.
理由:∵AF平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠FAC.
又∵∠BAC=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB.
∴FA=FC.
又∵四边形AFCD是平行四边形,
∴四边形AFCD是菱形.