第二十二章 四边形 评估测试卷（含答案） 2024-2025学年数学冀教版八年级下册

第二十二章 四边形评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设四边形的内角和等于a,八边形的外角和等于b,则a与b的大小关系是 (　　)
A.a>b B.a=b
C.a2.如图,已知AB∥CD,增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是 (　　)
A.∠1=∠2 B.AD=BC C.OA=OC D.AD=AB
3.如图,△ABC中,AB=6,AC=4,BC=5,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,则四边形DEFB的周长是 (　　)
A.10 B.11 C.9 D.
4.(2024吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以OA,OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形OA'B'C',则点B'的坐标为(　　)
A.(-4,-2) B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2)
5.如图,点E在平行四边形ABCD的对角线BD上,设S1=,S2=,则S1与S2的大小关系为 (　　)
A.S1=S2 B.S1>S2 C.S16.(2024邢台襄都区月考)定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线.求证:CD=AB.
方法1:如图1,延长CD至点E,使DE=CD,连接AE,BE.
方法2:如图2,取BC边的中点E,连接DE.
下列说法正确的是 (　　)
A.只有方法1可以证明该定理,运用了平行四边形的对角线互相平分
B.只有方法2可以证明该定理
C.方法2不可以证明该定理
D.方法1、方法2都可以证明该定理
7.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,其中O点是坐标原点,AO=2,BO=3,BC=4,点A,B是固定点,把矩形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为 (　　)
A.(2,3) B.(2,5) C.(3,2) D.(5,2)
8.如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC于点F.若CF=3,EF=4,则AE的长是 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
9.如图,O为菱形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,若AC=6,BD=8,则OE的长为 (　　)
A.3 B. C.5 D.6
10.如图,已知菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD交于点O,且AO+BO=7,则该菱形的面积等于 (　　)
A.24 B.56 C.96 D.48
11.如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P,连接CM.若PM=PC,则AM的长为(　　)
A.3 B.3
C.6 D.6
12.(2024衡水武邑县月考)如图,等边三角形ABC的边长为8 cm.动点M从点B出发,沿B→A→C的方向以3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B的方向以5 cm/s的速度运动.若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点也停止运动,当点A,M,N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时,t的值为 (　　)
A.2或3 B.2或4
C.1或3 D.1或2
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.过八边形的一个顶点有　　　　条对角线.
14.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=AC=2,则BC=　　　　, BD=　　　　.
15.如图,正方形的边长为4,点E,F分别在AB和AD上,CE=CF=5,则△CEF的面积为　　　　,点E到CF的距离为　　　　.
16.如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4,AD=2,M,N分别是线段BC,AB上任意一点(含端点,但M不与B重合),E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为　　　　.
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(8分)如图,在 ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF,CE.
求证:AF∥CE.
18.(8分)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AD⊥DB,E,F分别是CD,BC的中点,连接OE,EF.
求证:四边形OEFB是矩形.
19.(8分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△BOF≌△DOE.
(2)连接BE,DF,求证:四边形EBFD是菱形.
20.(8分)A和B分别是两个多边形,阅读A和B的对话,完成下列各小题.
(1)嘉嘉说:“因为B的边数比A多,所以B的外角和比A的大,”判断嘉嘉的说法是否正确 并说明理由.
(2)设A的边数为n(n>3).
①若n=7,求x的值;
②淇淇说:“无论n取何值,x的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
21.(8分)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,F是CD延长线上的一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ABE≌△ADF.
(2)若AE=5,请求出EF的长.
22.(10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABC=45°,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点N.
(1)求∠CAM的度数.
(2)①求证:BN=2OC;
②若AB=4,求AN的长.
23.(10分)(2024沧州献县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,AE∥BC,O是AC的中点,连接DO并延长,交AE于点E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若∠AOE=60°,AC=4,求AE的长.
(3)当△ABC满足条件　　　　时,四边形ADCE是正方形.
24.(12分)(2024唐山乐亭县期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,G,H分别是AD,BC中点,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t s,其中0≤t≤10.
(1)当0≤t<5时,四边形EGFH一定是怎样的四边形 说明理由.
(2)若四边形EGFH为矩形,求t的值.
(3)若G向点D运动,H向点B运动,且与点E,F以相同的速度同时出发,若四边形EGFH为菱形,求t的值.
【详解答案】
1.B　解析:四边形的内角和为360°,多边形的外角和为360°,所以a=b.故选B.
2.C　解析:可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA=OC.理由如下:∵AB∥CD,∴∠1=∠2.在△AOB和
△COD中,∴△AOB≌△COD(ASA).∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
3.B　解析:∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,∴DE=BC=2.5,EF=AB=3,DB=AB=3,BF=BC=2.5.∴四边形DEFB的周长=DE+EF+BF+BD=11.故选B.
