第4课时 平行四边形对角线性质的运用
平行四边形对角线性质的运用
1.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD,交BC于点E,若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为 ( )
A.20 B.24 C.28 D.32
2.如图,直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O,若四边形AEFB的面积为100 cm2,则四边形EDCF的面积为 cm2.
3.(2024武威九中期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,分别过点A、C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数.
(2)求证:AE=CF.
1.若平行四边形的一边长是12 cm,则这个平行四边形的两条对角线长可以是 ( )
A.5 cm和7 cm B.20 cm和30 cm C.8 cm和16 cm D.6 cm和10 cm
2.如图所示,在 ABCD中,O是对角线AC、BD的交点,若△ADO的面积是4,则 ABCD的面积是 .
3.(2024武威十中月考)如图1,平行四边形纸片ABCD的面积为120,AD=15.今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙合并(AD、CB重合)形成一个对称图形戊,如图2所示,则图形戊的两条对角线长度之和为 .
4.(推理能力)如图,在 ABCD中,AC、BD交于点O,EF过点O,分别交CB、AD的延长线于点E、F.
求证:AE=CF.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.100
3.解:(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°,
∵AC平分∠DAE,
∴∠DAC=∠EAO=40°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC=40°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(A.A.S.),
∴AE=CF.
课后提升
1.B 解析:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC,OB=BD,A.∵AC=5 cm,BD=7 cm,∴OA=2.5 cm,OB=3.5 cm,∴OA+OB=6 cm<12 cm,不能组成三角形,故错误;B.∵AC=20 cm,BD=30 cm,∴OA=10 cm,OB=15 cm,∴能组成三角形,故正确;C.∵AC=8 cm,BD=16 cm,∴OA=4 cm,OB=8 cm,∴OA+OB=12 cm,不能组成三角形,故错误;D.∵AC=6 cm,BD=10 cm,∴OA=3 cm,OB=5 cm,∴OA+OB=8 cm<12 cm,不能组成三角形,故错误.故选B.
2.16 解析:因为平行四边形的对角线互相平分,所以BO=DO,AO=CO,所以△ABO与△ADO是等底同高的三角形,所以△ABO与△ADO的面积相等,同理,△ABO,△ADO,△CDO,△CBO的面积都相等,所以S ABCD=4S△ADO=16.
3.23 解析:如图,连结AD、EF,则可得对角线EF⊥AD,且EF与平行四边形的高相等.∵平行四边形纸片ABCD的面积为120,AD=15,∴BC=AD=15,EF·AD=×120,∴EF=8.又∵BC=15,∴图形戊中的四边形两条对角线长度之和为15+8=23.
4.证明:∵在 ABCD中,AD∥BC,OB=OD,
∴∠DFO=∠BEO.
在△BOE和△DOF中,
∵∠BEO=∠DFO,∠BOE=∠DOF,OB=OD,
∴△BOE≌△DOF(A.A.S.).
∴BE=DF.
∵在 ABCD中,AB=CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∵BE=DF,∠ABE=∠CDF,
AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.).
∴AE=CF.第2课时 平行四边形边、角性质的运用
平行四边形边、角性质的运用
1.如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD且交BC于点E,∠D=58°,则∠AEC的大小是 ( )
A.61° B.109° C.119° D.122°
2.(2024广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
3.在 ABCD中,若∠BAD的平分线把边BC分成长分别是3 cm和2 cm的两条线段,则 ABCD的周长是 .
1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是 ( )
A.7 B.10 C.11 D.12
2.如图,点M是 ABCD的一边AD上的任意一点,若△CMB的面积为S,△CDM的面积为S1,△ABM的面积为S2,则下列大小关系正确的是 ( )
A.S>S1+S2 B.SC.S=S1+S2 D.无法确定
3.(2024陇南武都城关中学期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB∶BC=3∶5,它的周长是32,则BC= .
4.(几何直观)问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB、∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长.
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C、D、E、F相邻两点间的距离相等时,求的值.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.5 3.16 cm或14 cm
课后提升
1.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=4,BC=6,∴CD=AB=4,AD=BC=6.由垂直平分线的性质,得AE=EC.∴△CDE的周长为CD+CE+ED=CD+AE+ED=CD+AD=4+6=10.故选B.
2.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
∵△CMB的面积为S=BC·高,△CDM的面积为S1=MD·高,△ABM的面积为S2=AM·高,而它们的高都等于平行四边形的高,∴S1+S2=MD·高+AM·高=(MD+AM)·高=AD·高=BC·高=S,则S、S1、S2的大小关系是S=S1+S2.故选C.
3.10 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB.∵AB∶BC=3∶5,故设AB=3x,BC=5x,∴CD=3x,AD=5x.∵它的周长为32,∴3x+3x+5x+5x=32,解得x=2,∴BC=2×5=10.
4.解:(1)①如图1所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5,AB∥CD,∴∠DEA=∠BAE.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5,同理:BC=CF=5.∵点E与点F重合,∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图2所示,∵点E与点C重合,∴DE=DC=5,∵CF=BC=5,∴点F与点D重合,∴EF=DC=5.
(2)分三种情况:①如图3所示,同(1)得AD=DE,∵点C、D、E、F相邻两点间的距离相等,∴AD=DE=EF=CF,∴=;②如图4所示,同(1)得AD=DE=CF,∵DF=FE=CE,∴=;③如图5所示,同(1)得AD=DE=CF,∵DF=DC=CE,∴=2;综上所述,的值为或或2.第3课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形的对称性
1.如图,在平面直角坐标系中, MNEF的两条对角线ME,NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标是 ( )
A.(-3,-2) B.(-3,2) C.(-2,3) D.(2,3)
2.如图,在 ABCD中,AC、BD为对角线,BC=3,BC边上的高为2,则阴影部分的面积为 .
