17.5 实践与探索
第1课时 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
一次函数与一次方程(组)的关系
1.已知一次函数 y=ax+2的图象与x轴的交点坐标为(3,0),则关于x的一元一次方程ax+2=0的解为 ( )
A.x=3 B.x=0 C.x=2 D.x=a
2.用图象法解某二元一次方程组时,在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图),则所解的二元一次方程组是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图,在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+与直线l2:y=kx+3相交于点A,则方程组的解为 .
4.若方程组的解是则直线y=-2x+b与直线y=x-a的交点坐标是 .
一次函数与一元一次不等式的关系
5.一次函数 y=ax+b的图象如图所示,则不等式ax+b≥0的解集是 ( )
A.x≥2 B.x≤2
C.x≥4 D.x≤4
6.如图所示,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为点P,则不等式x+b>ax+3的解集是 .
7.观察函数的图象,根据如图所提供的信息填空:
(1)当x 时,y1<0.
(2)当x 时,y2>3.
(3)当x 时,y1(4)当x 时,y1=y2.
1.在平面直角坐标平面内,一次函数y=ax+b的图象如图所示,那么下列说法正确的是( )
A.当y>1时,x>0 B.方程ax+b=0的解是x=2
C.当x<0时,12.已知直线y=3x与y=-x+b的交点坐标为(a,6),则关于x、y的方程组的解是 ( )
A. B. C. D.
3.如图所示,直线l1:y=x+6与直线l2:y=-x-2交于点P(-2,3),则不等式x+6>-x-2的解集是 ( )
A.x>-2 B.x≥-2 C.x<-2 D.x≤-2
4.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0),点(0,3),有下列结论:①当x<0时,y<3;②关于x的方程kx+b=3的解为x=0;③当x>2时,y<0;④关于x的方程kx+b=0的解为x=2.其中正确的是 ( )
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
5.一般地,在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线.如图,过第一象限内A点的直线是方程x-y=b(b<-1)对应的图象,若点A的坐标恰为关于x、y的二元一次方程组的解,则a的值可能是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.一次函数y=kx+b在-2≤x≤-1时,y的取值范围为4≤y≤9,则该函数的表达式为 ( )
A.y=5x+14或y=-5x+4
B.y=5x+14 或y=-5x-1
C.y=-5x-1 或y=5x+9
D.不能确定
7.(几何直观)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,l1与x轴交于点D,直线l2经过点A、B,l1与l2交于点C.
(1)求点D的坐标.
(2)求直线l2的表达式.
(3)求△ADC的面积.
(4)在直线l2上是否存在异于点C的另外一点P,使得△ADP的面积与△ADC的面积相等 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.B
3. 4.(-1,3)
5.B 6.x>1
7.(1)<-1 (2)>3 (3)>2 (4)=2
课后提升
1.B 解析:由题图可知,一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴的交点坐标为(2,0),(0,1),当y>1时,x<0,故A错误;方程ax+b=0的解是x=2,故B正确;当x<0时,y>1,故C错误;不等式ax+b<0的解集是x>2,故D错误.故选B.
2.C 解析:∵直线y=3x经过点(a,6),∴a=2.∴交点坐标为(2,6).∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标,∴方程组的解为故选C.
3.A 解析:关于x的不等式x+6>-x-2的解集即直线l1在直线l2上方的部分对应的x的取值范围,即x>-2.故选A.
4.C 解析:由题图得①当x<0时,y>3,错误;②关于x的方程kx+b=3的解为x=0,正确;③当x>2时,y<0,正确;④关于x的方程kx+b=0的解为x=2,正确.故选C.
5.D 解析:∵点A在第一象限,∴x>0,②-①,得(a-1)x=-(b-1),∴x=>0.∵b<-1,∴-(b-1)>0.∴a-1>0.∴a>1.故选D.
6.B 解析:分两种情况讨论:(1)当x=-2,y=4;x=-1,y=9时,代入表达式得解得∴该函数的表达式为y=5x+14.
(2)当x=-2,y=9;x=-1,y=4时,代入表达式得解得∴该函数的表达式为y=-5x-1.
综上,该函数的表达式为y=5x+14或y=-5x-1.故选B.
7.解:(1)对于y=-3x+3,令y=0,则0=-3x+3,解得x=1,则点D的坐标为(1,0).
(2)设直线l2的表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(4,0)、B分别代入,
得解得
则直线l2的表达式为y=x-6.
(3)解得
则点C的坐标为(2,-3).
∵A(4,0),D(1,0),∴AD=3,
∴S△ADC=·AD·|yC|=×3×3=.
(4)存在.
设点P的坐标为(x,y),∵点P(x,y)在直线l2上,
∴点P.
∵S△ADP=S△ADC=,
∴·AD·|yP|=.
又∵AD=3,∴|yP|=3,
∴=3,∴x=2或x=6.
