16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 分式方程及其解法
分式方程的概念
1.下列方程是分式方程的是 ( )
A.-=0 B.=-2
C.x2-1=2 D.2x+1=5x
2.下列方程中,分式方程有 .(填序号)
①-=5;②-=5;③x2-5x=0;④x2--3=0.
解分式方程
3.将关于x的分式方程=去分母可得 ( )
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
4.方程=的解为 ( )
A.x=-2 B.x=2
C.x=-4 D.x=4
5.方程-=0的解为 .
6.解分式方程:
(1)+1=.
(2)=+1.
分式方程的增根
7.方程-3=有增根,则增根是 ( )
A.x=6 B.x=5 C.x=3 D.x=1
8.关于x的分式方程+2=的解为正实数,则k的取值范围是 .
9.若关于x的方程+=有增根,试求k的值.
1.在下列方程中,关于x的分式方程有 ( )
①x2-x+4=0;②=4;③=4;④=1;⑤=6;⑥+=2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.定义a b=2a+,则方程3 x=4 2的解为 ( )
A.x= B.x=
C.x=- D.x=
3.(2024遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为 ( )
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
4.若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x= .
5.如图,点A、B在数轴上所对应的数分别为-2和,且点A、B到原点的距离相等,则x的值是 .
6.(新考法)我们把分子是1的分数叫做单位分数,有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差,如=-,=-,=-,…,请用观察到的规律解方程++…+=,该方程的解是 .
7.若关于x的分式方程-=有增根,则m的值为 .
8.设A=,B=+1.
(1)当x为何值时,A=2
(2)若A与B的值相等,求x的值.
9.先化简,再求值:÷,其中a的值满足关于x的方程-1=,且该方程有增根.
10.(运算能力)解方程:+=+.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.①④ 3.A 4.A 5.x=8
6.解:(1)方程两边同乘以(x-1),
约去分母,得x+(x-1)=2,解得x=.
检验:当x=时,x-1≠0,
∴x=是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘以(x-1)(x+1),
约去分母,得
x(x+1)=4+(x-1)(x+1),
解得x=3.
检验:当x=3时,(x-1)(x+1)≠0,
∴x=3是原分式方程的解.
7.B 8.k>-2且k≠2
9.解:方程两边同乘以x(x+1)(x-1),约去分母,
得(x+1)+(k-5)(x-1)=(k-1)x,
整理,得k=6-3x①.
又由x(x+1)(x-1)=0得x=0或x=-1或x=1.
∵原方程有增根,
∴可以把x=0,x=-1,x=1代入①,得k=6,9,3.
∴k的值为3,6或9.
课后提升
1.B 解析:①x2-x+4=0;②=4;⑥+=2的分母中不含有未知数x,它们不是关于x的分式方程;③=4;④=1;⑤=6的分母中含未知数x,故是关于x的分式方程.故选B.
2.B 解析:根据题中的新定义,得3 x=2×3+,4 2=2×4+.∵3 x=4 2,∴2×3+=2×4+,解得x=,经检验,x=是分式方程的解.故选B.
3.B 解析:去分母得2=x-1-m,解得x=m+3.由方程的解为正数, 得到m+3>0,且m+3≠1,则m的取值范围为m>-3且m≠-2.故选B.
4.1 解析:+|x-2|+x-1=0,∵x<2,∴方程为+2-x+x-1=0,即=-1,方程两边都乘以(x-2),得1=-(x-2),解得x=1,经检验x=1是原分式方程的解.
5.-6 解析:∵点A、B在数轴上所对应的数分别为-2和,且点A、B到原点的距离相等,∴-2+=0,去分母得-2x-6+x=0,解得x=-6,检验:把x=-6代入x+3=-3≠0,∴原分式方程的解为x=-6.
6.x=4 解析:原方程化简为-+-+…+-=,即-=,方程两边同乘以x(x+10),得5x=20,解得x=4.经检验x=4是原方程的解.
7.0或-2 解析:方程-=的两边同乘以x(x+1),约去分母,得x2-(m+1)=(x+1)2,解这个整式方程,得x=.若原分式方程有增根,则x(x+1)=0,所以x=0或x=-1.当x=0时,m=-2;当x=-1时,m=0.所以m的值为0或-2.
8.解:(1)由A=2,得=2.
去分母,得x=2x-2.
解得x=2.
检验:当x=2时,x-1=1≠0.
∴当x=2时,A=2.
(2)若A=B,则=+1.
方程两边同时乘以(x+1)(x-1),得
x(x+1)=3+(x+1)(x-1).
∴x2+x=3+x2-1.
解得x=2.
检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0.
∴x=2是分式方程的解.
因此,当x=2时,A=B.
9.解:原式=·
=·=.
-1=,两边同乘以(x-3)(x-4),
得x(x-4)-(x-3)(x-4)=a,整理得3x-12=a,
∵方程有增根,
∴x=3或x=4,
当x=3时,a=3×3-12=-3,
当x=4时,a=3×4-12=0,
∴a的值为-3或0.
当a=-3时,==;
当a=0时,原式无意义.
综上所述,原式的值为.
10.解:原方程化为-=-.
两边通分,得
=,
∴=,
∴(x+1)(x+3)=(x+5)(x+7),
∴x2+4x+3=x2+12x+35,解得x=-4.