4.C　解析:∵点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),∴OA=4,OC=2.∵四边形ABCO是矩形,∴BC=OA=4.∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形OA'B'C',∴OC'=OC=2,B'C'=BC=4.∴点B'的坐标为(2,4).故选C.
5.A　解析:如图,过点A作AF⊥BD于点F,过点C作CG⊥BD于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABF=∠CDG.在△AFB和△CGD中,∴△AFB≌△CGD(AAS).∴AF=CG.∵S1=BE·AF,S2=BE·CG,∴S1=S2.故选A.
6.D　解析:方法1:∵CD是AB边上的中线,∴AD=BD.∵DE=CD,∴四边形ACBE为平行四边形.∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE为矩形.∴CE=AB,CD=CE=AB.方法2:∵AD=BD,E为BC边的中点,∴BE=CE,DE∥AC.
∴∠BED=∠ACB=90°.∴DE⊥BC.∴DE垂直平分BC.∴CD=BD=AD=AB.故方法1、方法2均可证明该定理.故选D.
7.D　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4.∴AD'=AD=4.由勾股定理,得OD'==2,∴D'(0,2).由题意,得四边形ABC'D'是平行四边形,∴AD'=BC',C'D'=AB=3+2=5,点C'与点D'的纵坐标相等.∴点C'的坐标为(5,2).故选D.
8.C　解析:如图,过点E作EK⊥AB于点K.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠CBD=45°,∠ABC=90°,AB=BC.∵EK⊥AB,EF⊥BC,∴BF=EF=4=EK=BK.∴AK=AB-BK=BC-BF=CF=3.在Rt△AKE中,AE==5.故选C.
9.C　解析:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°.∴四边形OCED是矩形.∴OE=CD.在菱形ABCD中,∵AC=6,BD=8,∴OC=AC=×6=3,OD=BD=×8=4.
∴CD==5.∴OE=CD=5.故选C.
10.A　解析:∵四边形ABCD是菱形,周长为20,对角线AC,BD交于点O,∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,AB=BC=CD =AD==5.∵AO+BO=7,∴(AO+BO)2=AO2+BO2+2AO·BO=72=49.∵AO2+BO2=AB2=52=25,∴25+2AO·BO=49.
∴2AO·BO=24.∴菱形ABCD的面积=4×AO·BO=2AO·BO=24.故选A.
11.C　解析:∵四边形ABCD是边长为6的正方形,∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°.在△ADM和△CDM中,∴△ADM≌△CDM(SAS),∴∠DAM=∠DCM.∵PM=PC,∴∠CMP=∠DCM.∴∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM.又∵∠APD+∠DAM=180°-∠ADC=90°,∴∠DAM=30°.设PD=x,则AP=2PD=2x,PM=PC=CD-PD=6-x,∴AD=x=6,解得x=2.∴PM=6-x=6-2,AP=2x=4,
∴AM=AP-PM=4-(6-2)=6.故选C.
12.C　解析:①当0≤t≤,点M,N,D的位置如图1所示.∵四边形ANDM是平行四边形,∴DM=AN,DM∥AN,DN∥AB.∴∠MDB=∠C=60°,∠NDC=∠B=60°,∴∠NDC=∠C.∴ND=NC.∴DM+DN=AN+NC=AC=8,即3t+5t=8,解得t=1;②当∴∠NDB=∠B=60°.∴ND=NB.∴NB+MC=AM+CM=8,即3t-8+5t-8=8,解得t=3.综上所述,t的值为1或3.故选C.
13.5　解析:从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数为8-3=5(条).
14.2　2　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2,∴BD=2BO,AO=OC=1.∵AB=AC=2,AB⊥AC,
∴BC==2.在Rt△ABO中,利用勾股定理可得,BO=.∴BD=2BO=2.
15.　　解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∠D=∠A=∠B=90°,∴BE==3.同理,DF=3,∴AE=AF=1.∴△CEF的面积=正方形ABCD的面积-△AEF的面积-△BCE的面积-△CDF的面积=4×4-×1×1-2××4×3=.如图,作EH⊥CF于点H.∵△CEF的面积=CF·EH=,∴EH=,即点E到CF的距离为.
16.　解析:如图,连接DN,DB.在Rt△DAB中,∠A=90°,AB=4,AD=2,∴BD==2.∵E,F分别为DM,MN的中点,∴EF=DN.由题意,得当点N与点B重合时DN最大,最大值为2,∴EF长度的最大值为.
17.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠ADB=∠DBC.
∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,即DF=BE.
在△ADF和△CBE中,
∵
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴∠AFD=∠CEB.
∴AF∥CE.
18.证明:∵E,F分别是CD,BC的中点,
∴EF∥BD,EF=BD.
∵ ABCD中,OB=BD,
∴EF=OB.
∴四边形OEFB是平行四边形.
∵AD∥BC,AD⊥DB,
∴BC⊥BD.
∴∠OBF=90°.
∴四边形OEFB是矩形.