又∵点P异于点C(2,-3),∴点P的坐标为(6,3).第2课时 一次函数、反比例函数的实际应用
建立一次函数模型解决实际问题
1.某计算器每个定价80元,若购买不超过20个,则按原价付款;若一次购买超过20个,则超过的部分按7折付款.设一次购买数量为x(x>20)个,付款金额为y元,则y与x之间的函数关系式为 ( )
A.y=0.7×80(x-20)+80×20 B.y=0.7x+80(x-10)
C.y=0.7×80x D.y=0.7×80(x-10)
2.(五育文化)小风在1 000 m中长跑训练时,已跑路程s(m)与所用时间t(s)之间的函数图象如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.小风的成绩是220 s B.小风最后冲刺阶段的速度是5 m/s
C.小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等 D.小风的平均速度是4 m/s
3.某校需印制一批《学生手册》,甲印刷厂提出:每本收1元印刷费,另收500元制版费;乙印刷厂提出:每本收2元印刷费,不收制版费,当学校印制 册时,选择甲印刷厂更合算.
建立反比例函数模型解决实际问题
4.已知甲、乙两地相距20 km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数关系式是 ( )
A.t=20v B.t= C.t= D.t=
5.(跨学科)根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其函数图象如图所示.当S=0.25 m2时,该物体承受的压强p的值为 Pa.
6.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值,单位:m3)的圆柱形天然气储存室,储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)是反比例函数关系,图象如图所示.
(1)求储存室的容积V的值.
(2)受地形条件限制,储存室的深度d需要满足16≤d≤25,求储存室的底面积S的取值范围.
1.(易错题)某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是 ( )
A B C D
2.甲、乙两地相距a km,小亮8:00乘慢车从甲地去乙地,10 min后小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y(km)与两人行驶时刻t(×h×min)的函数图象如图所示,则小亮与小莹相遇的时刻为 ( )
A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35
3.某校对教室采用药熏消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图),现测得药物8 min燃毕,此时室内空气中每立方米含药量为6 mg.研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg才有效,则此次消毒的有效时间是 ( )
A.10 min B.12 min C.14 min D.16 min
4.通过研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示,当0≤x<10和10≤x<20时,图象是线段;当20≤x≤45时,图象是反比例函数的一部分.
(1)求点A对应的指标值.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36 请说明理由.
5.(应用意识)家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后,发热材料的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30 ℃时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1 ℃,电阻增加 kΩ.
(1)求R和t之间的关系式.
(2)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过4 kΩ
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.D
3.大于500
4.B 5.400
6.解:(1)设底面积S与深度d的反比例函数表达式为S=.
把点(20,500)代入表达式得500=,
∴V=10 000.
(2)由(1)得S=.
∵S随d的增大而减小,∴当16≤d≤25时,400≤S≤625.
课后提升
1.C 解析:∵草坪面积为100 m2,∴y=.∵两边长均不小于5 m,∴x≥5,y≥5,即5≤x≤20.故选C.
2.A 解析:令小亮出发时对应的t值为0,小莹出发时对应的t值为10,则小亮到达乙地时对应的t值为70,小莹到达甲地时对应的t值为40,设小亮对应函数图象的表达式为y1=k1t.将(70,a)代入表达式得a=70k1,解得k1=,∴小亮对应函数图象的表达式为y1=t,设小莹对应函数图象的表达式为y2=k2t+b,将(10,a),(40,0)代入表达式,得
解得∴小莹对应函数图象的表达式为y2=-t+a.令y1=y2,得t=-t+a,解得t=28,∴小亮与小莹相遇的时刻为8:28.故选A.
3.B 解析:设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k1>0),代入(8,6),得6=8k1,∴k1=.设药物燃烧后y关于x的函数关系式,得y=(k2>0),代入(8,6),得6=,∴k2=48,∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=x(0≤x≤8),药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(x>8).把y=3代入y=x,得x=4;把y=3代入y=,得x=16.∵16-4=12(min),∴此次消毒的有效时间是12 min.故选B.
4.解:(1)设当20≤x≤45时,反比例函数的表达式为y=,将点C(20,45)代入,得45=,解得k=900,∴反比例函数的表达式为y=,当x=45时,y==20,∴D(45,20),∴A(0,20),即点A对应的指标值为20.
(2)能.
理由如下:当0≤x<10时,设AB的表达式为y=mx+n,
将A(0,20),B(10,45)代入,得解得
∴AB的表达式为y=x+20.当y≥36时,x+20≥36,解得x≥.
由(1)得反比例函数的表达式为y=,当y≥36时,≥36,解得x≤25.
∴当≤x≤25时,注意力指标都不低于36,而25-=>17,
∴张老师能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36.
5.解:(1)∵温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中,电阻与温度成反比例关系,∴当10≤t≤30时,设关系式为R=(k≠0),将(10,6)代入上式中得6=,解得k=60.故当10≤t≤30时,R=.将t=30 代入上式中得R==2,∴温度在30 ℃时,电阻R=2 kΩ.
∵在温度达到30 ℃时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度升高而增加,温度每上升1 ℃,电阻增加 kΩ,
∴当t≥30时,R=2+(t-30)=t-6.故R和t之间的关系式为R=
(2)把R=4代入R=t-6,得t=37.5,把R=4代入R=,得t=15,∴温度在15~37.5 ℃时,发热材料的电阻不超过4 kΩ.