经检验,x=-4是原方程的解.第2课时 分式方程的应用
列分式方程
1.某镇的“脆红李”深受广大市民喜爱.首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售.面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,但数量比第一批多购进了40件.求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件,根据题意可列方程为 ( )
A.=-40 B.-40=
C.+40= D.+40=
2.某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品.甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10 kg,甲型机器人搬动800 kg所用时间与乙型机器人搬运600 kg所用时间相等,乙型机器人每小时搬运多少千克产品 根据以上信息,解答下列问题.
(1)若设乙型机器人每小时搬运x kg产品,则可列方程为 .
(2)若设甲型机器人搬运800 kg所用时间为y h,则可列方程为 .
分式方程的应用
3.某市决定修建一条轻轨铁路,为使工程提前半年完成,需将工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要 ( )
A.30个月 B.25个月
C.36个月 D.24个月
4.已知A、B两地相距160 km,一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%,结果比原来提前0.4 h到达.这辆汽车原来的速度是 km/h.
5.某校八年级学生乘车到距学校40 km的社会实践基地进行社会实践,一部分学生乘旅游车,另一部分学生乘中巴车,他们同时出发,结果乘中巴车的同学晚到8 min.已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍,求中巴车的速度.
6.某公司会计欲查询乙商品的进价(如下表),发现进货单已被墨水污染.
商品 进价/(元/件) 数量/件 总金额/元
甲 7 200
乙 3 200
李师傅:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅:我记得甲商品比乙商品的数量多40件.
(1)乙商品的进价是多少
(2)请你帮会计算出甲商品的进价及甲、乙商品的进货数量.
1.某网店用2 000元购进A型小电风扇的台数比用3 000元购进B型小电风扇的台数少10台,且B型小电风扇每台进价是A型小电风扇每台进价的1.2倍.求A、B两种型号小电风扇每台的进价.若设A型号的小电风扇每台进价为x元,则下面所列方程正确的是 ( )
A.=-10 B.1.2×=
C.-10= D.=1.2×
2.甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地,已知A、C两地的距离为110 km,B、C两地的距离为100 km,甲骑自行车每小时比乙快2 km,结果两人同时到达C地,则乙骑自行车每小时行驶的距离为 ( )
A.15 km B.20 km
C.25 km D.30 km
3.某校计划投资9 000元建设几间直播教室,为了保证教学质量,实际每间建设费用增加了20%,并比原计划多建设了两间直播教室,总投资追加了3 000元.根据题意,则原计划每间直播教室的建设费用是 元.
4.目前,步行已成为人们最喜爱的健身方法之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现:小琼步行13 500步与小刚步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步.设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步,则根据题意可列方程为 .
5.(2024武威九中期末)我国汽车保有量的持续攀升,不仅给能源带来了危机,同时也给环境带来了巨大的危害.节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为60元;若完全用电做动力行驶,则费用为20元.已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元,汽车行驶中每千米用电费用是多少元 甲、乙两地的距离是多少千米
6.(应用意识)七一建党节前夕,某校决定购买A、B两种奖品,用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元,预算资金为1 700元,其中800元购买A奖品,其余资金购买B奖品,且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.
(1)求A、B奖品的单价.
(2)购买当日,正逢该店搞促销活动,所有商品均按原价8折销售,故学校调整了购买方案:不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元,A、B两种奖品共100件.购买A、B两种奖品的数量有哪几种方案
【详解答案】
课堂达标
1.A
2.(1)= (2)=+10
3.A 4.80
5.解:设中巴车的速度为x km/h,则旅游车的速度为1.2x km/h,依据题意,得
-=,解得x=50.
经检验x=50是原方程的解,且符合题意.
答:中巴车的速度为50 km/h.
6.解:(1)设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件,
根据题意,得-=40,
解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解.
答:乙商品的进价是40元/件.
(2)甲商品的进价是(1+50%)×40=60(元/件),
甲商品的进货数量是=120(件),
乙商品的进货数量是=80(件).
课后提升
1.A 解析:设A型号的小电风扇每台进价为x元,根据题意得=-10.故选A.
2.B 解析:设乙骑自行车每小时行驶的距离为x km,则甲骑自行车每小时行驶的距离为(x+2)km,根据题意,得=,解得x=20,经检验,x=20是原方程的解,且符合题意,∴乙骑自行车每小时行驶的距离为20 km.故选B.
3.500 解析:设原计划每间直播教室的建设费用是x元,则实际每间建设费用为1.2x元,根据题意,得-=2,解得x=500,经检验:x=500是原方程的解,∴原计划每间直播教室的建设费用是500元.
4.= 解析:设小刚每消耗1千卡能量需要行走x步.根据题意,得=.
5.解:设汽车行驶中每千米用电费用是x元,则汽车行驶中每千米用油费用是(x+0.5)元,
根据题意得=,
解得x=0.25,
经检验,x=0.25是原方程的解,且符合题意,
∴==80.
答:汽车行驶中每千米用电费用是0.25元,甲、乙两地的距离是80 km.
6.解:(1)设A奖品的单价为x元,则B奖品的单价为(x-25)元,
由题意,得×3=,解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,则x-25=15.
答:A奖品的单价为40元,B奖品的单价为15元.
(2)设购买A种奖品的数量为m件,则购买B种奖品的数量为(100-m)件,
由题意,得
解得22.5≤m≤25.
∵m为正整数,∴m的值为23,24或25,
∴有三种方案:
①购买A种奖品23件,B种奖品77件;
②购买A种奖品24件,B种奖品76件;
③购买A种奖品25件,B种奖品75件.