19.证明:(1)如图所示.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵O是BD的中点,
∴BO=DO.
在△BOF与△DOE中,
∴△BOF≌△DOE(AAS).
(2)∵△BOF≌△DOE,∴ED=BF.
又∵ED∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形.
20.解:(1)嘉嘉的说法不正确.
理由:多边形的外角和始终为360°,与多边形的边数无关.
(2)①180(7+x-2)-180×(7-2)=360,解得x=2,
即x的值为2.
②180(n+x-2)-180(n-2)=360,
整理,得180x=360,解得x=2.
∴无论n取何值,x的值始终不变.
21.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)解:∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠DAF+∠EAD=90°,
即∠EAF=90°.
∴EF==5.
22.(1)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC.
∵∠ABC=45°,
∴∠ACB=(180°-∠ABC)=×135°=67.5°.
∵AM⊥BC,
∴BM=AM,∠BMN=∠AMC=90°.
∴∠CAM=90°-∠ACM=90°-67.5°=22.5°.
(2)①证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC=2OC,
AB=BC=CD=DA,
∠OBC=∠ABC=22.5°.
∴∠MAC=∠OBC.
又∵BM=AM,
∠BMN=∠AMC=90°,
∴△BMN≌△AMC(ASA).
∴BN=AC=2OC.
②解:如图,过点N作NH⊥AB于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD平分∠ABC.
又∵NH⊥AB,AM⊥BC,
∴NM=NH.
设NM=NH=x.
∵∠ABC=45°,
∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形.
∴NM=NH=x=AH,AH2+HN2=AN2,AB2=AM2+BM2,
∴AN=x.∵AB=4,
∴BM=AM=x+x=2.
解得x=4-2,
∴AN=4-4.
23.(1)证明:∵O是AC的中点,
∴OA=OC.∵AE∥BC,
∴∠OAE=∠OCD,∠OEA=∠ODC.
在△OAE和△OCD中,
∴△OAE≌△OCD(AAS).
∴AE=CD.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴∠ADC=90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解:∵四边形ADCE是矩形,
∴AO=OE=AC=2.
∵∠AOE=60°,
∴△AOE是等边三角形.
∴AE=OA=2.
(3)∠BAC=90°
解析:∵∠BAC=90°,
AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴AD=BC=DC.
由(1)知四边形ADCE是矩形,
∴四边形ADCE是正方形.
24.解:(1)四边形EGFH一定是平行四边形.理由如下:
连接BD交AC于点O,如图1所示:
∵四边形ABCD为矩形,AB=6,BC=8,∴OA=OC=AC,
AB=CD=6,BC=AD=8,
AD∥BC,∠ABC=90°.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC==10,
∴OA=OC=AC=5.
∵点E,F分别从A,C同时出发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t s,∴AE=CF=t.
当0≤t<5时,点E在OA上运动,点F在OC上运动,
∵G,H分别是AD,BC的中点,
∴AG=AD,CH=BC.
∴AG=CH.
∵AD∥BC,
∴∠GAE=∠HCF.
在△AGE和△CHF中,
∴△AGE≌△CHF(SAS).
∴EG=FH,∠AEG=∠CFH.
∵∠OEG+∠AEG=180°,
∠OFH+∠CFH=180°,
∴∠OEG=∠OFH,∴EG∥FH.
又∵EG=FH,∴四边形EGFH一定是平行四边形.
(2)连接GH,如图2所示:
∵AE=CF=t,OA=OC,
∴OE=OF.
∵四边形EGFH一定是平行四边形,
∴GH经过点O.
∴OG=OH=GH.
∵四边形ABCD为矩形,G,H分别是AD,BC的中点,
∴四边形ABHG和四边形CDGH均为矩形.
∴GH=AB=6.
∴OG=OH=GH=3.
∴若四边形EGFH为矩形时,则OE=OG=3.
∴AE=OA-OE=5-3=2.
∴当t=2时,四边形EGFH为矩形.
∵0≤t≤10,
∴当点E运动到图中点F的位置上时,点F运动到点E的位置上,此时四边形EGFH为矩形,t=8.
综上所述,若四边形EGFH为矩形,t的值为2或8.
(3)连接CG,GH,如图3所示:
∵点G,H与点E,F同时运动,且运动的速度相同,
∴点G,H与点E,F运动的路程相同.
∵点G到达点D时所用的时间为t=4.
∴0≤t<4.∴AG=CH=4+t.
∴DG=AD-AG=8-(4+t)=4-t.
∵四边形EGFH是菱形,OE=OF,
∴GH经过点O.∴GH⊥EF.
∵OA=OC,∴GH为线段AC的垂直平分线.
∴CG=AG=4+t.
在Rt△CDG中,DG=4-t,CG=4+t,CD=6,
由勾股定理,得CG2=GD2+CD2,
即(4+t)2=(4-t)2+62,
解得t=,
∴当t=时,四边形EGFH为菱形.