平行四边形的性质定理3
3.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AB≠AD,则下列式子不正确的是 ( )
A.AC⊥BD B.AB=CD
C.BO=DO D.∠BAD=∠BCD
4.若点O为 ABCD的对角线AC与BD的交点,且AO+BO=11 cm,则AC+BD= cm.
5.(2024白银六中月考)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线BD的中点,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F.
求证:(1)∠1=∠2.
(2)△DOF≌△BOE.
1.(2024贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=BC
B.AD=BC
C.OA=OB
D.AC⊥BD
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,O是对角线AC与BD的交点,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是 ( )
A.20 B.21 C.22 D.23
3.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD 相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON 的面积为3,△DOM的面积为5,则△AOB 的面积为 .
4.(几何直观)如图,点B、E、F、D在同一条直线上,BE=DF,AC交BD于点O,AD∥BC,AE∥FC.
(1)求证:AC与BD互相平分.
(2)若AE⊥AC,AE=BE,BD=16,EF=10,求AC的长.
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.3 3.A 4.22
5.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠2.
(2)∵点O是BD的中点,∴OD=OB.在△DOF和△BOE中,∠1=∠2,∠DOF=∠BOE,OD=OB,∴△DOF≌△BOE(A.A.S.).
课后提升
1.B 解析:A.平行四边形的邻边不一定相等,无法得到AB=BC,故此选项不合题意;B.因为平行四边形的对边相等,故AD=BC,故此选项符合题意;C.平行四边形的对角线不一定相等,无法得出OA=OB,故此选项不合题意;D.平行四边形的对角线不一定垂直,无法得到AC⊥BD,故此选项不合题意.故选B.
2.A 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,∴OA=AC=6,BD=2OB.∵AB⊥AC,AB=8,∴OB= =10,∴BD=2OB=20.故选A.
3.8 解析:由平行四边形的对称性可得S△DOM=S△BON=5,∴S△BOC=S△CON+S△BON=3+5=8.由平行四边形的对角线互相平分,可得OA=OC,∴S△AOB=S△BOC=8.
4.解:(1)证明:如图,连结AB,CD,
∵BE=DF,∴BF=DE.
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
∵AE∥FC,∴∠AED=∠CFB,
∴△ADE≌△CBF,∴AD=CB.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,又∵DB=BD,∴△ABD≌△CDB,∴∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AC与BD互相平分.
(2)由(1)知,∵AC与BD互相平分,
∴OA=OC,OB=OD=BD=8.
∵BE=DF,
∴OE=OF=EF=5,
∴AE=BE=3.
∵AE⊥AC,∴AO==4,
∴AC=2AO=8.18.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形及其边、角的性质
平行四边形的概念
1.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,若不添加任何辅助线,请添加一个条件: ,使四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的性质定理1
2.在平行四边形ABCD 中,AD=3,AB=2,则它的周长是 ( )
A.10 B.6 C.5 D.4
3. ABCD的周长是18 cm,若AB∶BC=5∶4,则AB= ;AD= .
平行四边形的性质定理2
4.在 ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是 ( )
A.1∶3∶3∶1 B.1∶2∶3∶4 C.3∶1∶3∶1 D.2∶1∶1∶2
5. ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠A的度数为 .
平行线之间的距离
6.如图,a∥b,点 A在直线a上,点B、C在直线b上,AC⊥b.如果AB=5 cm,AC=4 cm,那么平行线a,b之间的距离为 ( )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定
1.如图,在 ABCD中,AB∥EG∥FH∥CD,则图中平行四边形的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图,在平行四边形ABCD中,若∠A=∠D+40°,则∠B的度数为 ( )
A.35° B.55° C.70° D.110°
3.如图,在 ABCD中,对角线BD=8 cm,AE⊥BD,垂足为E,且AE=3 cm,BC=4 cm,则AD与BC之间的距离为 .
4.(几何直观)如图, ABCD的周长为52 cm,AB边的垂直平分线经过点D,垂足为点E, ABCD的周长比△ABD的周长多10 cm,∠BDE=35°.
(1)求∠C的度数.
(2)求AB和AD的长.
【详解答案】
课堂达标
1.AB∥CD(答案不唯一) 2.A
3.5 cm 4 cm
4.C 5.100° 6.B
课后提升
1.D 解析:根据平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可得图中的四边形AEGB、AFHB、ADCB、EFHG、EDCG、FDCH都是平行四边形,共6个.故选D.
2.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC.∴∠A+∠D=180°.∵∠A=∠D+40°,∴∠D+40°+∠D=180°.∴∠D=70°.∴∠B=∠D=70°.故选C.
3.6 cm 解析:如图,过B作BF⊥AD于点F.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=4 cm,AD∥BC.∵AE⊥BD,∴S△ABD=AD·BF=BD·AE,∴BF===6(cm).即AD与BC之间的距离为6 cm.
4.解:(1)∵DE是AB边的垂直平分线,
∴∠ADE=∠BDE=35°.
∴∠A=90°-∠ADE=55°.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=∠A=55°.
(2)∵DE是AB边的垂直平分线,∴DA=DB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=DC.
∵ ABCD的周长为52 cm,∴AB+AD=26 cm.
∵ ABCD的周长比△ABD的周长多10 cm,
∴52-(AB+AD+BD)=10.∴BD=16 cm.
∴AD=16 cm.
∴AB=26-16=10(cm).
